24.1.4 圆周角(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

圆 第二十四章 知识梳理 形成联系 【知识点】 圆内接四边形的性质 ◎ 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做 ， 这个圆叫做这个多边形的 . ◎ 圆内接四边形的对角 . 如图 24.1-15 ， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， ∠BOD=110° ， 那么 ∠BCD 等 于 （ ） A. 110° B. 135° C. 55° D. 125° 例题点拨 素养导向 【例】 如图 24.1-16 ， 圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 E ， BD 平分 ∠ABC ， ∠BAC＝∠ADB. （ 1 ） 求证 DB 平分 ∠ADC ， 并求 ∠BAD 的大小； （ 2 ） 过点 C 作 CF∥AD 交 AB 的延长线于点 F ， 若 AC＝AD ， BF＝2 ， 求此圆半径的长 . 【点拨】 要求 ∠BAD 的大小， 根据角平分线的性质和圆内接四边形的对角互补只需求 ∠ABD+∠ADB=90° ， 进而得到 ∠BAD=90° ， 根据 90° 的圆周角所对的弦是直径， 得出 BD 是 圆的直径， 进而由垂径定理推出 △ACD 是等边三角形， 从而求出半径 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， AB 是 ⊙O 的弦， OC⊥AB 交 ⊙O 于点 C ， 点 D 是 ⊙O 上一点， ∠ADC=25° ， 则 ∠BOC 的度数为 （ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 24.1.4 圆周角 （第二课时） 图 24.1-15 A B C D E F 第 1 题图 图 24.1-16 O A B C D O A B C D 89 九年级上册 （人教版）数学 2. 如图， 点 A ， B ， C ， D 在 ⊙O 上， C C B=C C D ， ∠CAD＝30° ， ∠ACD＝50° ， 则 ∠ADB＝ . 3. 如图， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， 若 ∠BOD＝138° ， 则它的一个外角 ∠DCE 等于 . 4. 如图， A ， B ， C ， D 是 ⊙O 上的四个点， 点 B 是 AB B C 的中点， 如果 ∠ABC＝72° ， 那么 ∠ADB＝ . 5. 如图， 五边形 ABCDE 内接于 ⊙O ， BC＝DE ， 连接 AC ， AD ， 求证： ∠BCD+∠CAE＝ 180°. 能力提升 综合拓展 6. 如图， AB 是半圆的直径， D 是弧 AC 的中点， ∠ABC＝70° ， 则 ∠BAD 的度数是 （ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 7. 如图， A ， B ， C 是 ⊙O 上的三点， 且四边形 OABC 是菱形 . 若点 D 是圆上异于 A ， B ， C 的另一点， 则 ∠ADC 的度数是 . 第 3 题图第 2 题图 第 4 题图 O A B C D O A B C D E O A B C D 第 5 题图 O A B C D E 第 7 题图第 6 题图 O A B C A B C D O 90 圆 第二十四章 8. 如图， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， D 是弧 AC 的中点， 延长 BC 到点 E ， 使 CE＝AB ， 连接 BD ， ED. （ 1 ） 求证： BD＝ED. （ 2 ） 若 ∠ABC＝60° ， AD＝5 ， 求 ⊙O 的直径 . 9. 已知： 如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 为弦， 且 AB⊥CD 于点 E ， F 为 DC 延长线上一 点， 连接 AF 交 ⊙O 于点 M. 求证： ∠AMD＝∠FMC. 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·山西） 如图， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， AC ， BD 为对角线， BD 经过圆心 O. 若 ∠BAC=40° ， 则 ∠DBC 的度数为 （ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 11. （ 2023 ·武汉） 如图， OA ， OB ， OC 都是 ⊙O 的半径， ∠ACB＝2∠BAC. （ 1 ） 求证： ∠AOB＝2∠BOC ； （ 2 ） 若 AB＝4 ， BC= 5 姨 ， 求 ⊙O 的半径 . 第 8 题图 第 9 题图 O A B C D E O A B C D E F M 第 10 题图 第 11 题图 O A B C D O A B C 91 九年级上册 （ 人教版 ）数学 8. 证明 ： 连接 OE ， ∵CE∥ AB ， ∴∠DOB＝∠C ， ∠BOE＝∠E. ∵OC＝OE ， ∴∠C＝∠E ， ∴∠DOB＝ ∠BOE ， ∴B B D =B B E . 9. （ 1 ） 证 明 ： ∵A B B = A B C ， ∴AB＝AC. ∵∠ACB＝60° ， ∴△ABC 是等边三角形 . （ 2 ） 解 ： 过点 O 作 OD⊥CB ， 垂 足 为 D ， ∵BC ＝2 3 姨 ， ∴DB = 1 2 BC= 3 姨 ， 由 （ 1 ） 得 △ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴ ∠CAB ＝60° ， ∴∠COB＝120°. ∵OC＝OB ， ∴∠OBD= 1 2 （ 180°-120° ） = 30°. ∵ 在 Rt△ODB 中 ， OB＝2OD ， 根据勾股定理得 ， OB 2 ＝OD 2 +DB 2 ， ∴ （ 2OD ） 2 =OD 2 + （ 3 姨 ） 2 ， 解得 OD＝1 ， ∴OB＝2OD＝2 ， ∴⊙O 的半径 2. 24.1.4 圆周角 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 圆周角 图 3 是 ， 其他不满足定义 . 【 知识点 2 】 一半 相等 直角 90° 1. D 2. 49° 【 例 】 （ 1 ） 证 明 ： ∵AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴∠ADB＝90° ， ∴AD⊥BD. 又 ∵AB＝AC ， ∴BD＝CD. （ 2 ） 解 ： ∵AB ＝5 ， DE ＝4 ， ∴AB ＝AC ＝5 ， ∴∠B＝∠C. ∵∠B＝∠E ， ∴∠E＝∠C ， ∴DE＝DC＝4. ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠ADB＝90° ， ∴∠ADC＝90° ， ∴ 根据勾股定理得 ， AD= AC 2 -CD 2 姨 = 5 2 -4 2 姨 =3. 1. C 2. C 3. 4 4. 20° 5. 解 ： 连接 CO 并延长交 ⊙O 于点 D ， 连接 BD ， 则 ∠D＝∠A＝ 60° ， ∠CBD＝90° ， ∠BCD＝90°-60° ＝30°. ∵⊙O 的半径为 5 ， ∴CD＝10 ， ∴ 在 Rt△BDC 中 ， BD= 1 2 CD＝5 ， ∴ 根据勾股定理得 ， BC= CD 2 -BD 2 姨 = 10 2 -5 2 姨 =5 3 姨 ， 故弦 BC 的长为 5 3 姨 . 6. B 7. 5 姨 8. 13 2 cm 9. 2 10. （ 1 ） 证明 ： ∵AB 为直径 ， ∴∠ADB=∠ADE= 90°. ∵CD=BD ， ∴∠EAD=∠DAB ， ∴∠E=∠ABE ， 连接 BC ， 则 ∠DCB=∠DBC ， ∠ACB= ∠ECB=90° . ∵∠EBC+∠E=90° ， ∠DCB +∠ECD =90° ， ∴ ∠E = ∠ECD ， ∴CD=DE. （ 2 ） 解 ： 在 Rt△ACB 中 ， 由勾股定理得 BC= AB 2 -AC 2 姨 = 10 2 -6 2 姨 =8 ， ∵∠E= ∠ABE ， ∴△AEB 为等腰三角形 ， ∴AB=AE ， BD=DE ， ∴CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4. 在 Rt△BCE 中 ， 由勾股 定理得 ， BE= BC 2 +CE 2 姨 = 8 2 +4 2 姨 =4 5 姨 ， ∴BD= 1 2 BE= 2 5 姨 . 11. D 12. 24° 13. 80° 14. 35° 24.1.4 圆周角 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 圆内接多边形 外接圆 互补 D 【 例 】 （ 1 ） 证明 ： ∵∠BAC＝∠ADB ， ∠BAC＝ ∠CDB ， ∴ ∠ADB ＝ ∠CDB ， ∴BD 平 分 ∠ADC. ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形 ， ∴∠ABC+∠ADC＝180° ， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180° ， ∴2 （ ∠ABD+ ∠ADB ） ＝180° ， ∴∠ABD+∠ADB＝90° ， ∴∠BAD＝ 180°-90°＝90°. （ 2 ） 解 ： ∵∠BAE +∠DAE ＝90° ， ∠BAE ＝ ∠ADE ， ∴∠ADE+∠DAE＝90° ， ∴∠AED ＝90° . ∵∠BAD＝90° ， ∴BD 是圆的直径 ， ∴BD 垂直平分 AC ， ∴AD＝CD. ∵AC＝AD ， ∴△ACD 是等边三角 形 ， ∴∠ADC＝60°. ∵BD⊥AC ， ∴∠BDC= 1 2 ∠ADC＝ 30°. ∵CF∥AD ， ∴∠F+∠BAD＝180° ， ∴∠F＝90°. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形 ， ∴∠ADC+ ∠ABC＝180° . ∵∠FBC+∠ABC＝180° ， ∴∠FBC＝ ∠ADC＝60° ， ∴BC＝2BF＝4. ∵∠BCD＝90° ， ∠BDC＝ 30° ， ∴BC= 1 2 BD. ∵BD 是圆的直径 ， ∴ 圆的半径 长是 4. 1. C 2. 70° 3. 69° 4. 54° 5. 证明 ： ∵BC＝DE ， ∴B B C = D B E ， ∴B B C + C B D = D B E + C B D ， ∴B B D = C B E ， ∴∠BAD＝∠CAE. ∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形 ， ∴∠BAD+∠BCD＝180° ， ∴∠BCD+ ∠CAE＝180°. O A B C D E 第 8 题答图 O A B C D 第 9 题答图 O A B C D 第 5 题答图 O A B C D E 第 10 题答图 68 参 考 答 案 6. A 7. 60° 或 120° 8. （ 1 ） 证明 ： ∵A ! D = C ! D ， ∴AD＝DC. ∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， ∴∠BAD+∠BCD＝180° . ∵∠ECD+ ∠BCD＝180° ， ∴∠BAD＝∠ECD ， 在 △ABD 和 △CED 中 ， AD=DC ， ∠BAD=∠ECD ， AB=CE E ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴ △ABD ≌ △CED （ SAS ） ， ∴BD＝ED. （ 2 ） 解 ： 连接 DO 并延长交 ⊙O 于点 F ， 连接 CF ， 则 ∠FCD ＝90° . ∵D 是 A A C 的 中 点 ， ∴A ! D = C ! D ， ∴ ∠ABD＝∠CBD ， AD＝CD＝5. ∵∠ABC＝60° ， ∴∠CBD＝ 30° ， ∴∠F＝∠DBC＝30° ， ∴DF＝2CD＝10 ， ∴⊙O 的直径 长为 10. 9. 证明 ： 连接 BM ， ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠AMB＝ ∠BMF＝90°. 又 ∵AB⊥CD 于点 E ， ∴B A C = B A D ， ∴∠CMB＝ ∠BMD ， ∴∠AMD＝∠AMB-∠BMD＝∠BMF-∠CMB＝ ∠CMF ， 即 ∠AMD＝∠FMC. 10. B 11. （ 1 ） 证明 ： ∵∠ACB= 1 2 ∠AOB ， ∠BAC= 1 2 ∠BOC ， ∠ACB＝2∠BAC ， ∴∠AOB＝2∠BOC. （ 2 ） 解 ： 过点 O 作半径 OD⊥ AB 于 点 E ， 连 接 DB ， ∴AE ＝ BE. ∵∠AOB＝2∠BOC ， ∠DOB= 1 2 ∠AOB ， ∴∠DOB＝∠BOC. ∴BD＝ BC. ∵AB＝4 ， BC= 5 姨 ， ∴BE＝2 ， DB= 5 姨 . 在 Rt△BDE 中 ， ∠DEB＝90° ， ∴DE= BD 2 -BE 2 姨 =1. 在 Rt△BOE 中 ， ∠OEB＝90° ， OB 2 ＝ （ OB-1 ） 2 +2 2 ， 解得 OB= 5 2 ， 即 ⊙O 的半径是 5 2 . 24.2 点和圆 、 直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 【 知识点 1 】 d>r d=r d<r 点 P 在圆内 【 知识点 2 】 外接圆 三条边的垂直平分线 外心 C 【 例 】 解 ： 在 △ABC 中 ， ∠ACB＝90° ， BC＝ 5 cm ， AC ＝10 cm ， ∴AB = AC 2 +BC 2 姨 =5 5 姨 . ∵CD 为中线 ， ∴CD= 1 2 AB= 5 5 姨 2 . ∵AC＝10 cm> 5 2 5 姨 cm ， ∴ 点 A 在 ⊙C 外 . ∵BC ＝5 cm < 5 2 5 姨 cm ， ∴ 点 B 在 ⊙C 内 . ∵CD= 5 5 姨 2 ， ∴ 点 D 在 ⊙C 上 . 1. A 2. D 3. C 4. 48° 5. B 6. 解 ： （ 1 ） （ 2 ， 0 ） （ 2 ） 圆的半径 AM＝ 2 2 +4 2 姨 ＝2 5 姨 ， 线段 MD＝ （ 6-2 ） 2 +2 2 姨 ＝2 5 姨 ， ∴ 点 D 在 ⊙M 上 . 7. （ 5 ， 2 ） 8. 5 2 9. 9 cm 或 3 cm 10. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 圆 O 即为所求 . （ 2 ） 如图 ， 连接 OA ， OB ， OA 与 BC 交于点 D ， ∵AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC ， BD ＝CD = 1 2 BC ＝4 ， ∴AD = AB 2 -BD 2 姨 = 5 2 -4 2 姨 =3 ， ∴OD ＝OA -AD ＝OA -3 ， 在 Rt△BOD 中 ， 根据勾股定理 ， 得 OB 2 ＝BD 2 +OD 2 ， ∴OA 2 ＝ 4 2 + （ OA-3 ） 2 ， 解得 OA= 25 6 ， 故它的外接圆半径为 25 6 . 11. D O A B C D E F 第 8 题答图 O A B C D E 第 11 题答图 O A B C x y M 第 6 题答图 B C A D O 第 10 题答图 69