24.1.3 弧、弦、圆心角-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

参 考 答 案 线 ， ∴OD＝ 1 2 AB ， OC＝ 1 2 AB ， OA＝OB= 1 2 AB ， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∴A ， B ， C ， D 四点在同一个 圆上 . 1. 4 2. 0＜x≤6 3. 100° 4. 5 5. 解 ： 连接 OD ， ∵AB＝2DE＝2OD ， ∴OD＝DE ， 又 ∠E＝18° ， ∴∠DOE＝∠E＝18° ， ∴∠ODC＝36° ， 同理 ∠C＝∠ODC＝36° ， ∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝54°. 6. 证明 ： ∵OA ， OB 是 ⊙O 的两条半径 ， ∴AO＝BO. ∵C ， D 分别是半径 OA ， BO 的中点 ， ∴OC＝OD ， 在 △OCB 和 △ODA 中 ， AO=BO ， ∠O=∠O ， OD=OC C ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴△OCB≌△ODA （ SAS ）， ∴AD＝BC. 7. （ 1 ） 证 明 ： ∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ∴AB ＝DC＝AD ， ∠BAO＝∠CDO＝90° . 在 Rt△ABO 和 Rt△DCO 中 ， OB=OC ， AB=DC C ， ∴Rt△ABO≌Rt△DCO （ HL ）， ∴OA＝OD. （ 2 ） 解 ： 设正方形 ABCD 的边长为 a ， 由 （ 1 ） 得 ， OA＝OD= 1 2 AD= 1 2 a ， ∵⊙O 的半径为 4 5 姨 ， ∴OC=4 5 姨 . 在 Rt△COD 中 ， 由勾股定理得 OC 2 ＝OD 2 + DC 2 ， 即 a 2 + 1 2 2 . a 2 ＝ （ 4 5 姨 ） 2 ， 解得 a＝8 或 a＝-8 （ 舍 去 ）， 正方形 ABCD 的边长为 8. 24.1.2 垂直于弦的直径 【 知识点 】 平分 平分弦所对的 AE=BE A 2 C ＝B 2 C A 2 C ＝B 2 D 平分弦 （ 不是直径 ） 的直径 垂直于弦 ， 并且平分弦所对的两条弧 C 【 例 】 解 ： 连接 OC ， ∵AB 为 ⊙O 的直径 ， 弦 CD⊥AB 于点 E ， AE＝CD＝8 ， ∴CE＝DE= 1 2 CD＝ 4. 设 OC ＝r ， 则 OE ＝8 -r ， 在 Rt△OCE 中 ， 根据勾股定理得 ， OE 2 +CE 2 ＝OC 2 ， 即 （ 8-r ） 2 +4 2 ＝r 2 ， 解得 r＝5. ∴⊙O 的半径为 5. 1. D 2. B 3. 4 m 4. 2 5. 解 ： 如图 ， 连接 OA ， ∵⊙O 的弦 AB＝16 ， 半径 OD⊥AB ， ∴AC= 1 2 AB= 1 2 ×16＝8. 设 ⊙O 的半径为 r ， 则 OC＝r-CD＝r-2 ， 在 Rt△OAC 中 ， OA 2 ＝OC 2 +AC 2 ， 即 r 2 ＝（r-2 ） 2 +8 2 ， 解得 r＝17. 故 ⊙O 的半径长为 17. 6. 解 ： 如图 ， 过点 O 作 OE⊥ AB ， 垂足为 E ， 则 AE＝BE＝ 1 2 AB＝ 12 ， CE＝DE ， 连接 OA ， OC ， 在 Rt△AOE 中 ， OE 2 ＝OA 2 -AE 2 ＝13 2 - 12 2 ＝25. 在 Rt△COE 中 ， OE 2 ＝OC 2 -CE 2 ， ∴25＝7 2 -CE 2 ， 解得 CE＝2 6 姨 ， ∴CD＝2CE＝4 6 姨 . 7. C 8. ２ ３ 姨 cm 9. 1 10. 解 ： ∵OD⊥AB ， OE⊥AC ， ∴AD= 1 2 AB ， AE= 1 2 AC. ∵AB＝AC ， ∴AD＝AE. ∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝ 90° ， ∴ 四边形 ADOE 是正方形 ， ∴OE＝AE. 连接 OA ， ∵AC=4 2 姨 ， ∴AE= 1 2 AC＝2 2 姨 ， 在 Rt△AOE 中 ， 根据勾股定理 OA= AE 2 +OE 2 姨 =4 ， ∴⊙O 的半径是 4. 11. B 12. C 24.1.3 弧 、 弦 、 圆心角 【 知识点 】 圆心 相等 相等 1. C 2. 4 【 例 】 证明 ： ∵AC＝BD ， ∴A 2 C =B 2 D ， ∴A 2 B = C 2 D ， ∴AB＝CD. 1. D 2. C 2 D 和 D 2 B 3. 60° 4. 证明 ： 连接 OC. 在 ⊙O 中 ， ∵A 2 C =C 2 B ， ∴∠AOC＝∠BOC. ∵OA＝ OB ， E ， F 分别是半径 OA ， OB 的 中点 ， ∴OE＝OF. 在 △COE 和 △COF 中 ， OC=OC ， ∠COE=∠COF ， OE=OF F ( ( ( ( 2 ( ( ( ( ) ， ∴△COE≌ △COF （ SAS ）， ∴CE＝CF. 5. D 6. C 7. 30° O A B C D E 第 6 题答图 O A B C D E 例题答图 O A B C D 第 5 题答图 O A B C D E 第 6 题答图 O A B C D E 第 10 题答图 O A B C E F 第 4 题答图 67 九年级上册 （ 人教版 ）数学 8. 证明 ： 连接 OE ， ∵CE∥ AB ， ∴∠DOB＝∠C ， ∠BOE＝∠E. ∵OC＝OE ， ∴∠C＝∠E ， ∴∠DOB＝ ∠BOE ， ∴B B D =B B E . 9. （ 1 ） 证 明 ： ∵A B B = A B C ， ∴AB＝AC. ∵∠ACB＝60° ， ∴△ABC 是等边三角形 . （ 2 ） 解 ： 过点 O 作 OD⊥CB ， 垂 足 为 D ， ∵BC ＝2 3 姨 ， ∴DB = 1 2 BC= 3 姨 ， 由 （ 1 ） 得 △ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴ ∠CAB ＝60° ， ∴∠COB＝120°. ∵OC＝OB ， ∴∠OBD= 1 2 （ 180°-120° ） = 30°. ∵ 在 Rt△ODB 中 ， OB＝2OD ， 根据勾股定理得 ， OB 2 ＝OD 2 +DB 2 ， ∴ （ 2OD ） 2 =OD 2 + （ 3 姨 ） 2 ， 解得 OD＝1 ， ∴OB＝2OD＝2 ， ∴⊙O 的半径 2. 24.1.4 圆周角 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 圆周角 图 3 是 ， 其他不满足定义 . 【 知识点 2 】 一半 相等 直角 90° 1. D 2. 49° 【 例 】 （ 1 ） 证 明 ： ∵AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴∠ADB＝90° ， ∴AD⊥BD. 又 ∵AB＝AC ， ∴BD＝CD. （ 2 ） 解 ： ∵AB ＝5 ， DE ＝4 ， ∴AB ＝AC ＝5 ， ∴∠B＝∠C. ∵∠B＝∠E ， ∴∠E＝∠C ， ∴DE＝DC＝4. ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠ADB＝90° ， ∴∠ADC＝90° ， ∴ 根据勾股定理得 ， AD= AC 2 -CD 2 姨 = 5 2 -4 2 姨 =3. 1. C 2. C 3. 4 4. 20° 5. 解 ： 连接 CO 并延长交 ⊙O 于点 D ， 连接 BD ， 则 ∠D＝∠A＝ 60° ， ∠CBD＝90° ， ∠BCD＝90°-60° ＝30°. ∵⊙O 的半径为 5 ， ∴CD＝10 ， ∴ 在 Rt△BDC 中 ， BD= 1 2 CD＝5 ， ∴ 根据勾股定理得 ， BC= CD 2 -BD 2 姨 = 10 2 -5 2 姨 =5 3 姨 ， 故弦 BC 的长为 5 3 姨 . 6. B 7. 5 姨 8. 13 2 cm 9. 2 10. （ 1 ） 证明 ： ∵AB 为直径 ， ∴∠ADB=∠ADE= 90°. ∵CD=BD ， ∴∠EAD=∠DAB ， ∴∠E=∠ABE ， 连接 BC ， 则 ∠DCB=∠DBC ， ∠ACB= ∠ECB=90° . ∵∠EBC+∠E=90° ， ∠DCB +∠ECD =90° ， ∴ ∠E = ∠ECD ， ∴CD=DE. （ 2 ） 解 ： 在 Rt△ACB 中 ， 由勾股定理得 BC= AB 2 -AC 2 姨 = 10 2 -6 2 姨 =8 ， ∵∠E= ∠ABE ， ∴△AEB 为等腰三角形 ， ∴AB=AE ， BD=DE ， ∴CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4. 在 Rt△BCE 中 ， 由勾股 定理得 ， BE= BC 2 +CE 2 姨 = 8 2 +4 2 姨 =4 5 姨 ， ∴BD= 1 2 BE= 2 5 姨 . 11. D 12. 24° 13. 80° 14. 35° 24.1.4 圆周角 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 圆内接多边形 外接圆 互补 D 【 例 】 （ 1 ） 证明 ： ∵∠BAC＝∠ADB ， ∠BAC＝ ∠CDB ， ∴ ∠ADB ＝ ∠CDB ， ∴BD 平 分 ∠ADC. ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形 ， ∴∠ABC+∠ADC＝180° ， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180° ， ∴2 （ ∠ABD+ ∠ADB ） ＝180° ， ∴∠ABD+∠ADB＝90° ， ∴∠BAD＝ 180°-90°＝90°. （ 2 ） 解 ： ∵∠BAE +∠DAE ＝90° ， ∠BAE ＝ ∠ADE ， ∴∠ADE+∠DAE＝90° ， ∴∠AED ＝90° . ∵∠BAD＝90° ， ∴BD 是圆的直径 ， ∴BD 垂直平分 AC ， ∴AD＝CD. ∵AC＝AD ， ∴△ACD 是等边三角 形 ， ∴∠ADC＝60°. ∵BD⊥AC ， ∴∠BDC= 1 2 ∠ADC＝ 30°. ∵CF∥AD ， ∴∠F+∠BAD＝180° ， ∴∠F＝90°. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形 ， ∴∠ADC+ ∠ABC＝180° . ∵∠FBC+∠ABC＝180° ， ∴∠FBC＝ ∠ADC＝60° ， ∴BC＝2BF＝4. ∵∠BCD＝90° ， ∠BDC＝ 30° ， ∴BC= 1 2 BD. ∵BD 是圆的直径 ， ∴ 圆的半径 长是 4. 1. C 2. 70° 3. 69° 4. 54° 5. 证明 ： ∵BC＝DE ， ∴B B C = D B E ， ∴B B C + C B D = D B E + C B D ， ∴B B D = C B E ， ∴∠BAD＝∠CAE. ∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形 ， ∴∠BAD+∠BCD＝180° ， ∴∠BCD+ ∠CAE＝180°. O A B C D E 第 8 题答图 O A B C D 第 9 题答图 O A B C D 第 5 题答图 O A B C D E 第 10 题答图 68 九年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 弧、 弦、 圆心角之间的关系 ◎ 顶点在 的角叫做圆心角.在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧 ，所对的弦 . 1. 如图 24.1-8 ， AB 是 ⊙O 的直径， ∠AOE＝60° ， C ， D 是 B B E 上的三等分 点， 则 ∠COE 的度数是 （ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 2. 如图 24.1-9 ， 在 ⊙O 中， A B B=C B D， AB=4 ， 则线段 CD＝ . 例题点拨 素养导向 【例】 已知： 如图 24.1-10 ， 在 ⊙O 中， 弦 AB 和 CD 相交， 连接 AC ， BD ， 且 AC＝BD. 求 证： AB＝CD. 【点拨】 要想证明弦相等， 只需根据弧、 弦、 圆心角的关系， 证明两条弦所对的弧相等， 即可解决 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， A ， B ， C ， D 是 ⊙O 上的点， ∠1=∠2 ， 则下列结论： ①A B B=C B D ； ②B B D=A B C ； ③AC=BD ； ④∠BOD=∠AOC. 其中正确的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， 如果 ∠COA=∠DOB=60° ， 那么与 A B C 相等的弧有 . 24.1.3 弧、 弦、 圆心角 图 24.1-8 图 24.1-10 O A B C D E O A B C D 图 24.1-9 O A B C D 第 2 题图第 1 题图 O A B C D 2 1 O A B C D 84 圆 第二十四章 3. 半径为 1 的圆中， 长度为 1 的弦所对的圆心角的度数是 . 4. 如图， A ! C=C ! B ， E ， F 分别是半径 OA ， OB 的中点， 求证： CE＝CF. 能力提升 综合拓展 5. 如图， 在 ⊙O 中， 如果 A ! B=2A ! C ， 那么 （ ） A. AB=AC B. AB=2AC C. AB＞2AC D. AB＜2AC 6. 如图， AB 为 ⊙O 的直径， 点 D 是弧 AC 的中点， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ， 延长 DE 交 ⊙O 于点 F ， 若 AC=12 ， AE=3 ， 则 ⊙O 的直径长为 （ ） A. 10 B. 13 C. 15 D. 16 7. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C ， D 为半圆的三等分点， CE⊥AB 于点 E ， ∠ACE 的度数 为 . 8. 如图， 在 ⊙O 中， AB ， CD 是直径， CE∥AB 且交 ⊙O 于点 E ， 求证： B ! D=B ! E. 9. 如图， 在 ⊙O 中， A ! B=A ! C ， ∠ACB＝60° ， BC＝2 3 姨 . （ 1 ） 求证： △ABC 是等边三角形； （ 2 ） 求 ⊙O 的半径 . 第 4 题图 O A B C E F 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 O A B C O A B C D E F O A B C D E O A B C D E 第 9 题图 O A B C 85