24.1.1 圆-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （ 人教版 ）数学 5. 是 ①AE ② C ③BD 6. 解 ： （ 1 ） 在图 1 中添加一颗棋子 C ， C 的坐标 可以是 （ 2 ， 1 ） （ 答案不唯一 ） . （ 2 ） 在图 2 中添加一颗棋子 P ， P 的坐标可以是 （ 0 ， 1 ） （ 答案不唯一 ） . 7. C 8. 正方形 ， 矩形 ， 菱形 ， 圆 （ 答案不唯一 ， 写出 一个即可 ） 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 【 知识点 】 相反 -x -y 1. D 2. C 【 例 】 （ 1 ） 解 ： 如图所示 ， △A 1 B 1 C 1 即为所 求 . A 1 （ -1 ， -4 ）， B 1 （ -4 ， -2 ）， C 1 （ -3 ， -5 ） . （ 2 ） 证明 ： ∵△A 1 B 1 C 1 与 △ABC 关于原点对 称 ， ∴OA 1 =OA ， OB 1 =OB ， ∴ 四边形 AB 1 A 1 B 是平 行四边形 . 1. C 2. 5 3. 点 C 和点 F 4. 解 ： （ 1 ） 如图 ， △A 1 B 1 C 1 即为所求 . 点 C 1 的坐 标为 （ -2 ， 3 ） . （ 2 ） 如图 ， △A 2 B 2 C 2 即为所求 . 点 A 2 的坐标为 （ -1 ， -1 ） . （ 3 ） 如图 ， D 1 ， D 2 ， D 3 均满足题意 ， ∴ 点 D 的坐 标为 （ 4 ， 5 ） 或 （ 2 ， -1 ） 或 （ 0 ， 3 ） . 5. 解 ： （ 1 ） 如图所示 ， △A 1 B 1 C 1 即为所求 . 点 A 1 ， B 1 ， C 1 的坐标分别为 （ -2 ， -5 ） ， （ -4 ， -2 ） ， （ -1 ， -1 ） . （ 2 ） △ABC 和 △A 1 B 1 C 1 各对应顶点的横坐标互为 相反数 ， 纵坐标互为相反数 . （ 3 ） △A 1 B 1 C 1 是由 △ABC 绕着原点 O 旋转 180° 得 到的 . 6. （ -1 ， -2 ） 7. D 8. （ -1 ， 5 ） 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 【 知识点 1 】 一周 圆心 半径 ⊙O 1. B 2. O 3 cm 【 知识点 2 】 线段 圆心 两点 AB ， BC BC BA A C AB A C ， BC A A A A B ， A A C 【 例 】 证明 ： 取 AB 的 中点 O ， 连接 OC ， OD ， ∵ △ABC 和 △ABD 都为直角 三角形 ， 且 ∠C＝∠D＝90° ， ∴DO ， CO 分别为 Rt△ABD 和 Rt△ABC 斜 边 上 的 中 图 1 图 2 x -3 -3 -2 -1 -2 -1 1 2 3 1 2 3 y A B O C x -3 -3 -2 -1 -2 -1 1 2 3 1 2 3 y A B O C 第 6 题答图 -5 -4 -3 -2 -1 -2-3-4-5 -1 4321 5 x 1 2 3 4 5 y A B C O B 1 例题答图 -5 -4 -3 -2 -1 -2-3-4-5 -1 4321 5 x 1 2 3 4 5 y A B C O D 1 D 3 D 2 B 1 B 2 C 1 C 2 A 1 A 2 -5 -4 -3 -2 -1 -2-3-4-5 -1 4321 5 x 1 2 3 4 5 y A B C O A 1 B 1 C 1 第 4 题答图 第 5 题答图 O A B C D 例题答图 C 1 A 1 66 参 考 答 案 线 ， ∴OD＝ 1 2 AB ， OC＝ 1 2 AB ， OA＝OB= 1 2 AB ， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∴A ， B ， C ， D 四点在同一个 圆上 . 1. 4 2. 0＜x≤6 3. 100° 4. 5 5. 解 ： 连接 OD ， ∵AB＝2DE＝2OD ， ∴OD＝DE ， 又 ∠E＝18° ， ∴∠DOE＝∠E＝18° ， ∴∠ODC＝36° ， 同理 ∠C＝∠ODC＝36° ， ∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝54°. 6. 证明 ： ∵OA ， OB 是 ⊙O 的两条半径 ， ∴AO＝BO. ∵C ， D 分别是半径 OA ， BO 的中点 ， ∴OC＝OD ， 在 △OCB 和 △ODA 中 ， AO=BO ， ∠O=∠O ， OD=OC C ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴△OCB≌△ODA （ SAS ）， ∴AD＝BC. 7. （ 1 ） 证 明 ： ∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ∴AB ＝DC＝AD ， ∠BAO＝∠CDO＝90° . 在 Rt△ABO 和 Rt△DCO 中 ， OB=OC ， AB=DC C ， ∴Rt△ABO≌Rt△DCO （ HL ）， ∴OA＝OD. （ 2 ） 解 ： 设正方形 ABCD 的边长为 a ， 由 （ 1 ） 得 ， OA＝OD= 1 2 AD= 1 2 a ， ∵⊙O 的半径为 4 5 姨 ， ∴OC=4 5 姨 . 在 Rt△COD 中 ， 由勾股定理得 OC 2 ＝OD 2 + DC 2 ， 即 a 2 + 1 2 2 . a 2 ＝ （ 4 5 姨 ） 2 ， 解得 a＝8 或 a＝-8 （ 舍 去 ）， 正方形 ABCD 的边长为 8. 24.1.2 垂直于弦的直径 【 知识点 】 平分 平分弦所对的 AE=BE A 2 C ＝B 2 C A 2 C ＝B 2 D 平分弦 （ 不是直径 ） 的直径 垂直于弦 ， 并且平分弦所对的两条弧 C 【 例 】 解 ： 连接 OC ， ∵AB 为 ⊙O 的直径 ， 弦 CD⊥AB 于点 E ， AE＝CD＝8 ， ∴CE＝DE= 1 2 CD＝ 4. 设 OC ＝r ， 则 OE ＝8 -r ， 在 Rt△OCE 中 ， 根据勾股定理得 ， OE 2 +CE 2 ＝OC 2 ， 即 （ 8-r ） 2 +4 2 ＝r 2 ， 解得 r＝5. ∴⊙O 的半径为 5. 1. D 2. B 3. 4 m 4. 2 5. 解 ： 如图 ， 连接 OA ， ∵⊙O 的弦 AB＝16 ， 半径 OD⊥AB ， ∴AC= 1 2 AB= 1 2 ×16＝8. 设 ⊙O 的半径为 r ， 则 OC＝r-CD＝r-2 ， 在 Rt△OAC 中 ， OA 2 ＝OC 2 +AC 2 ， 即 r 2 ＝（r-2 ） 2 +8 2 ， 解得 r＝17. 故 ⊙O 的半径长为 17. 6. 解 ： 如图 ， 过点 O 作 OE⊥ AB ， 垂足为 E ， 则 AE＝BE＝ 1 2 AB＝ 12 ， CE＝DE ， 连接 OA ， OC ， 在 Rt△AOE 中 ， OE 2 ＝OA 2 -AE 2 ＝13 2 - 12 2 ＝25. 在 Rt△COE 中 ， OE 2 ＝OC 2 -CE 2 ， ∴25＝7 2 -CE 2 ， 解得 CE＝2 6 姨 ， ∴CD＝2CE＝4 6 姨 . 7. C 8. ２ ３ 姨 cm 9. 1 10. 解 ： ∵OD⊥AB ， OE⊥AC ， ∴AD= 1 2 AB ， AE= 1 2 AC. ∵AB＝AC ， ∴AD＝AE. ∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝ 90° ， ∴ 四边形 ADOE 是正方形 ， ∴OE＝AE. 连接 OA ， ∵AC=4 2 姨 ， ∴AE= 1 2 AC＝2 2 姨 ， 在 Rt△AOE 中 ， 根据勾股定理 OA= AE 2 +OE 2 姨 =4 ， ∴⊙O 的半径是 4. 11. B 12. C 24.1.3 弧 、 弦 、 圆心角 【 知识点 】 圆心 相等 相等 1. C 2. 4 【 例 】 证明 ： ∵AC＝BD ， ∴A 2 C =B 2 D ， ∴A 2 B = C 2 D ， ∴AB＝CD. 1. D 2. C 2 D 和 D 2 B 3. 60° 4. 证明 ： 连接 OC. 在 ⊙O 中 ， ∵A 2 C =C 2 B ， ∴∠AOC＝∠BOC. ∵OA＝ OB ， E ， F 分别是半径 OA ， OB 的 中点 ， ∴OE＝OF. 在 △COE 和 △COF 中 ， OC=OC ， ∠COE=∠COF ， OE=OF F ( ( ( ( 2 ( ( ( ( ) ， ∴△COE≌ △COF （ SAS ）， ∴CE＝CF. 5. D 6. C 7. 30° O A B C D E 第 6 题答图 O A B C D E 例题答图 O A B C D 第 5 题答图 O A B C D E 第 6 题答图 O A B C D E 第 10 题答图 O A B C E F 第 4 题答图 67 九年级上册 （人教版）数学 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 圆的概念 ◎ 从圆的形成的角度：如图24.1-1，在平面内，线段 OA 绕它固定的一 个端点 O 旋转 ，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.其固定的端点 O 叫做 ，线段 OA 叫做 .以点 O 为圆心的圆，记作 ， 读作“圆 O ”. ◎ 从集合的角度：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合. 1. 下列条件中， 能确定一个圆的是 （ ） A. 经过已知点 M B. 以点 O 为圆心， 10 cm 长为半径 C. 以 10 cm 长为半径 D. 以点 O 为圆心 图 24.1-1 第二十四章 圆 圆的对称性 弧、 弦、 圆心角之间的关系 同弧上的圆周角和圆心角的关系 圆的有关性质 点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 点、 直线和圆 的位置关系 三角形的外接圆 切线 三角形的内切圆 正多边形和圆 等分圆周 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 与圆有关的计算 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 O A 78 圆 第二十四章 2. 如图 24.1-2 ， 到点 O 的距离等于 3 cm 所有的点组成的图形是以点 为圆心， 为半径的圆 . 【知识点 2 】 圆的相关概念 ◎ 连接圆上任意两点的 叫做弦，经过 的弦叫做直径. ◎ 圆上任意 间的部分叫做圆弧，简称弧. 如图 24.1-3 ， 在 ⊙O 中， 请用符号表示下列图形： 弦 ， 直径 ， 半圆 ， 优弧 ， 劣弧 . 例题点拨 素养导向 【例】 如图 24.1-4 ， △ABC 和 △ABD 都为直角三角形， 且 ∠C＝∠D＝90°. 求证： A ， B ， C ， D 四点在同一个圆上 . 【点拨】 根据圆的定义， 要证明几个点在同一个圆上， 只要证明这几个点到一个点的距 离相等 . 即先确定圆心 O ， 再证明 AO=OB=OC=OD ， 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半， 从而得证 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， ⊙O 的半径为 4 cm ， ∠AOB＝60° ， 则弦 AB 的长为 cm. 2. 如果圆的半径为 3 ， 则弦长 x 的取值范围是 . 3. 如图， 在 ⊙O 中， 弦 AC∥ 半径 OB ， ∠BOC＝40° ， 则 ∠AOC 的度数为 . 4. 如图， 在 △ABC 中， ∠C＝90° ， AB＝10. 若以点 C 为圆心， CA 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D ， 则 ⊙C 的半径为 . 图 24.1-2 图 24.1-3 O r=3 O A B C A B C D 图 24.1-4 第 4 题图第 3 题图第 1 题图 O A B O A B C A BC D 79 九年级上册 （人教版）数学 5. 如图， AB 为 ⊙O 的直径， CD 是 ⊙O 的弦， AB ， CD 的延长线交于点 E ， 已知 AB＝ 2DE ， ∠E＝18° ， 求 ∠AOC 的度数 . 6. 已知， 如图， 在 ⊙O 中， C ， D 分别是半径 OA ， OB 的中点， 求证： AD＝BC. 能力提升 综合拓展 7. 如图， 已知正方形 ABCD 在 ⊙O 内部， 顶点 B ， C 在圆上， 点 A ， D 在直径上 . （ 1 ） 求证： OA＝OD ； （ 2 ） 若 ⊙O 半径为 4 5 姨 ， 求正方形 ABCD 的边长 . 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 O A B C D E O A B C D OA B C D M N 80