22.3 实际问题与二次函数(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

二 次 函 数 第二十二章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 二次函数与最大高度问题 ◎ 根据待定系数法求出解析式，再根据函数性质求最值. 2022 年的卡塔尔世界杯受到广泛关注， 在半决赛中， 一球员的一脚射门将足球沿着抛 物线飞向球门， 此时， 足球距离地面的高度 h 与足球被踢出后经过的时间 t 之间的关系式为 h＝-t 2 +bt. 已知足球被踢出 9 s 时落地， 那么足球到达距离地面最大高度时的时间 t 为 （ ） A. 3 s B. 3.5 s C. 4 s D. 4.5 s 【知识点 2 】 二次函数与利润问题 ◎ 总利润=单个利润×销售量 2023 年第 19 届杭州亚运会的举办带热了吉祥物 “宸宸、 琮琮和莲莲” 的销售 . 某网店 经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装， 每盒进价为 30 元 . 当地物价部门规定， 该礼盒销售单价最高 不能超过 50 元 / 盒 . 在销售过程中发现该礼盒每周的销量 y （件） 与销售单价 x （元） 之间近 似满足函数关系： y＝-2x+180 （ 30≤x≤50 ） . （ 1 ） 设该网店每周销售该礼盒所获利润为 w （元）， 求 w 与 x 的函数关系式； （ 2 ） 求该网店每周销售该礼盒所获最大利润 . 例题点拨 素养导向 【例】 随着某市近几年城市建设的快速发展， 对花木的需求量逐年提高 . 某园林专业户计 划投资种植树木及花卉， 根据市场调查与预测， 种植树木的利润 y 1 与投资量 x 成正比例关 系， 如图 1 所示 . 种植花卉的利润 y 2 与投资量 x 成二次函数关系， 如图 2 所示 . （注： 利润与 投资量的单位： 万元） （ 1 ） 分别求出利润 y 1 与 y 2 关于投资量 x 的函数关系式 . （ 2 ） 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植树木和花卉， 他至少能获得多少利润？ 他能 获取的最大利润是多少？ 22.3 实际问题与二次函数 （第一课时） 57 九年级上册 （人教版）数学 【点拨】 本题可先根据图象利用待定系数法求解函数解析式， 掌握函数的图象的特点是 解决本题的关键， 根据总利润 ＝ 树木利润 + 花卉利润， 列出函数关系式， 再求函数的最值 . 夯实四基 达标闯关 1. 某种型号的飞机着陆后滑行的距离 s （单位： m ）， 关于滑行时间 t （单位： s ） 的函数 解析式是 s＝100t-2.5t 2 ， 则此型号飞机着陆后滑行 m 停下来 . 2. 公路上正在行驶的甲车， 发现前方 30 m 处沿同一方向行驶的乙车后， 为了行驶安全， 开始减速， 减速后甲车行驶的路程 s （单位： m ）、 速度 v （单位： m/s ） 与时间 t （单位： s ） 的关系可以分别用二次函数和一次函数表示， 其图象如图所示 . （ 1 ） 当甲车减速至 6 m/s 时， 它行驶的路程是多少？ （ 2 ） 若乙车以 10 m/s 的速度匀速行驶， 当时间 t 在什么范围时， 两车间的距离不超过 25.5 米？ 能力提升 综合拓展 3. 将进货单价为 90 元的某种商品按 100 元售出时， 能卖出 500 个， 单价每上涨 1 元， 其销售量就减少 10 个， 为了获得最大利润， 售价应定为每件 （ ） A. 110 元 B. 120 元 C. 130 元 D. 150 元 图 22.3-1 52 s t 40.5 28 14.5 O 1 2 3 4 v 15 7 O 8 t 第 2 题图 P （ 1 ， 2 ） y x 2 1 1 2 O O y 1 2 1 2 Q （ 2 ， 2 ） x 图 1 图 2 58 二 次 函 数 第二十二章 4. 随着互联网应用的日趋成熟和完善， 电子商务在近几年得到了迅猛的发展 . 某电商以 每件 40 元的价格购进某款 T 恤， 以每件 60 元的价格出售 . 经统计， 元旦前一周的销量为 500 件， 该电商在元旦期间进行降价销售， 经调查， 发现该 T 恤在元旦前一周销量的基础上， 每降价 1 元， 销量就会增加 50 件 . 设该 T 恤的定价为 x 元， 获得的利润为 w 元 . （ 1 ） 求 w 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 若要求销售单价不低于成本， 且按照物价部门规定销售利润率不高于 30% ， 如何定 价才能使得利润最大？ 最大利润是多少元？ 利润率 = 利润 进价 ×100 0 " % 中考链接 真题演练 5. （ 2023 ·泉州） 福建漳州的优质甘蓝菜的所有种植成本为 2 元 /kg ， 经市场调查发现， 甘蓝菜的销售量 y （ kg ） 与销售单价 x （ 4≤x≤18 ） （元 /kg ） 成如图所示的一次函数关系 . （ 1 ） 根据图象提供的信息， 求 y 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 若销售甘蓝菜获取的利润为 w 元， 当销售单价 x 为多少元时， 获得的利润最大？ 最 大利润是多少？ 120 y x 110 O 4 6 第 5 题图 59 九年级上册 （ 人教版 ）数学 x＝-4 时 ， y＝5 ， ∴ 当 -4＜x＜0 时 ， y 的取值范围为 -4≤y＜5. 5. B 6. D 7. ①②④ 8. 解 ： （ 1 ） 将 C （ 1 ， 0 ）， D （ -3 ， 0 ） 代入 y＝-x 2 + bx +c 得 ， 0=-1+b+c ， 0=-9-3b+c c ， 解得 b=-2 ， c=3 c ， ∴y ＝-x 2 -2x +3 ＝ - （ x+1 ） 2 +4 ， ∴ 抛物线顶点坐标为 （ -1 ， 4 ） . （ 2 ） ①∵ 抛物线开口向下 ， 顶点坐标为 （ -1 ， 4 ）， ∴ 函数最大值为 y＝4 ， 对称轴为直线 x＝-1 ， 当 m-3≤ x≤m 时 ， 函 数 y 的 最 大 值 等 于 4 ， 依 题 意 得 ， m≥-1 ， m-3≤-1 c ， 解得 -1≤m≤2. ② 二次函数 y＝-x 2 +bx+c 的图象向上平移 n 个单位 后解析式为 y＝-x 2 -2x+3+n ， 抛物线顶点坐标为 （ -1 ， 4+n ）， 如图 1 ， 当顶点落在线段 AB 上时 ， 4+n＝5 ， 解 得 n＝1 ； 如图 2 ， 当抛物线向上移动 ， 经过点 B （ 0 ， 5 ） 时 ， 5＝3+n ， 解得 n＝2 ； 如图 3 ， 当抛物线经过点 A （ -3 ， 5 ） 时 ， 5＝-9+6+3+n ， 解得 n＝5. 综上 ， 当 n＝1 或 2≤n≤5 时 ， 函数图象与线段 AB 有一个公共点 . 9. B 22.3 实际问题与二次函数 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 解 ： （ 1 ） 该网店每周销售该礼 盒所获利润为 w＝ （ x-30 ）（ -2x+180 ）， ∴w＝-2x 2 + 240x-5 400. （ 2 ） 由题意 ， ∵w＝-2x 2 +240x-5 400＝-2 （ x 2 - 120x+3 600 ） +1 800＝-2 （ x-60 ） 2 +1 800 ， 又 30≤ x≤50 ， 抛物线开口向下 ， 对称轴是直线 x＝60 ， ∴ 当 x＝50 时 ， 该网店每周销售该礼盒所获利润 最大 ， 最大利润为 -2 （ 50-60 ） 2 +1 800＝1 600 （ 元 ） . 【 例 】 解 ： （ 1 ） 设 y 1 ＝kx ， ∵ 函数 y 1 ＝kx 的图 象过 （ 1 ， 2 ）， ∴k＝2 ， 故利润 y 1 关于投资量 x 的 函数关系式是 y 1 ＝2x （ x≥0 ） . ∵ 该抛物线的顶点 是原点 ， ∴ 设 y 2 ＝ax 2 . 又 ∵ 函数 y 2 ＝ax 2 的图象过 （ 2 ， 2 ）， ∴2＝a · 2 2 ， 解得 a= 1 2 ， 故利润 y 2 关于投 资量 x 的函数关系式是 y= 1 2 x 2 （ x≥0 ） . （ 2 ） 设这位专业户投入 x 万元 （ 0≤x≤8 ） 种植花卉 ， 则投入 （ 8-x ） 万元种植树木 ， 他获 得的利润是 z 万元 ， 根据题意得 ， z＝2 （ 8-x ） + 1 2 x 2 = 1 2 x 2 -2x+16= 1 2 （ x-2 ） 2 +14. ∵ 1 2 >0 ， ∴ 当 x＝2 时 ， z 的最小值是 14. ∴ 当 0≤x≤2 时 ， z 随 x 的增大 而减小 ； 当 2＜x≤8 时 ， z 随 x 的增大而增大 . ∵0≤x≤8 ， ∴ 当 x＝8 时 ， z 有最大值 ， 最大值为 32. 答 ： 他至少能获得 14 万元的利润 ， 他能获取 的最大利润是 32 万元 . 1. 1 000 2. 解 ： （ 1 ） 二次函数图象过原点 ， 可设二次函数 解析式为 s＝at 2 +nt （ a≠0 ）， 代入 （ 1 ， 14.5 ）， （ 2 ， 28 ）， 可得 a+n=14.5 ， 4a+2n=28 8 ， 解得 a=- 1 2 ， n=15 5 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 即二次函数解析式为 s=- 1 2 t 2 +15t. 设一次函数解析式为 v＝kt+m （ k≠0 ）， 代 入 （ 0 ， 15 ）， （ 8 ， 7 ） 得 ， m=15 ， 8k+m=7 c ， 解得 m=15 ， k=-1 c ， 即 一次函数解析式为 v＝-t+15 ， 当 v＝6 时 ， 代入一次函数 解析式 ， 解得 t＝15-v＝9 ， 此时 ， s=- 1 2 ×9 2 +15×9= 189 2 ， ∴ 当甲车减速至 6 m/s 时 ， 它行驶的路程是 189 2 m. （ 2 ） 乙车行驶速度是 10 m/s ， 时间是 t ， 行驶路程 为 10t ， 设甲 、 乙之间的距离为 h m ， 则 h＝30+10t-s= 30+10t- - 1 2 t 2 +15 5 , t = 1 2 t 2 -5t+30= 1 2 （ t-5 ） 2 + 35 2 ， ∴ 1 2 （ t- 5 ） 2 + 35 2 =25.5 ， 解得 t＝1 或 9. ∴1≤t≤9. 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 根据题意可得 ， w＝ （ x -40 ） ［ 500 + 50 （ 60-x ）］ ＝-50x 2 +5 500x-140 000 ， ∴w 与 x 之间的函 数关系式为 w＝-50x 2 +5 500x-140 000. A y x B O C E D A y x B O C D A y x B O C D 图 3 图 2 图 1 第 8 题答图 62 参 考 答 案 （ 2 ） 由题意可得 ， x≥40 ， x-40 40 ≤0.3 # % % % $ % % % & ， 解得 40≤x≤52. ∵a＝-50＜0 ， ∴ 抛物线开口向下 . ∵ 抛物线的对称轴为 直线 x＝55 ， ∴ 当 40≤x≤52 时 ， w 随 x 的增大而增大 ， ∴ 当 x＝52 时 ， w 的最大值为 w＝ （ 52-40 ）［ 500+50× （ 60- 52 ）］ ＝10 800 （ 元 ） . 答 ： 当定价为每件 52 元时 ， 才能 使利润最大 ， 最大利润为 10 800 元 . 5. 解 ： （ 1 ） 由题意可知 ， y 与 x 之间的关系式为 y＝kx+b ， 代入 （ 4 ， 120 ）， （ 6 ， 110 ）， 可得 120=4k+b ， 110=6k+b b ， ∴ 解得 k=-5 ， b=140 b . ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝-5x+ 140 （ 4≤x≤18 ） . （ 2 ） 由题意 ， 得 w＝ （ x-2 ）（ -5x+140 ） ＝-5x 2 +150x- 280＝-5 （ x-15 ） 2 +845. ∵-5＜0 ， 4≤x≤18 ， ∴ 当 x＝15 时 ， w 取得最大值 ， 最大值为 845. 答 ： 销售单价定为 15 元 /kg 时 ， 获得的利润最大 ， 最大利润为 845 元 . 22.3 实际问题与二次函数 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 B 【 知识点 2 】 B 【 例 】 40 2 姨 【 解析 】 设该抛物线的解析式 为 y＝ax 2 +k ， 根据题意可得顶点 C （ 0 ， 20 ）， ∴ 抛 物线 y＝ax 2 +20 ， 代入点 （ 20 ， 10 ）， ∴10＝400a+ 20 ， ∴400a＝-10 ， ∴a=- 1 40 ， ∴ 抛物线 y=- 1 40 x 2 + 20 ， 当 y＝0 时 ， 0=- 1 40 x 2 +20 ， ∴E （ 20 2 姨 ， 0 ）， D （ -20 2 姨 ， 0 ）， ∴OE＝OD＝20 2 姨 m ， ∴DE＝ OD+OE＝20 2 姨 +20 2 姨 =40 2 姨 （ m ） . 1. B 2. 2 3. 解 ： （ 1 ） 镶金色纸边后风景画的长为 （ 80+ 2x ） cm ， 宽为 （ 50+2x ） cm ， ∴y＝ （ 80+2x ）（ 50+2x ） ＝4x 2 + 260x+4 000 （ 1≤x≤2 ） . （ 2 ） ∵ 二次函数 y＝4x 2 +260x+4 000 的对称轴为 x=- 260 8 =- 65 2 ， ∴ 在 1≤x≤2 上 ， y 随 x 的增大而增 大 ， ∴ 当 x＝2 时 ， y 取最大值 ， 最大值为 4 536. 答 ： 金色纸边的宽为 2 cm 时 ， 这幅挂图的面积最 大 ， 最大面积的值为 4 536 cm 2 . 4. 解 ： （ 1 ） 由题意得 ， 抛物线的对称轴为 x＝4 ， 则 x=4=- b 2a =- - 4 5 2a ， 解得 a＝0.1 ， ∴ 抛物线的表达式 为 y＝0.1x 2 -0.8x+3 ， ∴ 点 A （ 0 ， 3 ）， 即 AB＝CD＝3 （ m ）， 当 x＝4 时 ， y＝0.1x 2 -0.8x+3＝1.4 ， 即顶点坐标为 （ 4 ， 1.4 ）， 故答案为 3 ， （ 4 ， 1.4 ） . （ 2 ） 设抛物线的表达式为 y＝a′ （ x-2 ） 2 +2 ， 将点 A 的坐标代入上式得 3＝a′ （ 0-2 ） 2 +2 ， 解得 a′= 1 4 ， ∴ 抛物 线的表达式为 y= 1 4 （ x-2 ） 2 +2 ， 当 x＝3 时 ， y= 1 4 （ x-2 ） 2 + 2=2.25 （ m ）， ∴ 点 M 到地面的距离为 2.25 m. 5. C 6. 220 7. 解 ： 设经过点 A ， B ， H 的抛物线的解析式为 y＝ ax 2 +c ， 根据题意得 H （ 0 ， 20 ）， B （ 40 ， 4 ）， 代入 y＝ax 2 + c 得 ， c＝20 ， 解得 a=- 1 100 ， ∴y=- 1 100 x 2 +20. ∵ 经过点 B′ ， H 的抛物线是由抛物线 y=- 1 100 x 2 +20 向右平移得 到的 ， ∴ 经过点 B′ ， H′ 的 抛 物 线 的 顶点 为 （ 10 ， 20 ）， ∴ 经过点 B′ ， H′ 的抛物线的解析式为 y=- 1 100 （ x- 10 ） 2 +20 ， 将 x＝0 代入 y=- 1 100 （ x-10 ） 2 +20 ， 得 y=- 1 100 （ 0- 10 ） 2 +20=19 ， ∴ 消防车后退 10 m 后两条水柱相遇点 H′ 距地面 19 m. 第二十三章 旋 转 23.1 图形的旋转 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 转动一个角度 旋转中心 旋转 角 对应点 1. ①② 2. 点 C 35 A′ B′ C 【 知识点 2 】 距离 旋转角 全等 1. B′ OB′ OB′ A′B′ A′B′ ∠A′ ∠A′ ∠B′ ∠B′ OA′ 全等 2. 55° 3. 2 【 例 】 解 ： ∵ 点 D （ 5 ， 3 ） 在边 AB 上 ， ∴AD= x y OD E A B H C 例题答图 63