22.2 二次函数与一元二次方程(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 利用二次函数的图象解一元二次方程 ◎ 在理解了二次函数图象和一元二次方程关系的基础上对方程的解进行正确的估算. 已知二次函数 y＝ax 2 +bx+c （ a≠0 ， a ， b ， c 为常数） 的 y 与 x 的部分对应值如表： 判断方程 ax 2 +bx+c＝0.05 的一个解 x 的取值范围是 （ ） A. 1＜x＜1.23 B. 1.23＜x＜1.24 C. 1.24＜x＜1.25 D. 1.25＜x＜1.26 【知识点 2 】 利用二次函数的图象解不等式 ◎ 利用二次函数的图象解不等式的步骤是先将二次函数化成顶点式，再利用二次函数图 象和性质准确且完整地写出自变量的取值范围. 已知抛物线 y＝-x 2 -2x+8. （ 1 ） 求抛物线的对称轴和顶点坐标； （ 2 ） 当 y＞0 时， 求自变量 x 的取值范围； （ 3 ） 当 -3＜x＜0 时， 求函数值 y 的取值范围 . 例题点拨 素养导向 【例】 二次函数 y＝ax 2 +bx 的图象如图所示， 若一元二次方程 ax 2 +bx+ c＝0 有实数根， 则 c 的最小值为 . 【点拨】 本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、 解一元一 次不等式等知识， 结合图象利用数形结合的思想可得 y≤4 ， 即 ax 2 +bx≤ 4 ， 由 ax 2 +bx+c＝0 可得 ax 2 +bx＝-c ， 则有 -c≤4 ， 即可解决问题 . 22.2 二次函数与一元二次方程 （第二课时） x 1.23 1.24 1.25 1.26 y -0.06 -0.08 -0.03 0.09 y x 4 O 图 22.2-2 54 二 次 函 数 第二十二章 夯实四基 达标闯关 1. 抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的部分图象如图所示， 对称轴为直线 x＝-1 ， 则 当 y＜0 ， x 的取值范围是 （ ） A. x＜1 B. x＞-1 C. -3＜x＜1 D. -4≤x≤1 2. 根据下列表格， 判断出方程 8x 2 +9x-1＝0 的一个近似解 （结果精确到 0.01 ） 是 （ ） A. -1.43 B. -1.33 C. -1.23 D. -1.13 3. 如图， 抛物线 y＝ax 2 +bx+c 与 x 轴的一个交点为 A （ -1 ， 0 ）， 与 y 轴 的交点 B 在点 （ 0 ， -2 ） 与点 （ 0 ， -3 ） 之间 （包含端点）， 顶点 D 的坐标 为 （ 1 ， n ）， 则下列结论： ①3a+c＝0 ； ② 2 3 <a＜1 ； ③ 对于任意实数 m ， a+ b≤am 2 +bm 总成立； ④ 关于 x 的方程 ax 2 +bx+c＝n+1 没有实数根 . 其中结论 正确的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图， 二次函数图象的顶点坐标为 （ -1 ， -4 ）， 与 x 轴的一个交点坐标为 （ 1 ， 0 ） . （ 1 ） 求该函数图象与 x 轴的另一个交点坐标； （ 2 ） 求这个二次函数的表达式； （ 3 ） 当 -4＜x＜0 时， 求 y 的取值范围 . 能力提升 综合拓展 5. 根据下列表格中二次函数 y＝ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的自变量 x 与函数值 y 的对应值， 可以 判断关于 x 的方程 ax 2 +bx+c＝0 （ a≠0 ） 的一个解 x 的取值范围是 （ ） A. -2＜x＜-1 B. -1＜x＜0 C. 0＜x＜1 D. 1＜x＜2 -1 O 1 x y 第 1 题图 x -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 8x 2 +9x-1 3.5 2.08 0.82 -0.28 -1.22 O y x 1-1 第 3 题图 -1 y x O 1 -4 第 4 题图 x -2 -1 0 1 2 y=ax 2 +bx+c 7 2 -1 -2 -1 55 九年级上册 （人教版）数学 6. 如表中列出的是二次函数 y＝ax 2 +bx+c 中 x 与 y 的几组对应值： 下列各选项中， 正确的是 （ ） A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的图象与 x 轴有两个交点， 且都在 y 轴同侧 C. 当 x＞1 时， y 的值随 x 值的增大而增大 D. 方程 ax 2 + （ b+2 ） x+c＝-4 的解为 x 1 ＝0 ， x 2 ＝1 7. 已知抛物线 y＝x 2 +bx-3 ， 下列说法： ① 抛物线与 x 轴必有两个交点； ② 若抛物线经过 （ 5-m ， 1 ）， （ 5+m ， 1 ） 两点， 则 b＝-10 ； ③ 若抛物线与 x 轴两个交点的距离大于 4 ， 则 b＜-2 ； ④ 若抛物线经过位于对称轴两侧的 （ -3 ， y 1 ）， （ 1 ， y 2 ） 两点， 且 y 1 ＜y 2 ， 则 2＜b＜6. 其中一定 正确的结论有 （填写序号即可） . 8. 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A （ -3 ， 5 ）， B （ 0 ， 5 ） . 二次函数 y＝-x 2 +bx+c 的图象 交 x 轴于 C （ 1 ， 0 ）， D （ -3 ， 0 ） 两点， 交 y 轴于点 E. （ 1 ） 求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标 . （ 2 ） 结合图象， 填空： ① 当 m-3≤x≤m 时， y 的最大值等于 4 ， 求 m 的取值范围； ② 连接 AB ， 若二次函数 y＝-x 2 +bx+c 的图象向上平移 n （ n＞0 ） 个单位时， 与线段 AB 有 一个公共点， 求 n 的取值范围 . 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·青岛） 如表是二次函数 y＝ax 2 +bx+c 的 x ， y 的部分对应值： 则对于该函数的性质的判断： ① 该二次函数有最大值； ② 不等式 y＞-1 的解集是 x＜0 或 x＞2 ； ③ 方程 ax 2 +bx+c＝0 的两个实数根分别位于 - 1 2 <x<0 和 2<x< 5 2 之间； ④ 当 x＞0 时， 函数 值 y 随 x 的增大而增大 . 其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x … -2 0 1 y … 6 -4 -6 3 -4 … … 第 8 题图 x … - 1 2 0 … y … 1 4 -1 … 1 2 - 7 4 1 3 2 2 5 2 m - 7 4 -1 n A y x B O C E D 56 参 考 答 案 -1-b+c=0 ， -9+3b+c=0 0 ， 解得 b=2 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的表达式为 y=-x 2 + 2x+3. 令 x=0 得 ， y=3 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， 3 ） . （ 2 ） 将 y=3 代入函数解析式得 ， -x 2 +2x+3=3 ， 解 得 x 1 =0 ， x 2 =2 ， 即 m=0 或 2. 又 ∵ 当 x≥m 时 ， y 的最 大值为 3 ， 且抛物线的顶点坐标为 （ 1 ， 4 ）， ∴m=2 ， 故 点 D 的坐标为 （ 2 ， 3 ） . 则 S △BCD = 1 2 ×2×3=3. 7. D 8. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数 y=-x 2 +bx+c 的图象经过 点 A （ 3 ， 1 ）、 点 B （ 0 ， 4 ） . ∴ -9+3b+c=1 ， c=4 0 ， 解得 b=2 ， c=4 0 ， ∴ 该二次函数为 y=-x ２ +２x+４. ∵y=- （ x-1 ） 2 +5 ， ∴ 顶点为 （ 1 ， 5 ） . （ 2 ） ∵ 点 C （ m ， n ） 在该二次函数图象上 ， ① 当 m=-1 时 ， 则 C （ -1 ， n ）， 把 C （ -1 ， n ） 代入 y=-x 2 +2x+ 4 得 ， n=1 ； ② 当 m≤x≤3 时 ， n 的最大值为 5 ， 最小 值为 1. ∵ 抛物线的顶点为 （ 1 ， 5 ）， 把 y=1 代入 y=- x 2 +2x+4 得 ， 1=-x 2 +2x+4 ， 解得 x 1 =3 ， x 2 =-1 ， ∴m 的取 值范围是 -1≤m≤1. 9. 解 ： （ 1 ） ∵x=- -2a 2a =1 ， 当 x=0 时 ， y=ax 2 -2ax+ 4=4 ， ∴ 抛物线的对称轴是直线 x=1 ， 抛物线与 y 轴的 交点坐标是 （ 0 ， 4 ）， 故答案为 1 ， （ 0 ， 4 ） . （ 2 ） ∵ 抛物线的顶点恰好在 x 轴上 ， ∴ 抛物线的 顶点坐标为 （ 1 ， 0 ） . 把 （ 1 ， 0 ） 代入 y=ax 2 -2ax+4 得 ， 0=a×1 2 -2a×1+4 ， 解得 a=4 ， ∴ 抛物线的解析式为 y= 4x 2 -8x+4. （ 3 ） ∵A （ m-1 ， y 1 ）， B （ m ， y 2 ）， C （ m+2 ， y 3 ） 为抛 物线上三点 ， 且总有 y 1 >y 3 >y 2 ， 又 ∵m-1<m<m+2 ， 抛物 线的对称轴是直线 x=1 ， ∴A ， B 两点位于对称轴左侧 ， 点 C 位于对称轴右侧 ， 且点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离 ， 点 C 到对称轴的距离大于点 B 到 对称轴的距离 ， ∴1- （ m-1 ） >m+2-1>1-m ， 解得 0< m< 1 2 . 22.2 二次函数与一元二次方程 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 B 【 例 】 A 1. B 2. D 3. 1 4. 2 024 5. （ -3 ， 0 ） 6. x 1 ＝-1 ， x 2 ＝3 7. B 8. D 9. B 10. k< 9 4 且 k≠0 11. -1 或 0 12. （ 1 ） 解 ： 根据题意知 ， 图象数为 ［ 1 ， -1 ， 0 ］ 的二次函数表达式为 y＝x 2 -x. 故答案为 y＝x 2 -x. （ 2 ） 证明 ： 由题意得 ， 二次函数的解析式为 y＝ x 2 + （ m+3 ） x+m ， ∵Δ＝ （ m+3 ） 2 -4m＝ （ m+1 ） 2 +8＞0 ， ∴ “ 图象 数 ” 为 ［ 1 ， m+3 ， m ］ 的二次函数的图象与 x 轴恒有 两个交点 . 13. A 22.2 二次函数与一元二次方程 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 解 ： （ 1 ） ∵y＝-x 2 -2x+8＝- （ x 2 + 2x ） +8＝- （ x+1 ） 2 +9 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝ -1 ， 顶点坐标为 （ -1 ， 9 ） . （ 2 ） 在 y＝-x 2 -2x+8 中 ， 令 y＝0 ， 得 -x 2 -2x+8＝ 0 ， 解得 x 1 ＝-4 ， x 2 ＝2 ， ∵a＝-1＜0 ， ∴ 抛物线开口 向下 ， ∴ 当 y＞0 时 ， 自变量 x 的取值范围是 -4＜ x＜2. （ 3 ） ∵y＝-x 2 -2x+8＝- （ x 2 +2x ） +8＝- （ x+1 ） 2 +9 ， 抛物线开口向下 ， 对称轴为直线 x＝-1 ， ∴ 当 x＝-1 时 ， 抛物线有最大值 ， 最大值为 9 ， 当 x＝-3 时 ， y＝- （ -3 ） 2 -2× （ -3 ） +8＝5 ， 当 x＝0 时 ， y＝8 ， ∴ 当 -3＜x＜0 时 ， 函数值 y 的取值范围是 5＜y≤9. 【 例 】 解 ： 由图可知 ， y≤4 ， 即 ax 2 +bx≤4 ， ∵ax 2 +bx+c＝0 ， ∴ax 2 +bx＝-c ， ∴-c≤4 ， ∴c≥-4. ∴c 的最小值为 -4. 故答案为 -4. 1. C 2. C 3. B 4. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数的对称轴为直线 x＝-1 ， 与 x 轴的一个交点坐标为 （ 1 ， 0 ）， ∴ 二次函数图象与 x 轴的另一交点为 （ -3 ， 0 ） . （ 2 ） 设二次函数的表达式为 y＝a （ x+1 ） 2 -4 ， 把 （ 1 ， 0 ） 代入解析式得 ， 4a-4＝0 ， 解得 a＝1 ， ∴ 二次函 数的表达式为 y＝ （ x+1 ） 2 -4. （ 3 ） ∵ 抛物线开口向上 ， 顶点坐标为 （ -1 ， -4 ）， ∴ 抛物线的最小值为 -4. ∵-1- （ -4 ） ＝3＞0- （ -1 ） ＝1 ， ∴ 当 61 九年级上册 （ 人教版 ）数学 x＝-4 时 ， y＝5 ， ∴ 当 -4＜x＜0 时 ， y 的取值范围为 -4≤y＜5. 5. B 6. D 7. ①②④ 8. 解 ： （ 1 ） 将 C （ 1 ， 0 ）， D （ -3 ， 0 ） 代入 y＝-x 2 + bx +c 得 ， 0=-1+b+c ， 0=-9-3b+c c ， 解得 b=-2 ， c=3 c ， ∴y ＝-x 2 -2x +3 ＝ - （ x+1 ） 2 +4 ， ∴ 抛物线顶点坐标为 （ -1 ， 4 ） . （ 2 ） ①∵ 抛物线开口向下 ， 顶点坐标为 （ -1 ， 4 ）， ∴ 函数最大值为 y＝4 ， 对称轴为直线 x＝-1 ， 当 m-3≤ x≤m 时 ， 函 数 y 的 最 大 值 等 于 4 ， 依 题 意 得 ， m≥-1 ， m-3≤-1 c ， 解得 -1≤m≤2. ② 二次函数 y＝-x 2 +bx+c 的图象向上平移 n 个单位 后解析式为 y＝-x 2 -2x+3+n ， 抛物线顶点坐标为 （ -1 ， 4+n ）， 如图 1 ， 当顶点落在线段 AB 上时 ， 4+n＝5 ， 解 得 n＝1 ； 如图 2 ， 当抛物线向上移动 ， 经过点 B （ 0 ， 5 ） 时 ， 5＝3+n ， 解得 n＝2 ； 如图 3 ， 当抛物线经过点 A （ -3 ， 5 ） 时 ， 5＝-9+6+3+n ， 解得 n＝5. 综上 ， 当 n＝1 或 2≤n≤5 时 ， 函数图象与线段 AB 有一个公共点 . 9. B 22.3 实际问题与二次函数 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 解 ： （ 1 ） 该网店每周销售该礼 盒所获利润为 w＝ （ x-30 ）（ -2x+180 ）， ∴w＝-2x 2 + 240x-5 400. （ 2 ） 由题意 ， ∵w＝-2x 2 +240x-5 400＝-2 （ x 2 - 120x+3 600 ） +1 800＝-2 （ x-60 ） 2 +1 800 ， 又 30≤ x≤50 ， 抛物线开口向下 ， 对称轴是直线 x＝60 ， ∴ 当 x＝50 时 ， 该网店每周销售该礼盒所获利润 最大 ， 最大利润为 -2 （ 50-60 ） 2 +1 800＝1 600 （ 元 ） . 【 例 】 解 ： （ 1 ） 设 y 1 ＝kx ， ∵ 函数 y 1 ＝kx 的图 象过 （ 1 ， 2 ）， ∴k＝2 ， 故利润 y 1 关于投资量 x 的 函数关系式是 y 1 ＝2x （ x≥0 ） . ∵ 该抛物线的顶点 是原点 ， ∴ 设 y 2 ＝ax 2 . 又 ∵ 函数 y 2 ＝ax 2 的图象过 （ 2 ， 2 ）， ∴2＝a · 2 2 ， 解得 a= 1 2 ， 故利润 y 2 关于投 资量 x 的函数关系式是 y= 1 2 x 2 （ x≥0 ） . （ 2 ） 设这位专业户投入 x 万元 （ 0≤x≤8 ） 种植花卉 ， 则投入 （ 8-x ） 万元种植树木 ， 他获 得的利润是 z 万元 ， 根据题意得 ， z＝2 （ 8-x ） + 1 2 x 2 = 1 2 x 2 -2x+16= 1 2 （ x-2 ） 2 +14. ∵ 1 2 >0 ， ∴ 当 x＝2 时 ， z 的最小值是 14. ∴ 当 0≤x≤2 时 ， z 随 x 的增大 而减小 ； 当 2＜x≤8 时 ， z 随 x 的增大而增大 . ∵0≤x≤8 ， ∴ 当 x＝8 时 ， z 有最大值 ， 最大值为 32. 答 ： 他至少能获得 14 万元的利润 ， 他能获取 的最大利润是 32 万元 . 1. 1 000 2. 解 ： （ 1 ） 二次函数图象过原点 ， 可设二次函数 解析式为 s＝at 2 +nt （ a≠0 ）， 代入 （ 1 ， 14.5 ）， （ 2 ， 28 ）， 可得 a+n=14.5 ， 4a+2n=28 8 ， 解得 a=- 1 2 ， n=15 5 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 即二次函数解析式为 s=- 1 2 t 2 +15t. 设一次函数解析式为 v＝kt+m （ k≠0 ）， 代 入 （ 0 ， 15 ）， （ 8 ， 7 ） 得 ， m=15 ， 8k+m=7 c ， 解得 m=15 ， k=-1 c ， 即 一次函数解析式为 v＝-t+15 ， 当 v＝6 时 ， 代入一次函数 解析式 ， 解得 t＝15-v＝9 ， 此时 ， s=- 1 2 ×9 2 +15×9= 189 2 ， ∴ 当甲车减速至 6 m/s 时 ， 它行驶的路程是 189 2 m. （ 2 ） 乙车行驶速度是 10 m/s ， 时间是 t ， 行驶路程 为 10t ， 设甲 、 乙之间的距离为 h m ， 则 h＝30+10t-s= 30+10t- - 1 2 t 2 +15 5 , t = 1 2 t 2 -5t+30= 1 2 （ t-5 ） 2 + 35 2 ， ∴ 1 2 （ t- 5 ） 2 + 35 2 =25.5 ， 解得 t＝1 或 9. ∴1≤t≤9. 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 根据题意可得 ， w＝ （ x -40 ） ［ 500 + 50 （ 60-x ）］ ＝-50x 2 +5 500x-140 000 ， ∴w 与 x 之间的函 数关系式为 w＝-50x 2 +5 500x-140 000. A y x B O C E D A y x B O C D A y x B O C D 图 3 图 2 图 1 第 8 题答图 62