22.2 二次函数与一元二次方程(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

二 次 函 数 第二十二章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 利用二次函数与一元二次方程之间的关系 ◎ 如果抛物线 y = ax 2+ bx + c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当x=x0时，函 数值是0，因此 x = x0是方程ax2+bx+c=0的一个根. 已知抛物线 y＝ax 2 +bx+c 上某些点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： 有以下几个结论： ① 抛物线 y＝ax 2 +bx+c 与 y 轴的交点坐标是 （ 0 ， -3 ）； ② 抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的对称轴为直线 x＝-2 ； ③ 关于 x 的方程 ax 2 +bx+c＝0 的根为 -3 和 -1 ； ④ 当 y＜0 时， x 的取值范围是 -3＜x＜-1. 其中正确的个数有 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【知识点 2 】 抛物线与 x 轴的公共点个数与一元二次方程根的情况之间的关系 ◎ 二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点， 有两个公共点.这对应着一元二次方程 ax 2+ bx + c =0的根的三种情况：没有实数根，有两个相 等的实数根，有两个不等的实数根. 二次函数 y＝x 2 -2x+1 的图象与 x 轴的交点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 例题点拨 素养导向 【例】 二次函数 y＝ax 2 +bx+c 的部分图象如图所示， 可知方程 ax 2 +bx+ c＝0 的一个根为 x＝5 ， 则方程的另一个根为 （ ） A. x＝-1 B. x＝0 C. x＝1 D. x＝2 【点拨】 若想确定方程 ax 2 +bx+c＝0 的另一个根， 可以利用抛物线的对 称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标即可， 因为抛物线的对称轴为直线 x＝2 ， 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 （ 5 ， 0 ）， 则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 （ -1 ， 0 ）， ∴ 方程 ax 2 + bx+c＝0 的根为 x 1 ＝-1 ， x 2 ＝5 ， 即方程的另一个根为 -1. 22.2 二次函数与一元二次方程 （第一课时） x … -4 -3 … y … -3 p … -2 1 -1 p 0 m y x O 2 5 图 22.2-1 51 九年级上册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 已知二次函数 y＝x 2 -5x+m （ m 为常数） 的图象与 x 轴的一个交点为 （ 1 ， 0 ）， 则关于 x 的一元二次方程 x 2 -5x+m＝0 的两个实数根是 （ ） A. x 1 ＝1 ， x 2 ＝-1 B. x 1 ＝1 ， x 2 ＝4 C. x 1 ＝1 ， x 2 ＝0 D. x 1 ＝1 ， x 2 ＝5 2. 对于二次函数 y＝x 2 -4x+5 的图象， 下列说法正确的是 （ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 x＝-2 C. 与 x 轴有两个交点 D. 顶点坐标是 （ 2 ， 1 ） 3. 若抛物线 y＝mx 2 +2x+1 与 x 轴只有一个公共点， 则 m 的值是 . 4. 已知抛物线 y＝x 2 -x-1 与 x 轴的一个交点为 （ m ， 0 ）， 则代数式 m 2 -m+2 023 的值为 . 5. 已知二次函数 y＝x 2 +4x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 （ -1 ， 0 ）， 则它与 x 轴的另一个 交点的坐标是 . 6. 二次函数 y＝ax 2 +bx+c 的部分对应值列表如下： 则一元二次方程 a （ 2x-1 ） 2 +b （ 2x-1 ） +c＝7 的解为 . 能力提升 综合拓展 7. 已知抛物线 y＝ax 2 +bx+c 上的部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表： 以下结论： ① 该抛物线的开口向上； ② 对称轴为直线 x＝-2 ； ③ 关于 x 的方程 ax 2 +bx+c＝0 的根为 -1 和 -3 ； ④ 当 y＜0 时， x 的取值范围是 -3＜x＜-1. 其中正确的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知抛物线 y＝ax 2 +bx+b-a （ a＞0 ）， 当 0≤x≤3 时， -5≤y≤0 ， 若将抛物线向左平移 4 个单位后经过点 （ -1 ， 0 ）， 则 b 的值为 （ ） A. -1 B. - 3 2 C. -2 D. - 5 2 x … -3 0 … y … 7 -8 … 1 -9 3 -5 5 7 x … -4 -3 … y … -3 m … -2 1 -1 0 0 -3 52 二 次 函 数 第二十二章 9. 根据下列表格中二次函数 y＝ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的自变量 x 与函数值 y 的对应值， 可以 判断关于 x 的方程 ax 2 +bx+c＝0 （ a≠0 ） 的一个解 x 的取值范围是 （ ） A. -2＜x＜-1 B. -1＜x＜0 C. 0＜x＜1 D. 1＜x＜2 10. 若抛物线 y＝kx 2 -3x+1 与 x 轴有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是 . 11. 若函数 y＝ （ a+1 ） x 2 -2x+1 的图象与 x 轴只有一个交点， 则 a 为 . 12. 新定义： ［ a ， b ， c ］ 为二次函数 y＝ax 2 +bx+c （ a≠0 ， a ， b ， c 为实数） 的 “图象 数”， 如 y＝-x 2 +2x+3 的 “图象数” 为 ［ -1 ， 2 ， 3 ］ . （ 1 ） 图象数为 ［ 1 ， -1 ， 0 ］ 的二次函数表达式为 . （ 2 ） 求证： “图象数” 为 ［ 1 ， m+3 ， m ］ 的二次函数的图象与 x 轴恒有两个交点 . 中考链接 真题演练 13. （ 2023 ·青岛） 在平面直角坐标系中， 抛物线 y＝ax 2 +bx+c 与直线 y＝mx+n 如图所示， 方程 ax 2 + （ b-m ） x+ （ c-n ） ＝0 的解为 （ ） A. x 1 ＝0 ， x 2 ＝3 B. x 1 ＝-3 ， x 2 ＝3 C. x 1 ＝-1 ， x 2 ＝3 D. x 1 ＝-3 ， x 2 ＝0 -1 y 3 O x -3 第 13 题图 x -2 -1 0 2 y=ax 2 +bx+c 7 2 -1 -1 1 -2 53 参 考 答 案 -1-b+c=0 ， -9+3b+c=0 0 ， 解得 b=2 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的表达式为 y=-x 2 + 2x+3. 令 x=0 得 ， y=3 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， 3 ） . （ 2 ） 将 y=3 代入函数解析式得 ， -x 2 +2x+3=3 ， 解 得 x 1 =0 ， x 2 =2 ， 即 m=0 或 2. 又 ∵ 当 x≥m 时 ， y 的最 大值为 3 ， 且抛物线的顶点坐标为 （ 1 ， 4 ）， ∴m=2 ， 故 点 D 的坐标为 （ 2 ， 3 ） . 则 S △BCD = 1 2 ×2×3=3. 7. D 8. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数 y=-x 2 +bx+c 的图象经过 点 A （ 3 ， 1 ）、 点 B （ 0 ， 4 ） . ∴ -9+3b+c=1 ， c=4 0 ， 解得 b=2 ， c=4 0 ， ∴ 该二次函数为 y=-x ２ +２x+４. ∵y=- （ x-1 ） 2 +5 ， ∴ 顶点为 （ 1 ， 5 ） . （ 2 ） ∵ 点 C （ m ， n ） 在该二次函数图象上 ， ① 当 m=-1 时 ， 则 C （ -1 ， n ）， 把 C （ -1 ， n ） 代入 y=-x 2 +2x+ 4 得 ， n=1 ； ② 当 m≤x≤3 时 ， n 的最大值为 5 ， 最小 值为 1. ∵ 抛物线的顶点为 （ 1 ， 5 ）， 把 y=1 代入 y=- x 2 +2x+4 得 ， 1=-x 2 +2x+4 ， 解得 x 1 =3 ， x 2 =-1 ， ∴m 的取 值范围是 -1≤m≤1. 9. 解 ： （ 1 ） ∵x=- -2a 2a =1 ， 当 x=0 时 ， y=ax 2 -2ax+ 4=4 ， ∴ 抛物线的对称轴是直线 x=1 ， 抛物线与 y 轴的 交点坐标是 （ 0 ， 4 ）， 故答案为 1 ， （ 0 ， 4 ） . （ 2 ） ∵ 抛物线的顶点恰好在 x 轴上 ， ∴ 抛物线的 顶点坐标为 （ 1 ， 0 ） . 把 （ 1 ， 0 ） 代入 y=ax 2 -2ax+4 得 ， 0=a×1 2 -2a×1+4 ， 解得 a=4 ， ∴ 抛物线的解析式为 y= 4x 2 -8x+4. （ 3 ） ∵A （ m-1 ， y 1 ）， B （ m ， y 2 ）， C （ m+2 ， y 3 ） 为抛 物线上三点 ， 且总有 y 1 >y 3 >y 2 ， 又 ∵m-1<m<m+2 ， 抛物 线的对称轴是直线 x=1 ， ∴A ， B 两点位于对称轴左侧 ， 点 C 位于对称轴右侧 ， 且点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离 ， 点 C 到对称轴的距离大于点 B 到 对称轴的距离 ， ∴1- （ m-1 ） >m+2-1>1-m ， 解得 0< m< 1 2 . 22.2 二次函数与一元二次方程 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 B 【 例 】 A 1. B 2. D 3. 1 4. 2 024 5. （ -3 ， 0 ） 6. x 1 ＝-1 ， x 2 ＝3 7. B 8. D 9. B 10. k< 9 4 且 k≠0 11. -1 或 0 12. （ 1 ） 解 ： 根据题意知 ， 图象数为 ［ 1 ， -1 ， 0 ］ 的二次函数表达式为 y＝x 2 -x. 故答案为 y＝x 2 -x. （ 2 ） 证明 ： 由题意得 ， 二次函数的解析式为 y＝ x 2 + （ m+3 ） x+m ， ∵Δ＝ （ m+3 ） 2 -4m＝ （ m+1 ） 2 +8＞0 ， ∴ “ 图象 数 ” 为 ［ 1 ， m+3 ， m ］ 的二次函数的图象与 x 轴恒有 两个交点 . 13. A 22.2 二次函数与一元二次方程 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 解 ： （ 1 ） ∵y＝-x 2 -2x+8＝- （ x 2 + 2x ） +8＝- （ x+1 ） 2 +9 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝ -1 ， 顶点坐标为 （ -1 ， 9 ） . （ 2 ） 在 y＝-x 2 -2x+8 中 ， 令 y＝0 ， 得 -x 2 -2x+8＝ 0 ， 解得 x 1 ＝-4 ， x 2 ＝2 ， ∵a＝-1＜0 ， ∴ 抛物线开口 向下 ， ∴ 当 y＞0 时 ， 自变量 x 的取值范围是 -4＜ x＜2. （ 3 ） ∵y＝-x 2 -2x+8＝- （ x 2 +2x ） +8＝- （ x+1 ） 2 +9 ， 抛物线开口向下 ， 对称轴为直线 x＝-1 ， ∴ 当 x＝-1 时 ， 抛物线有最大值 ， 最大值为 9 ， 当 x＝-3 时 ， y＝- （ -3 ） 2 -2× （ -3 ） +8＝5 ， 当 x＝0 时 ， y＝8 ， ∴ 当 -3＜x＜0 时 ， 函数值 y 的取值范围是 5＜y≤9. 【 例 】 解 ： 由图可知 ， y≤4 ， 即 ax 2 +bx≤4 ， ∵ax 2 +bx+c＝0 ， ∴ax 2 +bx＝-c ， ∴-c≤4 ， ∴c≥-4. ∴c 的最小值为 -4. 故答案为 -4. 1. C 2. C 3. B 4. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数的对称轴为直线 x＝-1 ， 与 x 轴的一个交点坐标为 （ 1 ， 0 ）， ∴ 二次函数图象与 x 轴的另一交点为 （ -3 ， 0 ） . （ 2 ） 设二次函数的表达式为 y＝a （ x+1 ） 2 -4 ， 把 （ 1 ， 0 ） 代入解析式得 ， 4a-4＝0 ， 解得 a＝1 ， ∴ 二次函 数的表达式为 y＝ （ x+1 ） 2 -4. （ 3 ） ∵ 抛物线开口向上 ， 顶点坐标为 （ -1 ， -4 ）， ∴ 抛物线的最小值为 -4. ∵-1- （ -4 ） ＝3＞0- （ -1 ） ＝1 ， ∴ 当 61