22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

二 次 函 数 第二十二章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 ◎ 将二次函数 y = ax 2+ bx + c 化成顶点式 y = ax 2+ bx + c = a x+ b 2a a # 2+4ac-b2 4a 即可得到其性质. 在平面直角坐标系中， 对于抛物线 y= 3 4 x 2 -3x+4 ， 下列说法中错误的是 （ ） A. y 的最小值为 1 B. 图象顶点坐标为 （ 2 ， 1 ）， 对称轴为直线 x=2 C. 当 x<2 时， y 的值随 x 值的增大而增大， 当 x>2 时， y 的值随 x 值的增大而减小 D. 它的图象可以由 y= 3 4 x 2 的图象向右平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位得到 【知识点 2 】 会求二次函数 y=ax 2 +bx+c 的最大值和最小值 ◎ 一般地，二次函数 y = ax 2+ bx + c 可以通过配方化成 y = a （ x - h ）2+ k 的形式，即 y = ax 2+ bx + c = a x +b2 a a a 2+4ac-b24 a .若 a >0，当 x =-b2 a 时， y最小值=4ac-b24 a ；若 a <0，当 x =-b2 a 时， y最大值= 4 ac - b 2 4 a . 已知二次函数的图象 （ 0≤x≤4 ） 如图， 关于该函数在所给自变量 的取值范围内， 下列说法正确的是 （ ） A. 有最大值 2 ， 有最小值 -2.5 B. 有最大值 2 ， 有最小值 1.5 C. 有最大值 1.5 ， 有最小值 -2.5 D. 有最大值 2 ， 无最小值 例题点拨 素养导向 【例】 定义新运算： 对于任意实数 m ， n 都有 m*n=m 2 -mn. 例如： -2*2= （ -2 ） 2 - （ -2 ） ×2=8 ， 根据以上知识解决下列问题： 求抛物线 y= （ x+2 ） * （ -2 ） 的顶点坐标 . 【点拨】 此题需要利用新定义运算法则先列出方程， 然后利用配方法写出顶点式解析式， 可以直接得到答案 . 22.1.4 二次函数 y=ax 2 +bx+c的图象和性质 （第一课时） 2 y x 1 -1 -2 1.5 -2.5 O 1 2 3 4 图 22.1-3 45 九年级上册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 二次函数 y=2x 2 -8x+1 的最小值是 （ ） A. 7 B. -7 C. 9 D. -9 2. 二次函数 y=x 2 -5x+1 的图象与 y 轴的交点坐标是 （ ） A. （ 0 ， 1 ） B. （ 0 ， -1 ） C. （ 1 ， 0 ） D. （ -1 ， 0 ） 3. 若抛物线 y＝-x 2 +bx+c 经过点 （ -2 ， -3 ）， 则 c-2b 的值是 （ ） A. -7 B. -1 C. 1 D. 7 4. 将下列各二次函数解析式化为 y=a （ x-h ） 2 +k 的形式， 并写出顶点坐标 . （ 1 ） y=x 2 -6x-1 ； （ 2 ） y=-2x 2 -4x-6 ； （ 3 ） y= 1 2 x 2 +3x+10. 5. 已知二次函数 y＝x 2 -4x+3. （ 1 ） 补全表格， 并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； （ 2 ） 将二次函数 y＝x 2 -4x+3 的图象向左平移 4 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度， 得到新的抛物线， 写出新抛物线的表达式， 并求出这条抛物线的对称轴 . x … 0 1 2 3 y … 3 0 -1 4 … … 第 5 题图 y x O 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1 46 二 次 函 数 第二十二章 能力提升 综合拓展 6. 已知点 P 1 （ 1 ， y 1 ）， P 2 （ 3 ， y 2 ）， P 3 （ 5 ， y 3 ） 均在二次函数 y=-x 2 +2x+c 的图象上， 则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是 （ ） A. y 3 >y 2 >y 1 B. y 3 >y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 >y 3 D. y 1 =y 2 >y 3 7. 我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线， 已知抛物线 C 1 ： y=2x 2 -4x+3. （ 1 ） 下列抛物线中， 与 C 1 是同位抛物线的是 ； A. y=3x 2 -6x+4 B. y=-2x 2 -4x+3 C. y=2x 2 （ 2 ） 若抛物线 C 2 ： y=x 2 -2x+c 与 C 1 是同位抛物线， 求 c 的值 . 8. 已知二次函数 y=-x 2 +4x-3. （ 1 ） 用配方法将函数 y=-x 2 +4x-3 的解析式化为 y=a （ x+m ） 2 +k 的形式， 并指出该函数图象 的对称轴和顶点坐标 . （ 2 ） 设该函数的图象与 x 轴交于点 A ， B ， 点 A 在点 B 左侧， 与 y 轴交于点 C ， 顶点记 作 D ， 求四边形 ADBC 的面积 . 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·阜新） 对二次函数 y= 1 2 x 2 +2x+3 的性质描述正确的是 （ ） A. 函数图象开口朝下 B. 当 x<0 时， y 随 x 的增大而减小 C. 该函数图象的对称轴在 y 轴左侧 D. 该函数图象与 y 轴的交点位于 y 轴负半轴 47 参 考 答 案 【 知识点 2 】 B 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 抛物线 y=a （ x-h ） 2 的对称 轴是直线 x=-2 ， ∴h=-2 ， ∴ 抛物线解析式为 y= a （ x+2 ） 2 . ∵ 抛物线过 （ 1 ， -3 ）， ∴-3=9a ， 解得 a=- 1 3 ， ∴ 抛物线解析式为 y=- 1 3 （ x+2 ） 2 . （ 2 ） ∵ 抛物线为 y=- 1 3 （ x+2 ） 2 ， ∴ 抛物线的 开口向下 ， 顶点为 （ -2 ， 0 ） . 1. C 2. D 3. 向下 （ 1 ， 0 ） x=1 >1 <1 4. （ ２ ， ０ ） （ 0 ， 16 ） 5. 2 （ 2 ， 0 ） 6. 解 ： 如图 ， （ 1 ） 抛物 线 y= 1 5 （ x-5 ） 2 的顶点为 A （ 5 ， 0 ）， 由 x=0 ， 则 y=5 ， 抛物 线与 y 轴交于点 B （ 0 ， 5 ） ， ∵ 对称轴为直线 x=5 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ １0 ， ５ ） . （ 2 ） S △ABC = 1 2 ×10×5=25. （ ３ ） AB=AC=5 2 姨 ， BC=10 ， ∵AB 2 +AC 2 =BC 2 ， ∴ △ABC 是等腰直角三角形 . 7. C 8. D 9. m<n 10. 解 ： （ 1 ） 令 y=0 ， 则 （ x+4 ） 2 =0 ， 解得 x 1 =x 2 = -4 ， ∴ 点 A （ -4 ， 0 ）， 令 x=0 ， 则 y= （ 0+4 ） 2 =16 ， ∴ 点 B （ 0 ， 16 ） . （ 2 ） ∵y= （ x+4 ） 2 ， ∴ 对称轴方程为直线 x=-4. （ 3 ） 存在 . ∵ 以 P ， A ， O ， B 为顶点的四边形为平 行四边形 ， ∴AP=OB=16 ， 当点 P 在点 A 的上方时 ， 点 P 的坐标为 （ -4 ， 16 ）， 当点 P 在点 A 的下方时 ， 点 P 的坐标为 （ -4 ， -16 ） . 综上所述 ， 点 P 的坐标为 （ -4 ， 16 ） 或 （ -4 ， -16 ） 时 ， 以 P ， A ， O ， B 为顶点的四边 形为平行四边形 . 11. -2≤h≤2 22.1.3 二次函数 y=a （ x-h ） 2 +k 的图象和性质 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 解 ： （ 1 ） 分别将 x=1 ， 2 ， 3 代 入 y= （ x-2 ） 2 +1 得 y=2 ， 1 ， 2 ， 故答案为 2 ， 1 ， 2. （ 2 ） 如图 ， 【 知识点 2 】 （ 1 ） 向 下 （ -2 ， -2 ） （ 2 ） >-2 （ 3 ） 先向左平移 2 个单位 ， 再向下平 移 2 个单位 【 例 】 A 解析 ： ∵ 函数 y= （ x-2 023 ） 2 +2 024 ， ∴ 抛物线开口向上 ， 对称轴为直线 x=2 023. ∵2 023≤a<2 024 ， ∴2 021≤a-2<2 022. ∴A 到对 称轴的距离小于 B 到对称轴的距离 ， ∴b<c. 故选 A. 1. A 2. B 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. 解 ： （ 1 ） ∵y=- 1 4 （ x-1 ） 2 ， ∴ 抛物线开口向下 ， 对称轴为直线 x=1 ， 顶点坐标为 （ 1 ， 0 ） . （ 2 ） ∵y=2x 2 -7 ， ∴ 抛物线开口向上 ， 对称轴为 y 轴 ， 顶点坐标为 （ 0 ， -7 ） . （ 3 ） ∵y=2 （ x+3 ） 2 +6 ， ∴ 抛物线开口向上 ， 对称轴 为直线 x=-3 ， 顶点坐标为 （ -3 ， 6 ） . 9. 解 ： ∵ 抛物线 y=a （ x-h ） 2 有最大值 ， ∴ 该抛物线 的开口方向向下 . 又 ∵ 当 x=2 时 ， 函数有最大值 ， ∴ 对称轴是直线 x=2 ， ∴ 当 x>2 时 ， y 随 x 的增大而减小 . 10. -3≤y<1 11. 26 12. C 13. A 22.1.4 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 A 【 例 】 解 ： 根据题意知 ， y= （ x+2 ） 2 - （ -2 ）（ x+2 ） x y A O B C 第 6 题答图 y x -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 6 5 4 3 2 1 知识点 1 答图 x y O 2 第 9 题答图 7 59 九年级上册 （ 人教版 ）数学 =x 2 +4x+4+2x+4=x 2 +6x+8= （ x+3 ） 2 -1 ， ∴ 顶点坐标 为 （ -3 ， -1 ） . 1. B 2. A 3. C 4. 解 ： （ 1 ） y=x 2 -6x-1=x 2 -6x+9-9-1= （ x-3 ） 2 -10 ， ∴ 顶点 （ 3 ， -10 ） . （ 2 ） y=-2x 2 -4x-6=-2 （ x 2 +2x+1-1 ） -6=-2 （ x+1 ） 2 -4 ， 顶点 （ -1 ， -4 ） . （ 3 ） y= 1 2 x 2 +3x+10= 1 2 （ x 2 +6x+9-9 ） +10= 1 2 （ x+3 ） 2 + 11 2 ， 顶点 -3 ， 11 2 2 " . 5. 解 ： （ 1 ） 补全表格 ， 如表所示 ： 故答案为 0 ， 3. （ 2 ） y＝x 2 -4x+3＝ （ x-2 ） 2 -1 ， ∴ 将二次函数 y＝x 2 -4x+ 3 的图象向左平移 4 个单位长度 ， 再向上平移 2 个单 位长度 ， 得到新的抛物线解析式为 y＝ （ x-2+4 ） 2 -1+2 ， 即 y＝ （ x+2 ） 2 +1 ， ∴ 这条抛物线的对称轴为直线 x＝-2. 用描点法画出该二次函数的图象如图所示 . 6. C 7. 解 ： （ 1 ） ∵y=2x 2 -4x+3=2 （ x-1 ） 2 +1 ， ∴ 抛物线 C 1 的顶点坐标为 （ 1 ， 1 ） . ∵y=3x 2 -6x+4=3 （ x-1 ） 2 +1 ， ∴ 抛物线 y=3x 2 -6x+4 的顶点坐标为 （ 1 ， 1 ） . ∵y=-2x 2 - 4x+3=-2 （ x+1 ） 2 +5 ， ∴ 顶点坐标为 （ -1 ， 5 ）， y=2x 2 的顶点 坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴ 与 C 1 是同位抛物线的是 A ， 故选 A. （ 2 ） ∵ 抛物线 C 2 ： y=x 2 -2x+c= （ x-1 ） 2 +c-1 的顶点 坐标为 （ 1 ， c-1 ）， ∵ 抛物线 C 2 与 C 1 是同位抛物线 ， ∴c-1=1 ， ∴c=2. 8. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数 y=-x 2 +4x-3=- （ x-2 ） 2 +1 ， ∴ 该函数图象的开口向下 ， 顶点坐标为 （ 2 ， 1 ）， 对称 轴为直线 x=2. （ 2 ） ∵y=-x 2 +4x-3=- （ x-2 ） 2 +1 ， ∴D （ 2 ， 1 ）， 当 y=0 时 ， 即 -x 2 +4x-3=0 ， 解得 x 1 =1 ， x 2 =3. ∵ 该函数的图象 与 x 轴交于点 A ， B ， 点 A 在点 B 左侧 ， ∴A （ 1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ）， ∴AB=2 ， 当 x=0 时 ， y=-3 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， -3 ） . 如图所示 ， S 四边形 ACBD =S △ABD +S △ABC = 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×3=4 ， ∴ 四边形 ACBD 的面积为 4. 9. C 22.1.4 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 解 ： （ 1 ） 由题知 ， 将点 （ 0 ， 5 ）， （ 1 ， 2 ） ， （ 2 ， 1 ） 分别代入函数表达式得 ， c=5 ， a+b+c=2 ， 4a+2b+c=1 1 & & & & % & & & & ' ， 解得 a=1 ， b=-4 ， c=5 1 & & & & % & & & & ' ， ∴ 该二次函数表达式 为 y=x 2 -4x+5. （ 2 ） 当 x=-1 时 ， y 1 = （ -1 ） 2 -4× （ -1 ） +5=10 ； 当 x=4 时 ， y 2 =4 2 -4×4+5=5. ∴y 1 >y 2 . 故答案为 >. 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∴ 点 A （ -1 ， 0 ）， B （ 2 ， -3 ） 都在二次函数 y=ax 2 +bx-3 的图象上 . ∴ a-b-3=0 ， 4a+2b-3=-3 3 ， 解得 a=1 ， b=-2 3 ， ∴a=1 ， b=-2. （ 2 ） ∵a=1 ， b=-2 ， ∴y=x 2 -2x-3= （ x-1 ） 2 -4 ， ∴ 对称轴为直线 x=1. ∵a=1>0 ， 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 ， 又 ∵ （ -2 ， y 1 ） 关于对称轴 的对称点为 （ 4 ， y 1 ）， （ 0 ， y 2 ） 关于对称轴的对 称点为 （ 2 ， y 2 ）， ∵2< 5 2 <4 ， ∴y 2 <y 3 <y 1 . 1. B 2. A 3. A 4. y= （ x-2 ） 2 -1 5. y= （ x-3 ） 2 -4 6. 解 ： （ 1 ） 将 A ， B 两点坐标代入函数解析式得 ， x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … x y O （ 0 ， 3 ） （4 ， 3 ） （ 1 ， 0 ） （ 3 ， 0 ） （ 2 ， -1 ） 第 5 题答图 x y O A D B C 第 8 题答图 60