22.1.3 二次函数y=(x-h)2+k的图象和性质(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 二次函数 y=ax 2 +k 的图象 ◎y = ax 2+ k 的图象由 y = ax 2的图象向上（或向下）平移得到. 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y=x 2 +1 的图象由 y=x 2 平移 1 个单位长度得到 . 【知识点 2 】 二次函数 y=ax 2 +k 的性质 对于二次函数 y=3x 2 +2 ， 下列说法错误的是 （ ） A. 最小值为 2 B. 图象为 y=3x 2 向下平移 2 个单位长度 C. 当 x<0 时， y 随 x 的增大而减小 D. 其图象的对称轴是 y 轴 例题点拨 素养导向 【例】 在同一坐标系中， 画出函数 y＝-x 2 和 y＝-x 2 +1 的图象， 根据图象回答： （ 1 ） 抛物线 y＝-x 2 +1 经过怎样的平移得到抛物线 y＝-x 2 . （ 2 ） 对于函数 y＝-x 2 +1 ： ① 当 x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？ ② 当 x 为何值时， 函数 y 有最大值？ 最大值是多少？ ③ 求 y＝-x 2 +1 的图象与 x 轴、 y 轴的交点坐标 . 【点拨】 作出函数图象即可得到平移方向和距离； 再利用二次函数 y=ax 2 +k 的性质求解 即可 . 22.1.3 二次函数 y=a（x-h） 2 +k 的图象和性质 （第一课时） y=ax 2 +k a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 （ 0 ， k ） （ 0 ， k ） 最值 当 x=0 时， y 最小值 =k 当 x=0 时， y 最大值 =k 增减性 当 x<0 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大 当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x<0 时， y 随 x 的增大而增大 36 二 次 函 数 第二十二章 夯实四基 达标闯关 1. 关于抛物线 y=-x 2 +2 ， 下列说法正确的是 （ ） A. 开口向上 B. 对称轴是 y 轴 C. 有最小值 D. 当 x<0 时， 函数 y 随 x 的增大而减小 2. 抛物线 y＝3x 2 +2 的顶点坐标是 （ ） A. （ 0 ， 2 ） B. （ -2 ， 0 ） C. （ 2 ， 0 ） D. （ 0 ， -2 ） 3. 当 a<0 ， c>0 时， 二次函数 y=ax 2 +c 的图象大致是 （ ） 4. 求下列各抛物线的解析式 . （ 1 ） 已知一条抛物线的顶点在 y 轴上， 且经过 （ 1 ， -2 ）， （ 2 ， 3 ） 两点； （ 2 ） 已知某抛物线与抛物线 y=2x 2 +3 的形状， 开口方向都一样， 顶点为 （ 0 ， 4 ）； （ 3 ） 已知抛物线 y=ax 2 +c 与 x 轴交于两点 （ 2 ， 0 ）， （ -2 ， 0 ）， 与 y 轴交于点 （ 0 ， 2 ） . 能力提升 综合拓展 5. 在同一直角坐标系中， 一次函数 y＝-ax+b 与二次函数 y＝ax 2 -b 的大致图象可能是 （ ） y x O y x O y x O y x O A B C D O x y O x y O x y O x y A B C D 37 九年级上册 （人教版）数学 6. 抛物线 y＝ax 2 +c 与抛物线 y＝-ax 2 +c 的关系是 （ ） A. 关于 y 轴对称 B. 关于 x 轴对称 C. 有公共顶点且开口相反 D. 关于原点对称 7. 与抛物线 y＝- 4 5 x 2 -1 顶点相同， 形状也相同， 而开口方向相反的抛物线所对应的函数 表达式是 （ ） A. y＝- 4 5 x 2 -1 B. y＝ 4 5 x 2 -1 C. y＝- 4 5 x 2 +1 D. y＝ 4 5 x 2 +1 8. 如图为函数 y= 1 2 x 2 +1 和 y= 1 2 x 2 的图象， 则图中阴影部分 的面积为 . 9. 一次函数 y=kx+4 与二次函数 y=ax 2 +c 的图象的一个交点坐 标是 （ 1 ， 2 ）， 另一个交点是该二次函数图象的顶点 . （ 1 ） 求 k ， a ， c 的值 . （ 2 ） 过点 A （ 0 ， m ） （ 0<m<4 ） 且垂直于 y 轴的直线与二次函数 y=ax 2 +c 的图象相交于 B ， C 两点 . 点 O 为坐标原点， 记 W=OA 2 +BC 2 ， 求 W 关于 m 的函数解析式， 并求当 W 取最小值 时点 A 的坐标 . 中考链接 真题演练 10. （ 2022 ·吉林） 对于二次函数 y＝2x 2 -3 ， 当 -1≤x≤2 时， y 的取值范围是 （ ） A. -1≤y≤5 B. -5≤y≤5 C. -3≤y≤5 D. -2≤y≤5 11. （ 2023 ·盘锦） 在同一坐标系中， 一次函数 y＝-kx+2 与二次函数 y＝x 2 +k 的图象可能是 （ ） 第 8 题图 6 y x 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4-1-2 O y= 1 2 x 2 y= 1 2 x 2 +1 x y O x y O x y O x y O A B C D 38 九年级上册 （ 人教版 ）数学 10. B 11. 4 12. 1+ 2 姨 13. 解 ： （ 1 ） 设直线 l 的解析式为 y＝kx+b ， 则有 9 ４ =-3k+b ， 0= 3 2 k+b b $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 k=- 1 2 ， b= 3 4 4 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， ∴ 直线 l 的解析式为 y＝ - 1 2 x+ ３ ４ ， 把点 A -３ ， 9 ４ ４ ( 代入 y＝ax 2 ， 得到 9 ４ ＝9a ， ∴a＝ 1 ４ ， ∴ 抛物线的解析式为 y＝ 1 ４ x 2 . （ 2 ） 如图 ， 设 P t ， 1 ４ t ４ t 2 ， ∵OC 为一边且顶点为 O ， C ， P ， D 的四边形是平行四边形 ， ∴PD∥OC ， PD＝ OC ， ∴D t ， - 1 2 t+ 3 4 4 t ， ∴ 1 4 t 2 - - 1 2 t+ 3 4 ４ t ＝ 3 4 ， 整 理得 ， t 2 +2t-6＝0 或 t 2 +2t＝0 ， 解得 t＝-1- 7 姨 或 -1+ 7 姨 或 -2 或 0 （ 舍弃 ） ， ∴P -1- 7 姨 ， 2+ 7 姨 2 ４ t 或 -1+ 7 姨 ， 2- 7 姨 2 ４ t 或 （ -2 ， 1 ） . 14. 8 22.1.3 二次函数 y=a （ x-h ） 2 +k 的图象和性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 向上 【 知识点 2 】 B 【 例 】 解 ： 图象为 ： （ 1 ） 抛物线 y＝-x 2 +1 向下平移 1 个单位得到 抛物线 y＝-x 2 . （ 2 ） 对于函数 y＝-x 2 +1 ： ① 当 x＞0 时 ， y 随 x 的增大而减小 ； ② 当 x＝0 时 ， 函数 y 有最大值 ， 最大值是 1 ； ③ 令 y＝-x 2 +1＝0 ， 解得 x＝±1 ， ∴ 与 x 轴的交点坐标为 （ -1 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ）， 令 x＝0 ， 解 得 y＝1 ， ∴ 与 y 轴交于 （ 0 ， 1 ） . 1. B 2. A 3. D 4. 解 ： （ 1 ） ∵ 抛物线的顶点在 y 轴上 ， ∴ 设抛物 线的解析式是 y=ax 2 +k ， 把 （ 1 ， -2 ）， （ 2 ， 3 ） 代入得 a+k=-2 ， 4a+k=3 3 ， 解得 a= 5 3 ， k=- 11 3 ， 即抛物线的解析式是 y= 5 3 x 2 - 11 3 . （ 2 ） ∵ 抛物线的顶点坐标为 （ 0 ， 4 ）， 形状开口方 向与抛物线 y=2x 2 +3 相同 ， ∴ 这个二次函数的解析式为 y=2 （ x-0 ） 2 +4 ， 即 y=2x 2 +4. （ 3 ） ∵ 抛物线 y=ax 2 +c 与 x 轴交于两点 （ 2 ， 0 ）， （ -2 ， 0 ）， 与 y 轴交于点 （ 0 ， 2 ）， ∴ 代入得 4a+c=0 ， c=2 3 ， 解得 a=- 1 2 ， c=2 ， 即抛物线的解析式是 y=- 1 2 x 2 +2. 5. D 6 . C 7. B 8. 4 9. 解 ： （ 1 ） 将 （ 1 ， 2 ） 代入 y=kx+4 ， 得 2=k+4 ， k=-2 ， ∴ 一次函数解析式为 y=-2x+4. ∵ 二次函数 y= ax 2 +c 的顶点坐标为 （ 0 ， c ）， ∴ （ 0 ， c ） 在直线 y=-2x+ 4 上 ， ∴c=4 ， ∴y=ax 2 +4 ， 将 （ 1 ， 2 ） 代入 y=ax 2 +4 ， 得 2=a+4 ， 解得 a=-2 ， 综上所述 ， k=-2 ， a=-2 ， c=4. （ 2 ） ∵y=-2x 2 +4 ， ∴ 抛物线的对称轴为 y 轴 ， 过点 A （ 0 ， m ） 且垂直于 y 轴的直线为 y=m. 设点 B 坐标为 （ x b ， m ）， 由抛物线对称性可得点 C 坐标为 （ -x b ， m ）， ∴BC=2｜x b ｜. 又 ∵ 点 B 在二次函数 y=-2x 2 +4 上 ， ∴-2x 2 b + 4=m ， 即 x 2 b =2- m 2 ， ∴BC 2 =4x 2 b =8-2m. ∵OA=m ， ∴W= OA 2 +BC 2 =m 2 -2m+8. ∵m 2 -2m+8= （ m-1 ） 2 +7 ， ∴m=1 时 ， W=7 为最小值 ， 此时点 A 坐标为 （ 0 ， 1 ） . 10. C 11. A 22.1.3 二次函数 y=a （ x-h ） 2 +k 的图象和性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 B C y x B A M O l D P 第 13 题答图 y x O 例题答图 58 参 考 答 案 【 知识点 2 】 B 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 抛物线 y=a （ x-h ） 2 的对称 轴是直线 x=-2 ， ∴h=-2 ， ∴ 抛物线解析式为 y= a （ x+2 ） 2 . ∵ 抛物线过 （ 1 ， -3 ）， ∴-3=9a ， 解得 a=- 1 3 ， ∴ 抛物线解析式为 y=- 1 3 （ x+2 ） 2 . （ 2 ） ∵ 抛物线为 y=- 1 3 （ x+2 ） 2 ， ∴ 抛物线的 开口向下 ， 顶点为 （ -2 ， 0 ） . 1. C 2. D 3. 向下 （ 1 ， 0 ） x=1 >1 <1 4. （ ２ ， ０ ） （ 0 ， 16 ） 5. 2 （ 2 ， 0 ） 6. 解 ： 如图 ， （ 1 ） 抛物 线 y= 1 5 （ x-5 ） 2 的顶点为 A （ 5 ， 0 ）， 由 x=0 ， 则 y=5 ， 抛物 线与 y 轴交于点 B （ 0 ， 5 ） ， ∵ 对称轴为直线 x=5 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ １0 ， ５ ） . （ 2 ） S △ABC = 1 2 ×10×5=25. （ ３ ） AB=AC=5 2 姨 ， BC=10 ， ∵AB 2 +AC 2 =BC 2 ， ∴ △ABC 是等腰直角三角形 . 7. C 8. D 9. m<n 10. 解 ： （ 1 ） 令 y=0 ， 则 （ x+4 ） 2 =0 ， 解得 x 1 =x 2 = -4 ， ∴ 点 A （ -4 ， 0 ）， 令 x=0 ， 则 y= （ 0+4 ） 2 =16 ， ∴ 点 B （ 0 ， 16 ） . （ 2 ） ∵y= （ x+4 ） 2 ， ∴ 对称轴方程为直线 x=-4. （ 3 ） 存在 . ∵ 以 P ， A ， O ， B 为顶点的四边形为平 行四边形 ， ∴AP=OB=16 ， 当点 P 在点 A 的上方时 ， 点 P 的坐标为 （ -4 ， 16 ）， 当点 P 在点 A 的下方时 ， 点 P 的坐标为 （ -4 ， -16 ） . 综上所述 ， 点 P 的坐标为 （ -4 ， 16 ） 或 （ -4 ， -16 ） 时 ， 以 P ， A ， O ， B 为顶点的四边 形为平行四边形 . 11. -2≤h≤2 22.1.3 二次函数 y=a （ x-h ） 2 +k 的图象和性质 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 解 ： （ 1 ） 分别将 x=1 ， 2 ， 3 代 入 y= （ x-2 ） 2 +1 得 y=2 ， 1 ， 2 ， 故答案为 2 ， 1 ， 2. （ 2 ） 如图 ， 【 知识点 2 】 （ 1 ） 向 下 （ -2 ， -2 ） （ 2 ） >-2 （ 3 ） 先向左平移 2 个单位 ， 再向下平 移 2 个单位 【 例 】 A 解析 ： ∵ 函数 y= （ x-2 023 ） 2 +2 024 ， ∴ 抛物线开口向上 ， 对称轴为直线 x=2 023. ∵2 023≤a<2 024 ， ∴2 021≤a-2<2 022. ∴A 到对 称轴的距离小于 B 到对称轴的距离 ， ∴b<c. 故选 A. 1. A 2. B 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. 解 ： （ 1 ） ∵y=- 1 4 （ x-1 ） 2 ， ∴ 抛物线开口向下 ， 对称轴为直线 x=1 ， 顶点坐标为 （ 1 ， 0 ） . （ 2 ） ∵y=2x 2 -7 ， ∴ 抛物线开口向上 ， 对称轴为 y 轴 ， 顶点坐标为 （ 0 ， -7 ） . （ 3 ） ∵y=2 （ x+3 ） 2 +6 ， ∴ 抛物线开口向上 ， 对称轴 为直线 x=-3 ， 顶点坐标为 （ -3 ， 6 ） . 9. 解 ： ∵ 抛物线 y=a （ x-h ） 2 有最大值 ， ∴ 该抛物线 的开口方向向下 . 又 ∵ 当 x=2 时 ， 函数有最大值 ， ∴ 对称轴是直线 x=2 ， ∴ 当 x>2 时 ， y 随 x 的增大而减小 . 10. -3≤y<1 11. 26 12. C 13. A 22.1.4 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 A 【 例 】 解 ： 根据题意知 ， y= （ x+2 ） 2 - （ -2 ）（ x+2 ） x y A O B C 第 6 题答图 y x -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 6 5 4 3 2 1 知识点 1 答图 x y O 2 第 9 题答图 7 59