22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

二 次 函 数 第二十二章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 二次函数 y=ax 2 的图象 在同一坐标系中画出 y 1 ＝2x 2 ， y 2 ＝-2x 2 ， y 3 ＝ 1 2 x 2 的图象， 正确的是 （ ） 【知识点 2 】 二次函数 y=ax 2 的图象的性质 关于二次函数 y=2x 2 ， 下列说法正确的是 （ ） A. 图象开口方向是向下 B. 当 x<0 时， y 随 x 的增大而减小 C. 对称轴是直线 x=2 D. 当 x=0 时， y 有最大值， 最大值是 0 例题点拨 素养导向 【例】 已知一个二次函数， 它的对称轴是 y 轴， 顶点是原点， 且经过点 （ 1 ， -3 ） . （ 1 ） 写出这个二次函数的解析式 . （ 2 ） 图象在对称轴右侧部分， y 随 x 的增大怎样变化？ （ 3 ） 指出这个函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个值 . 【点拨】 要想求出解析式， 可以根据此二次函数图象的性质直接设 y＝ax 2 ， 把点 （ 1 ， -3 ） 代入即可， 再根据求得 a 的正负可判断其增减性并且求出其最值 . 22.1.2 二次函数 y=ax 2 的图象和性质 y O y 2 x y 3 y 1 y O y 3 x y 1 y 2 y O x y 1 y 2 y 3 y O y 2 x y 1 y 3 A B C D y=ax 2 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 （ 0 ， 0 ） （ 0 ， 0 ） 最值 当 x=0 时， y 最小值 =0 当 x=0 时， y 最大值 =0 增减性 当 x<0 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大 当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x<0 时， y 随 x 的增大而增大 33 九年级上册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 若二次函数 y=ax 2 的图象过点 P （ -2 ， 4 ）， 则该图象必经过点 （ ） A. （ 2 ， 4 ） B. （ -2 ， -4 ） C. （ -4 ， 2 ） D. （ 4 ， -2 ） 2. 下列函数中， 当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小的是 （ ） A. y=x B. y=x+1 C. y=x 2 D. y=-x 2 3. 关于二次函数 y＝-5x 2 ， 下列说法中正确的是 （ ） A. 图象的开口向上 B. 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大 C. 图象的顶点坐标是 （ -5 ， 0 ） D. 当 x＝0 时， y 有最小值是 0 4. 已知二次函数 y＝ （ m-2 ） x 2 的图象开口向下， 则 m 的取值范围是 . 5. 已知抛物线 y＝3x 2 ， 当 x≤0 时， y 随 x 的增大而 . 6. 如图， 在同一平面直角坐标系中， 作出了二次函数 ①y＝3x 2 ； ②y= 1 2 x 2 ； ③y＝x 2 的图象 . 则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二 次函数依次是 . （按照要求只填写序号） 7. 二次函数 y=-5x 2 的图象是一条 ， 它的对称轴是 ， 顶点是 ， 开口方向 ， 经过 象限， 当 x 时， 函数值随 x 的 增大而减小 . 8. 二次函数 y＝x 2 与一次函数 y＝2x+1 ， C 是一次函数图象上一点， D 是抛物线的顶点， 若 CD⊥x 轴， 则线段 CD 的长为 . 9. 已知， 一次函数 y＝kx+b 的图象与二次函数 y＝ax 2 的图象交于点 A （ 1 ， m ） 和 B （ -2 ， 4 ）， 与 y 轴交于点 C. （ 1 ） 求两个函数的解析式； （ 2 ） 求 △AOB 的面积 . x y O 第 6 题图 y=kx+b y y=ax 2 O -1 1 A C B x 第 9 题图 34 二 次 函 数 第二十二章 能力提升 综合拓展 10. 二次函数 y＝2 3 姨 x 2 的图象如图所示， 点 O 为坐标原点， 点 A 在 y 轴的正半轴上， 点 B ， C 在函数图象上， 四边形 OBAC 为菱形， 且 ∠AOB＝ 30° ， 则点 C 的坐标为 （ ） A. - 1 2 ， 3 姨 姨 $ B. - 1 2 ， 3 姨 2 2 & C. -1 ， 3 姨 2 2 & D. （ -1 ， 3 姨 ） 11. 已知二次函数 y= 1 2 x 2 的图象如图所示， 线段 AB∥x 轴， 交抛物 线于 A ， B 两点， 且点 A 的横坐标为 2 ， 则 AB 的长度为 . 12. 如图， 正方形 ABCD ， CEFG 的顶点 D ， F 都在抛物线 y＝- 1 2 x 2 上， 点 B ， C ， E 均在 y 轴上 . 若点 O 是 BC 边的中点， 则正方形 CEFG 的 边长为 . 13. 如图， 已知抛物线 y＝ax 2 过点 A -3 ， 9 4 2 & ， 已知直线 l 过点 A 和 M 3 2 ， 2 & 0 ， 且与抛物线交于另一点 B ， 与 y 轴交于点 C. （ 1 ） 求直线 l 和抛物线的解析式； （ 2 ） 若点 P ， D 分别是抛物线与直线 l 上的动点， PD∥y 轴且 OC＝PD ， 求所有符合条件 的 P 点坐标 . 中考链接 真题演练 14. （ 2022 ·武汉） 如图， 正方形的边长为 4 ， 以正方形中心为原点建 立平面直角坐标系， 作出函数 y= 1 3 x 2 与 y=- 1 3 x 2 的图象， 则阴影部分的 面积是 . A y x B C O 第 10 题图 C y x B A M O l 第 13 题图 y x O 2 A B 第 11 题图 O y x B A D C G F E 第 12 题图 y x O 第 14 题图 35 参 考 答 案 方体盒子的底面长为 30 2 - ! " y cm 、 宽为 （ 12-2y ） cm 的 矩形 ， 依题意 ， 得 30 2 - ! " y （ 12-2y ） ＝104 ， 整理 ， 得 y 2 - 21y+38＝0 ， 解得 y 1 ＝2 ， y 2 ＝19 （ 不合题意 ， 舍去 ）， 盒 子的体积为 104×2＝208 （ cm 3 ） . 答 ： 能折出底面积为 104 cm 2 的有盖盒子 ， 盒子的体积为 208 cm 3 . 13. A 14. 解 ： （ 1 ） 设矩形 ABCD 的边 AB＝x m ， 则边 BC＝70-2x+2＝ （ 72-2x ） m. 根据题意 ， 得 x （ 72-2x ） ＝640 ， 化简 ， 得 x 2 -36x+320＝0 ， 解得 x 1 ＝16 ， x 2 ＝20 ， 当 x＝16 时 ， 72-2x＝72-32＝40 （ m ）， 当 x＝20 时 ， 72-2x＝72- 40＝32 （ m ） . 答 ： 当羊圈的长为 40 m ， 宽为 16 m 或 长为 32 m ， 宽为 20 m 时 ， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈 . （ 2 ） 不能 . 理由 ： 由题意 ， 得 x （ 72-2x ） ＝650 ， 化 简得 x 2 -36x+325＝0 ， Δ＝b 2 -4ac＝ （ -36 ） 2 -4×325＝-4＜0 ， ∴ 一 元二次方程没有实数根 . ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m 2 . 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 设宽为 x cm ， 由题意得 ， 矩形 的周长为 800 cm ， ∴ 矩形的长为 800-2x 2 cm ， ∴y＝x · 800-2x 2 ＝-x 2 +400x （ 0＜x＜200 ） . y 是 x 的二 次函数 . 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 矩形的长为 4 cm ， 宽为 3 cm ， ∴ 矩形的面积 ＝4×3＝12 （ cm 2 ） . ∵ 矩形的 长与宽都增加 x cm ， ∴ 增加后矩形的面积 ＝ （ 4+x ）· （ 3+x ） cm 2 ， ∴y= （ 4+x ）（ 3+x ） -12 ， 即 y＝x 2 +7x ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x 2 +7x. （ 2 ） y＝x 2 +7x 是二次函数 . （ 3 ） ∵x 为矩形增加的长与宽 ， ∴ 自变量 x 的 取值范围为 x≥0. 1. D 2. A 3. 解 ： （ 1 ） 3y＝3 （ x-1 ） 2 +1 是二次函数 ， 二次项是 x 2 ， 一次项是 -2x ， 常数项是 4 3 . （ 2 ） y＝-0.5 （ x-1 ） （ x+4 ） 是二次函数 ， 二次项是 -0.5x 2 ， 一次项是 -1.5x ， 常数项是 2. （ 3 ） s＝3-2t 2 是二次函数 ， 二次项是 -2t 2 ， 一次项 是 0 ， 常数项是 3. （ 4 ） y＝2x （ x 2 +3x-1 ） 不是二次函数 . 4. 解 ： （ 1 ） 依题意 m 2 -m＝0 且 m-1≠0 ， ∴m＝0. （ 2 ） 依题意 m 2 -m≠0 ， ∴m≠1 且 m≠0. 5. 解 ： 由题意得 ， （ x+4 ） 2 ＝y+4 2 ， 整理得 y＝x 2 +8x ， 故 y 是 x 的二次函数 . 6. 解 ： （ 1 ） 由题意得 ， 圆柱的表面积 S＝2πrh+ 2πr 2 ＝2π · x 2 · 10+2π · x 2 ! " 2 ＝ 1 2 πx 2 +10πx ， ∴ 圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的函数关系式为 S＝ 1 2 πx 2 + 10πx. ∵ 1 2 π≠0 ， ∴ 函数 S＝ 1 2 πx 2 +10πx 是二次函数 . （ 2 ） ∵ 1 2 π×10 2 +10π×10- 1 2 π×4 2 -10π×4＝150π- 48π＝102π （ cm 2 ）， ∴ 圆柱的表面积增加了 102π cm 2 . 7. C 22.1.2 二次函数 y=ax 2 的图象和性质 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 B 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 抛物线对称轴是 y 轴 ， 顶 点是原点 ， 可设 y＝ax 2 （ a≠0 ）， 把点 （ 1 ， -3 ） 代入 ， 得 a＝-3 ， y＝-3x 2 . （ 2 ） ∵a＝-3＜0 ， ∴ 在对称轴右侧部分 ， y 随 x 的增大而减小 . （ 3 ） ∵a＝-3＜0 ， ∴ 函数有最大值 ， 即当 x＝0 时 ， 函数最大值为 0. 1. A 2. D 3. B 4. m＜2 5. 减小 6. ①③② 7. 抛物线 y 轴 （ 0 ， 0 ） 向下 第三 、 第四 >0 8. 1 9. 解 ： （ 1 ） 把点 B （ -2 ， 4 ） 代入二次函数 y＝ax 2 得 ， 4a＝4 ， a＝1 ， 二次函数的解析式为 y＝x 2 ； 把点 A （ 1 ， m ） 代入二次函数解析式得 m＝1 ， 把点 A （ 1 ， 1 ）， B （ -2 ， 4 ） 代入一次函数 y＝kx+b 得 ， k+b=1 ， -2k+b=4 4 ， 解得 k=-1 ， b=2 4 ， 故一次函数的解析式为 y＝-x+2. （ 2 ） 一次函数与 y 轴交于点 C （ 0 ， 2 ） ， S △AOB ＝ S △AOC +S △COB ＝ 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×2＝3. 57 九年级上册 （ 人教版 ）数学 10. B 11. 4 12. 1+ 2 姨 13. 解 ： （ 1 ） 设直线 l 的解析式为 y＝kx+b ， 则有 9 ４ =-3k+b ， 0= 3 2 k+b b $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 k=- 1 2 ， b= 3 4 4 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， ∴ 直线 l 的解析式为 y＝ - 1 2 x+ ３ ４ ， 把点 A -３ ， 9 ４ ４ ( 代入 y＝ax 2 ， 得到 9 ４ ＝9a ， ∴a＝ 1 ４ ， ∴ 抛物线的解析式为 y＝ 1 ４ x 2 . （ 2 ） 如图 ， 设 P t ， 1 ４ t ４ t 2 ， ∵OC 为一边且顶点为 O ， C ， P ， D 的四边形是平行四边形 ， ∴PD∥OC ， PD＝ OC ， ∴D t ， - 1 2 t+ 3 4 4 t ， ∴ 1 4 t 2 - - 1 2 t+ 3 4 ４ t ＝ 3 4 ， 整 理得 ， t 2 +2t-6＝0 或 t 2 +2t＝0 ， 解得 t＝-1- 7 姨 或 -1+ 7 姨 或 -2 或 0 （ 舍弃 ） ， ∴P -1- 7 姨 ， 2+ 7 姨 2 ４ t 或 -1+ 7 姨 ， 2- 7 姨 2 ４ t 或 （ -2 ， 1 ） . 14. 8 22.1.3 二次函数 y=a （ x-h ） 2 +k 的图象和性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 向上 【 知识点 2 】 B 【 例 】 解 ： 图象为 ： （ 1 ） 抛物线 y＝-x 2 +1 向下平移 1 个单位得到 抛物线 y＝-x 2 . （ 2 ） 对于函数 y＝-x 2 +1 ： ① 当 x＞0 时 ， y 随 x 的增大而减小 ； ② 当 x＝0 时 ， 函数 y 有最大值 ， 最大值是 1 ； ③ 令 y＝-x 2 +1＝0 ， 解得 x＝±1 ， ∴ 与 x 轴的交点坐标为 （ -1 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ）， 令 x＝0 ， 解 得 y＝1 ， ∴ 与 y 轴交于 （ 0 ， 1 ） . 1. B 2. A 3. D 4. 解 ： （ 1 ） ∵ 抛物线的顶点在 y 轴上 ， ∴ 设抛物 线的解析式是 y=ax 2 +k ， 把 （ 1 ， -2 ）， （ 2 ， 3 ） 代入得 a+k=-2 ， 4a+k=3 3 ， 解得 a= 5 3 ， k=- 11 3 ， 即抛物线的解析式是 y= 5 3 x 2 - 11 3 . （ 2 ） ∵ 抛物线的顶点坐标为 （ 0 ， 4 ）， 形状开口方 向与抛物线 y=2x 2 +3 相同 ， ∴ 这个二次函数的解析式为 y=2 （ x-0 ） 2 +4 ， 即 y=2x 2 +4. （ 3 ） ∵ 抛物线 y=ax 2 +c 与 x 轴交于两点 （ 2 ， 0 ）， （ -2 ， 0 ）， 与 y 轴交于点 （ 0 ， 2 ）， ∴ 代入得 4a+c=0 ， c=2 3 ， 解得 a=- 1 2 ， c=2 ， 即抛物线的解析式是 y=- 1 2 x 2 +2. 5. D 6 . C 7. B 8. 4 9. 解 ： （ 1 ） 将 （ 1 ， 2 ） 代入 y=kx+4 ， 得 2=k+4 ， k=-2 ， ∴ 一次函数解析式为 y=-2x+4. ∵ 二次函数 y= ax 2 +c 的顶点坐标为 （ 0 ， c ）， ∴ （ 0 ， c ） 在直线 y=-2x+ 4 上 ， ∴c=4 ， ∴y=ax 2 +4 ， 将 （ 1 ， 2 ） 代入 y=ax 2 +4 ， 得 2=a+4 ， 解得 a=-2 ， 综上所述 ， k=-2 ， a=-2 ， c=4. （ 2 ） ∵y=-2x 2 +4 ， ∴ 抛物线的对称轴为 y 轴 ， 过点 A （ 0 ， m ） 且垂直于 y 轴的直线为 y=m. 设点 B 坐标为 （ x b ， m ）， 由抛物线对称性可得点 C 坐标为 （ -x b ， m ）， ∴BC=2｜x b ｜. 又 ∵ 点 B 在二次函数 y=-2x 2 +4 上 ， ∴-2x 2 b + 4=m ， 即 x 2 b =2- m 2 ， ∴BC 2 =4x 2 b =8-2m. ∵OA=m ， ∴W= OA 2 +BC 2 =m 2 -2m+8. ∵m 2 -2m+8= （ m-1 ） 2 +7 ， ∴m=1 时 ， W=7 为最小值 ， 此时点 A 坐标为 （ 0 ， 1 ） . 10. C 11. A 22.1.3 二次函数 y=a （ x-h ） 2 +k 的图象和性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 B C y x B A M O l D P 第 13 题答图 y x O 例题答图 58