22.1.1 二次函数-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 二次函数概念 ◎ 一般地，形如 y = ax 2+ bx + c （ a ， b ， c 是常数， a ≠0）的函数，叫做二次函数. 下列 y 关于 x 的函数中， 二次函数是 （ ） A. y= 1 x B. y=x+1 C. y＝2x 2 -1 D. y= 2 3 x 【知识点 2 】 从实际问题中抽象二次函数 ◎ 用一根长为 800 cm 的木条做一个长方形窗框， 若一边长为 x cm ， 写出它的面积 y 与 x 之间的函数关系式， 并判断 y 是不是 x 的二次函数 . 22.1 二次函数的图象和性质 第二十二章 二 次 函 数 实际问题 二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a ， b ， c 是常数， a≠0 ） 实际问题的答案 利用二次函数的 图象和性质求解 图象 性质 目标 22.1.1 二 次 函 数 30 二 次 函 数 第二十二章 例题点拨 素养导向 【例】 如图所示， 一个矩形的长为 4 cm ， 宽为 3 cm ， 如果将这 个矩形的长与宽都增加 x cm ， 那么这个矩形的面积增加 y cm 2 . （ 1 ） 求 y 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 这个函数是二次函数吗？ （ 3 ） 直接写出自变量的取值范围 . 【点拨】 由图形关系可知， y 随 x 的变化而变化， 矩形面积的增加量等于后来得到的矩形 与原矩形的面积差 . 既 “增加面积 = 现矩形面积 - 原矩形面积”， 进一步用代数式表示为 “ y= （ 4+x ）（ 3+x ） -4×3 ”， 化简可得函数关系 . 夯实四基 达标闯关 1. 若函数 y＝ （ m+1 ） x 2 +2x+1 是二次函数， 则常数 m 的取值范围是 （ ） A. m＝-1 B. m＞-1 C. m＜-1 D. m≠-1 2. 如图， 在边长为 4 的等边 △ABC 中， 点 D 为 BC 边上的动点 . 设 x＝ BD ， y 1 =AD 2 ， y 2 ＝S △ACD ， 则 y 1 ， y 2 与对应的 x 满足的函数关系分别是 （ ） A. 二次函数、 一次函数 B. 二次函数、 二次函数 C. 一次函数、 一次函数 D. 一次函数、 正比例函数 3. 下列函数哪些是二次函数？ 是二次函数的写出它们的二次项、 一次项、 常数项 . （ 1 ） 3y＝3 （ x-1 ） 2 +1 ； （ 2 ） y＝-0.5 （ x-1 ）（ x+4 ）； （ 3 ） s＝3-2t 2 ； （ 4 ） y＝2x （ x 2 +3x-1 ） . 4 cm x cm 3 cm x cm 图 22.1-1 A C B D 第 2 题图 31 九年级上册 （人教版）数学 4. 已知关于 x 的函数 y＝ （ m 2 -m ） x 2 + （ m-1 ） x-2 （ m 为常数） . （ 1 ） 若此函数是一次函数， 求 m 的值； （ 2 ） 若此函数是二次函数， 求 m 的值 . 5. 正方形的边长为 4 ， 当边长增加 x 时， 面积增加 y ， 求 y 与 x 之间的函数关系式 . 这个 函数是二次函数吗？ 能力提升 综合拓展 6. 如图所示， 圆柱的高为 10 cm ， 圆柱的底面直径为 x cm ， 圆柱的表面积为 S cm 2 . （ 1 ） 求圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的函数关系式， 并判断这个函数是否为 二次函数 . （ 2 ） 当圆柱的底面直径从 4 cm 增加到 10 cm 时， 圆柱的表面积增加了多少 （最后结果 保留 π ）？ 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·沈阳） 圆的面积公式 S=πR 2 中， S 与 R 之间的关系是 （ ） A. S 是 R 的正比例函数 B. S 是 R 的一次函数 C. S 是 R 的二次函数 D. 以上答案都不对 x cm 10 cm 第 6 题图 32 参 考 答 案 方体盒子的底面长为 30 2 - ! " y cm 、 宽为 （ 12-2y ） cm 的 矩形 ， 依题意 ， 得 30 2 - ! " y （ 12-2y ） ＝104 ， 整理 ， 得 y 2 - 21y+38＝0 ， 解得 y 1 ＝2 ， y 2 ＝19 （ 不合题意 ， 舍去 ）， 盒 子的体积为 104×2＝208 （ cm 3 ） . 答 ： 能折出底面积为 104 cm 2 的有盖盒子 ， 盒子的体积为 208 cm 3 . 13. A 14. 解 ： （ 1 ） 设矩形 ABCD 的边 AB＝x m ， 则边 BC＝70-2x+2＝ （ 72-2x ） m. 根据题意 ， 得 x （ 72-2x ） ＝640 ， 化简 ， 得 x 2 -36x+320＝0 ， 解得 x 1 ＝16 ， x 2 ＝20 ， 当 x＝16 时 ， 72-2x＝72-32＝40 （ m ）， 当 x＝20 时 ， 72-2x＝72- 40＝32 （ m ） . 答 ： 当羊圈的长为 40 m ， 宽为 16 m 或 长为 32 m ， 宽为 20 m 时 ， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈 . （ 2 ） 不能 . 理由 ： 由题意 ， 得 x （ 72-2x ） ＝650 ， 化 简得 x 2 -36x+325＝0 ， Δ＝b 2 -4ac＝ （ -36 ） 2 -4×325＝-4＜0 ， ∴ 一 元二次方程没有实数根 . ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m 2 . 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 设宽为 x cm ， 由题意得 ， 矩形 的周长为 800 cm ， ∴ 矩形的长为 800-2x 2 cm ， ∴y＝x · 800-2x 2 ＝-x 2 +400x （ 0＜x＜200 ） . y 是 x 的二 次函数 . 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 矩形的长为 4 cm ， 宽为 3 cm ， ∴ 矩形的面积 ＝4×3＝12 （ cm 2 ） . ∵ 矩形的 长与宽都增加 x cm ， ∴ 增加后矩形的面积 ＝ （ 4+x ）· （ 3+x ） cm 2 ， ∴y= （ 4+x ）（ 3+x ） -12 ， 即 y＝x 2 +7x ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x 2 +7x. （ 2 ） y＝x 2 +7x 是二次函数 . （ 3 ） ∵x 为矩形增加的长与宽 ， ∴ 自变量 x 的 取值范围为 x≥0. 1. D 2. A 3. 解 ： （ 1 ） 3y＝3 （ x-1 ） 2 +1 是二次函数 ， 二次项是 x 2 ， 一次项是 -2x ， 常数项是 4 3 . （ 2 ） y＝-0.5 （ x-1 ） （ x+4 ） 是二次函数 ， 二次项是 -0.5x 2 ， 一次项是 -1.5x ， 常数项是 2. （ 3 ） s＝3-2t 2 是二次函数 ， 二次项是 -2t 2 ， 一次项 是 0 ， 常数项是 3. （ 4 ） y＝2x （ x 2 +3x-1 ） 不是二次函数 . 4. 解 ： （ 1 ） 依题意 m 2 -m＝0 且 m-1≠0 ， ∴m＝0. （ 2 ） 依题意 m 2 -m≠0 ， ∴m≠1 且 m≠0. 5. 解 ： 由题意得 ， （ x+4 ） 2 ＝y+4 2 ， 整理得 y＝x 2 +8x ， 故 y 是 x 的二次函数 . 6. 解 ： （ 1 ） 由题意得 ， 圆柱的表面积 S＝2πrh+ 2πr 2 ＝2π · x 2 · 10+2π · x 2 ! " 2 ＝ 1 2 πx 2 +10πx ， ∴ 圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的函数关系式为 S＝ 1 2 πx 2 + 10πx. ∵ 1 2 π≠0 ， ∴ 函数 S＝ 1 2 πx 2 +10πx 是二次函数 . （ 2 ） ∵ 1 2 π×10 2 +10π×10- 1 2 π×4 2 -10π×4＝150π- 48π＝102π （ cm 2 ）， ∴ 圆柱的表面积增加了 102π cm 2 . 7. C 22.1.2 二次函数 y=ax 2 的图象和性质 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 B 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 抛物线对称轴是 y 轴 ， 顶 点是原点 ， 可设 y＝ax 2 （ a≠0 ）， 把点 （ 1 ， -3 ） 代入 ， 得 a＝-3 ， y＝-3x 2 . （ 2 ） ∵a＝-3＜0 ， ∴ 在对称轴右侧部分 ， y 随 x 的增大而减小 . （ 3 ） ∵a＝-3＜0 ， ∴ 函数有最大值 ， 即当 x＝0 时 ， 函数最大值为 0. 1. A 2. D 3. B 4. m＜2 5. 减小 6. ①③② 7. 抛物线 y 轴 （ 0 ， 0 ） 向下 第三 、 第四 >0 8. 1 9. 解 ： （ 1 ） 把点 B （ -2 ， 4 ） 代入二次函数 y＝ax 2 得 ， 4a＝4 ， a＝1 ， 二次函数的解析式为 y＝x 2 ； 把点 A （ 1 ， m ） 代入二次函数解析式得 m＝1 ， 把点 A （ 1 ， 1 ）， B （ -2 ， 4 ） 代入一次函数 y＝kx+b 得 ， k+b=1 ， -2k+b=4 4 ， 解得 k=-1 ， b=2 4 ， 故一次函数的解析式为 y＝-x+2. （ 2 ） 一次函数与 y 轴交于点 C （ 0 ， 2 ） ， S △AOB ＝ S △AOC +S △COB ＝ 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×2＝3. 57