21.3 实际问题与一元二次方程(第三课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 例题点拨 素养导向 【例】 如图， 某农家乐老板计划在一块长 130 m 、 宽 60 m 的 空地开挖两块形状 、 大小相同的垂钓鱼塘 ， 它们的面积之和 为 5 750 m 2 ， 两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通 道， 则垂钓通道的宽度为多少米？ 解： 设垂钓通道的宽度为 x m ， 则两块垂钓鱼塘可合成长为 m 、 宽为 m 的矩形， 根据题意得： 【点拨】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 借助平移， 把两块鱼塘移到一侧， 根据鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道， 设未知数， 找准等量关系， 正确列出一元二 次方程是解题的关键 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 在宽为 20 m 、 长为 30 m 的矩形地面上修建两条宽均 为 x m 的小路 （阴影）， 余下部分作为草地， 草地面积为 551 m 2 ， 根据图中数据， 求得小路宽 x 的值为 （ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 2. 如图是一张长 8 cm 、 宽 5 cm 的矩形纸板， 将纸板四个角各剪去 一个同样的正方形， 可制成底面积是 18 cm 2 的一个无盖长方体纸盒， 设 剪去的正方形边长为 x cm ， 那么 x 满足的方程是 （ ） A. 40-4x 2 ＝18 B. （ 8-2x ）（ 5-2x ） ＝18 C. 40-2 （ 8x+5x ） ＝18 D. （ 8-2x ）（ 5-2x ） ＝9 3. 空地上有一段长为 a m 的旧墙 MN ， 工人师傅欲利用旧墙和 木栏围成一个封闭的矩形菜园 （如图）， 已知木栏总长为 40 m ， 所 围成的菜园的面积为 S m 2 . 若 a＝18 ， S＝192 ， 则 （ ） A. 只有一种围法 B. 有两种围法 C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法 21.3 实际问题与一元二次方程 （第三课时） 130 m 60 m 图 21.3 x m 20 m 30 m x m 第 1 题图 第 2 题图 NM 第 3 题图 26 一元二次方程 第二十一章 4. 一个矩形的长比宽多 2 ， 面积是 80 ， 则矩形的两边长分别为 （ ） A. 3 和 5 B. 5 和 7 C. 6 和 8 D. 8 和 10 5. 如图， 学校将一面积为 110 m 2 的矩形空地一边增加 4 m ， 另一边增加 5 m 后， 建成 了一个正方形训练场， 则此训练场的面积为 m 2 . 6. 如图是我市将要开发的一块长方形的土地， 长为 x km 、 宽为 3 km ， 建筑开发商将这 块土地分为甲、 乙、 丙三部分， 其中甲和乙均为正方形， 现计划甲地建住宅区， 乙地建商业 区， 丙地开辟成小区公园， 若已知丙地的面积为 2 km 2 ， 则 x 的值为 . 7. 将一个面积是 120 m 2 的矩形的长减少 2 m ， 就变成了正方形 ， 则原矩形的长是 m. 8. 一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛， 花坛的斜边利用足够长的墙， 两条直角边 所用的篱笆之和恰好为 21 m ， 围成的花坛如图所示， 其中 ∠ACB＝90° ， 若所修的直角三角形 花坛面积是 54 m 2 ， 则直角三角形的斜边 AB 长为 m. 9. 如图， 用一条长 40 m 的绳子围成矩形 ABCD ， 设边 AB 的长为 x m. （ 1 ） 边 BC 的长为 m ， 矩形 ABCD 的面积为 m 2 （均用含 x 的代数式 表示） . （ 2 ） 矩形 ABCD 的面积能否是 120 m 2 ？ 请给出你的结论， 并用所学知识说明理由 . 110 m 2 5 m 4 m 甲 乙 丙 3 x 墙 B A C 第 5 题图 第 6 题图 第 8 题图 A B D C x 第 9 题图 27 九年级上册 （人教版）数学 10. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入， 购买了 33 m 的铁栅栏， 准备用这些铁栅栏 为贫困户靠墙 （墙长 15 m ） 围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场 （如图所示） . （ 1 ） 若要建的矩形养鸡场面积为 90 m 2 ， 求鸡场的长 （ AB ） 和宽 （ BC ） . （ 2 ） 该扶贫单位想要建一个 100 m 2 的矩形养鸡场， 这一想法能实现吗？ 请说明理由 . 能力提升 综合拓展 11. 如图所示， A ， B ， C ， D 是矩形的四个顶点， AB＝16 cm ， AD＝6 cm ， 动点 P ， Q 分 别从点 A ， C 同时出发， 点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动， 一直到达点 B 为止， 点 Q 以 2 cm/s 的速度向点 D 移动 . （ 1 ） P ， Q 两点从出发开始到几秒时， 四边形 PBCQ 的面积为 33 cm 2 ？ （ 2 ） P ， Q 两点从出发开始到几秒时， 点 P 和点 Q 的距离第一次是 10 cm ？ 12. 综合与实践 在数学课上， 老师让同学们以 “折一个长方体盒子” 为主题开展实践活动 . 如图 1 ， 这 是一张长为 30 cm 、 宽为 12 cm 的矩形硬纸板 . （ 1 ） 如图 2 ， 奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形， 然后把纸板的四 边沿虚线折起， 并用胶带黏好， 即可做成一个长方体无盖纸盒 . 若该无盖纸盒的底面积为 144 cm 2 ， 求剪去的小正方形的边长 . D F C B E A 第 10 题图 D Q CB P A 第 11 题图 28 一元二次方程 第二十一章 （ 2 ） 创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子 . 为了合理使用材料， 设计了如图 3 所示 的裁剪方案， 空白部分为裁剪下来的边角料， 其中左侧两个空白部分为正方形， 右侧两个空 白部分为矩形， 问能否折出底面积为 104 cm 2 的有盖盒子 . （盒盖与盒底的大小、 形状完全相 同） 如果能， 请求出盒子的体积； 如果不能， 请说明理由 . 中考链接 真题演练 13. （ 2023 ·黑龙江） 如图， 在长为 100 m 、 宽为 50 m 的矩形空地 上修筑四条宽度相等的小路， 若余下的部分全部种上花卉， 且花圃的 面积是 3 600 m 2 ， 则小路的宽是 （ ） A. 5 m B. 70 m C. 5 m 或 70 m D. 10 m 14. （ 2022 ·东营） 如图， 老李想用长为 70 m 的栅栏， 再借助房屋的外墙 （外墙足够长） 围成一个矩形羊圈 ABCD ， 并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门 （建在 EF 处， 另用其他材料） . （ 1 ） 当羊圈的长和宽分别为多少米时， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈？ （ 2 ） 羊圈的面积能达到 650 m 2 吗？ 如果能， 请你给出设计方案； 如果不能， 请说明理由 . 图 1 图 2 图 3 第 12 题图 第 13 题图 A D C FE B 第 14 题图 29 九年级上册 （ 人教版 ）数学 解得 y≤18 18 23 . ∵y 为正整数 ， ∴ 最多可以改造 18 个小 区 . 答 ： 该市在 2025 年最多可以改造 18 个老旧小区 . 12. D 13. B 14. C 21.3 实际问题与一元二次方程 （ 第二课时 ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） 设 2022 年到 2024 年该校购 买羽毛球拍费用的年平均增长率为 x ， 则 2 000 （ 1+ x ） 2 ＝2 880 ， 解得 ， x 1 ＝0.2 ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 2022 年到 2024 年该校购买羽毛球 拍费用的年平均增长率为 20%. （ 2 ） 2 880× （ 1+20% ） ＝3 456 （ 元 ） . 答 ： 预计 2025 年需要抽出 3 456 元资金用于购买羽毛球拍 . 1. D 2. A 3. D 4. C 5. 20% 6. 150 （ 1+x ） 2 =216 7. 解 ： （ 1 ） 400 （ 1+x ） 400 （ 1+x ） 2 （ 2 ） 根据题意得 ， 400 （ 1+x ） 2 ＝576 ， 解得 ， x 1 ＝ 0.2＝20% ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 9 月 、 10 月的销售量月平均增长率为 20%. 8. 解 ： （ 1 ） 设捐款增长率为 x ， 根据题意列方程 得 ， 3 000 （ 1+x ） 2 ＝4 320 ， 解得 x 1 ＝0.2 ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题 意 ， 舍去 ） . 答 ： 捐款增长率为 20%. （ 2 ） 4 320× （ 1+20% ） ＝5 184 （ 元 ） . 答 ： 第四天该 单位能收到 5 184 元捐款 . 9. 解 ： （ 1 ） 设该网红店第三 、 四天营业额的平均 增长率为 x ， 由题意得 ， 10 （ 1+x ） 2 ＝14.4 ， 解得 x 1 ＝0.2 ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 该网红店第三 、 第四 天营业额的平均增长率为 20%. （ 2 ） 前四天营业额为 4.6+10+10× （ 1+20% ） +14.4＝ 41 （ 万元 ）， 第五天营业额为 41×10%＝4.1 （ 万元 ） . 答 ： 该网红店第五天营业额为 4.1 万元 . 10. 50% 11. 解 ： （ 1 ） ①10 000 （ 1+3x ）， ②0.6 （ 1-x ） . （ 2 ） 由题意 ， 10 000 （ 1+3x ）· 0.6 （ 1-x ） ＝7 020 ， 解得 x 1 = 17 30 >0.5 （ 舍去 ）， x 2 ＝0.1. 答 ： x 的值为 0.1. （ 3 ） 根据题意可得 ， 10 000+10 000 （ 1+0.1×3 ） ＝ 23 000 ， 500÷ （ 24 000-23 000 ） ＝0.5 （ m ） . 答 ： 王老师 这 500 m 的平均步幅为 0.5 m. 12. A 13. 20% 14. 解 ： 设 2020 年到 2022 年该校购书费用的年平 均增长率为 x ， 则 5 000 （ 1+x ） 2 ＝7 200 ， 解得 x＝0.2 ， 或 x＝-2.2 （ 舍去 ） . 答 ： 2020 年到 2022 年该校购书费 用的年平均增长率为 20%. 21.3 实际问题与一元二次方程 （ 第三课时 ） 【 例 】 解 ： （ 130-3x ）， （ 60-2x ） . （ 130-3x ）· （ 60-2x ） ＝5 750 ， 整理得 ， 3x 2 -220x+1 025＝0 ， 解 得 ， x 1 = 205 3 >60 （ 舍去 ）， x 2 ＝5. 答 ： 垂钓通道的 宽度为 5 m. 1. A 2. B 3. A 4. D 5. 225 6. 4 或 5 7. 12 8. 15 9. 解 ： （ 1 ） （ 20-x ） （ -x 2 +20x ） （ 2 ） 若矩形 ABCD 的面积是 120 m 2 ， 则 -x 2 +20x＝ 120. Δ＝b 2 -4ac＝-80＜0 ， 这个方程无解 . 矩形 ABCD 的面 积不可能是 120 m 2 . 10. 解 ： （ 1 ） 设 BC＝x m ， 则 AB＝ （ 33-3x ） m ， 依 题意 ， 得 x （ 33-3x ） ＝90 ， 解得 x 1 ＝6 ， x 2 ＝5. 当 x＝6 时 ， 33-3x＝15 ， 符合题意 ， 当 x＝5 时 ， 33-3x＝18 ， 18＞15 ， 不合题意 ， 舍去 . 答 ： 鸡场的长 （ AB ） 为 15 m ， 宽 （ BC ） 为 6 m. （ 2 ） 不能 ， 设 BC＝y m ， 则 AB＝ （ 33-3y ） m ， 依题 意 ， 得 y （ 33-3y ） ＝100 ， 整理 ， 得 3y 2 -33y+100＝0. Δ＝b 2 - 4ac＝ （ -33 ） 2 -4×3×100＝-111＜0 ， 该方程无实数根 ， 即该 扶贫单位不能建成一个 100 m 2 的矩形养鸡场 . 11. 解 ： 当运动时间为 t s 时 ， PB＝ （ 16-3t ） cm ， CQ＝2t cm. （ 1 ） 依题意 ， 得 1 2 × （ 16-3t+2t ） ×6＝33 ， 解得 t＝5. 答 ： P ， Q 两点从 出发开始到 5 s 时 ， 四边形 PBCQ 的面积为 33 cm 2 . （ 2 ） 过点 Q 作 QM⊥AB 于点 M ， 如图所示 . ∵PM＝ PB-CQ＝|16-5t | cm ， QM＝6 cm ， ∴PQ 2 ＝PM 2 +QM 2 ， 即 10 2 ＝ （ 16-5t ） 2 +6 2 ， 解得 t 1 = 8 5 ， t 2 = 24 5 （ 不合题意 ， 舍 去 ） . 答 ： P ， Q 两点从出发开始到 8 5 s 时 ， 点 P 和点 Q 的距离第一次是 10 cm. 12. 解 ： （ 1 ） 设剪去的正方形的边长为 x cm ， 则 折成的方盒的底面长为 （ 30-2x ） cm 、 宽为 （ 12-2x ） cm 的矩形 ， 依题意 ， 得 （ 30-2x ）（ 12-2x ） ＝144. 解得 x 1 ＝3 ， x 2 ＝18 （ 舍去 ） . 答 ： 剪去的小正方形的边长为 3 cm. （ 2 ） 设剪去的正方形的边长为 y cm ， 则折成的长 D Q CB P A M 第 11 题答图 56 参 考 答 案 方体盒子的底面长为 30 2 - ! " y cm 、 宽为 （ 12-2y ） cm 的 矩形 ， 依题意 ， 得 30 2 - ! " y （ 12-2y ） ＝104 ， 整理 ， 得 y 2 - 21y+38＝0 ， 解得 y 1 ＝2 ， y 2 ＝19 （ 不合题意 ， 舍去 ）， 盒 子的体积为 104×2＝208 （ cm 3 ） . 答 ： 能折出底面积为 104 cm 2 的有盖盒子 ， 盒子的体积为 208 cm 3 . 13. A 14. 解 ： （ 1 ） 设矩形 ABCD 的边 AB＝x m ， 则边 BC＝70-2x+2＝ （ 72-2x ） m. 根据题意 ， 得 x （ 72-2x ） ＝640 ， 化简 ， 得 x 2 -36x+320＝0 ， 解得 x 1 ＝16 ， x 2 ＝20 ， 当 x＝16 时 ， 72-2x＝72-32＝40 （ m ）， 当 x＝20 时 ， 72-2x＝72- 40＝32 （ m ） . 答 ： 当羊圈的长为 40 m ， 宽为 16 m 或 长为 32 m ， 宽为 20 m 时 ， 能围成一个面积为 640 m 2 的羊圈 . （ 2 ） 不能 . 理由 ： 由题意 ， 得 x （ 72-2x ） ＝650 ， 化 简得 x 2 -36x+325＝0 ， Δ＝b 2 -4ac＝ （ -36 ） 2 -4×325＝-4＜0 ， ∴ 一 元二次方程没有实数根 . ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m 2 . 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 设宽为 x cm ， 由题意得 ， 矩形 的周长为 800 cm ， ∴ 矩形的长为 800-2x 2 cm ， ∴y＝x · 800-2x 2 ＝-x 2 +400x （ 0＜x＜200 ） . y 是 x 的二 次函数 . 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 矩形的长为 4 cm ， 宽为 3 cm ， ∴ 矩形的面积 ＝4×3＝12 （ cm 2 ） . ∵ 矩形的 长与宽都增加 x cm ， ∴ 增加后矩形的面积 ＝ （ 4+x ）· （ 3+x ） cm 2 ， ∴y= （ 4+x ）（ 3+x ） -12 ， 即 y＝x 2 +7x ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x 2 +7x. （ 2 ） y＝x 2 +7x 是二次函数 . （ 3 ） ∵x 为矩形增加的长与宽 ， ∴ 自变量 x 的 取值范围为 x≥0. 1. D 2. A 3. 解 ： （ 1 ） 3y＝3 （ x-1 ） 2 +1 是二次函数 ， 二次项是 x 2 ， 一次项是 -2x ， 常数项是 4 3 . （ 2 ） y＝-0.5 （ x-1 ） （ x+4 ） 是二次函数 ， 二次项是 -0.5x 2 ， 一次项是 -1.5x ， 常数项是 2. （ 3 ） s＝3-2t 2 是二次函数 ， 二次项是 -2t 2 ， 一次项 是 0 ， 常数项是 3. （ 4 ） y＝2x （ x 2 +3x-1 ） 不是二次函数 . 4. 解 ： （ 1 ） 依题意 m 2 -m＝0 且 m-1≠0 ， ∴m＝0. （ 2 ） 依题意 m 2 -m≠0 ， ∴m≠1 且 m≠0. 5. 解 ： 由题意得 ， （ x+4 ） 2 ＝y+4 2 ， 整理得 y＝x 2 +8x ， 故 y 是 x 的二次函数 . 6. 解 ： （ 1 ） 由题意得 ， 圆柱的表面积 S＝2πrh+ 2πr 2 ＝2π · x 2 · 10+2π · x 2 ! " 2 ＝ 1 2 πx 2 +10πx ， ∴ 圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的函数关系式为 S＝ 1 2 πx 2 + 10πx. ∵ 1 2 π≠0 ， ∴ 函数 S＝ 1 2 πx 2 +10πx 是二次函数 . （ 2 ） ∵ 1 2 π×10 2 +10π×10- 1 2 π×4 2 -10π×4＝150π- 48π＝102π （ cm 2 ）， ∴ 圆柱的表面积增加了 102π cm 2 . 7. C 22.1.2 二次函数 y=ax 2 的图象和性质 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 B 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 抛物线对称轴是 y 轴 ， 顶 点是原点 ， 可设 y＝ax 2 （ a≠0 ）， 把点 （ 1 ， -3 ） 代入 ， 得 a＝-3 ， y＝-3x 2 . （ 2 ） ∵a＝-3＜0 ， ∴ 在对称轴右侧部分 ， y 随 x 的增大而减小 . （ 3 ） ∵a＝-3＜0 ， ∴ 函数有最大值 ， 即当 x＝0 时 ， 函数最大值为 0. 1. A 2. D 3. B 4. m＜2 5. 减小 6. ①③② 7. 抛物线 y 轴 （ 0 ， 0 ） 向下 第三 、 第四 >0 8. 1 9. 解 ： （ 1 ） 把点 B （ -2 ， 4 ） 代入二次函数 y＝ax 2 得 ， 4a＝4 ， a＝1 ， 二次函数的解析式为 y＝x 2 ； 把点 A （ 1 ， m ） 代入二次函数解析式得 m＝1 ， 把点 A （ 1 ， 1 ）， B （ -2 ， 4 ） 代入一次函数 y＝kx+b 得 ， k+b=1 ， -2k+b=4 4 ， 解得 k=-1 ， b=2 4 ， 故一次函数的解析式为 y＝-x+2. （ 2 ） 一次函数与 y 轴交于点 C （ 0 ， 2 ） ， S △AOB ＝ S △AOC +S △COB ＝ 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×2＝3. 57