21.3 实际问题与一元二次方程(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

一元二次方程 第二十一章 例题点拨 素养导向 【例】 每年的 6 月 6 日是全国爱眼日， 每个人都要注意用眼卫生 . 假设有一人患了红眼 病， 经过两轮传染后， 共有 64 人患病 . （ 1 ） 每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ 2 ） 若不及时控制， 按这样的传染速度， 三轮传染后患病的共有多少人？ 解： （ 1 ） 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 则第一轮传染中有 人被传 染， 第二轮传染中有 人被传染， 根据题意得： 【点拨】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中的传播问题， 根据两轮传染后总 人数 ＝ 传染源 + 第一轮被传染人数 + 第二轮被传染人数， 从而列出一元二次方程是解题的关键 . 夯实四基 达标闯关 1. 有一个人患了流行性感冒， 经过两轮传染后共有 196 人患病， 则每轮传染中平均一个 人传染的人数为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 2. 某传染性疾病如果有一人患病， 经过两轮传染后有 64 人患病， 设每轮传染中平均一 个人传染了 x 个人， 下列列式正确的是 （ ） A. x+x （ 1+x ） ＝64 B. 1+x+x 2 ＝64 C. （ 1+x ） 2 ＝64 D. x （ 1+x ） ＝64 3. 有一人患了流感， 经过两轮传染后， 共有 121 人患了流感， 每轮传染中平均每人传染 了 x 个人， 下列结论错误的是 （ ） A. 一轮后有 （ x+1 ） 个人患了流感 B. 第二轮又增加 （ x+1 ）· x 个人患流感 C. 依题意可得方程 （ x+1 ） 2 ＝121 D. 不考虑其他因素经过三轮一共会有 1 210 人感染 21.3 实际问题与一元二次方程 （第一课时） 19 九年级上册 （人教版）数学 4. 鸡瘟是一种传播速度很强的传染病， 一轮传染为一天时间， 某养鸡场某日发现一例， 两天后发现共有 169 只鸡患有这种病 . 若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同， 为 x 只， 根据 题意可列方程为 . 5. 某次商品交易会上， 所有参加会议的任意两个商家之间都签订了一份合同， 共签订合 同 45 份， 那么共有 个商家参加了交易会 . 6. 某校研学活动小组在一次野外实践时， 发现一种植物的主干长出若干数目的支干， 每 个支干又长出相同数目的小分支， 主干、 支干和小分支的总数是 43 ， 这种植物每个支干长 出的小分支个数是 x ， 可列方程为 . 7. 电脑病毒传播快， 如果一台电脑被感染， 经过两轮感染后就会有 121 台电脑被感染， 则每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 8. 某市举行中学生足球比赛， 要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛 （每两个队之 间进行两场比赛）， 共要进行 110 场比赛， 问有多少支球队参加比赛 . 能力提升 综合拓展 9. 某地有两人患了流感， 经过两轮传染后又有 70 人患了流感， 每轮传染中平均一个人 传染的人数为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 20 一元二次方程 第二十一章 10. 某种病毒传播速度非常快， 若最初有两个人感染这种病毒， 经过两轮传染后， 一共 有 288 人被感染， 设每轮传染中平均一人传染了 x 人 . （ 1 ） 经过第一轮传染后， 共有 人感染了病毒 . （用含 x 的式子直接写出答案） （ 2 ） 在每轮传染中， 平均一人传染了几个人？ 11. 建设美丽城市， 改造老旧小区 . 某市 2022 年投入资金 1 000 万元， 2024 年投入资金 1 440 万元， 现假定每年投入资金的增长率相同 . （ 1 ） 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率 . （ 2 ） 2024 年老旧小区改造的平均费用为每个小区 80 万元 . 2025 年为提高老旧小区品质， 每个小区改造费用增加 15%. 如果投入资金年增长率保持不变， 求该市在 2025 年最多可以改 造多少个老旧小区？ 中考链接 真题演练 12. （ 2021 ·兴安盟） 有一个人患流感， 经过两轮传染后共有 81 个人患流感， 每轮传染中 平均一个人传染几个人？ 设每轮传染中平均一个人传染 x 个人， 可列方程为 （ ） A. 1+2x＝81 B. 1+x 2 ＝81 C. 1+x+x 2 ＝81 D. 1+x+x （ 1+x ） ＝81 13. （ 2022 ·黑龙江） 2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛， 单循环比赛共进行了 45 场， 共有多少支队伍参加比赛？ （ ） A. 8 B. 10 C. 7 D. 9 14. （ 2023 ·衢州） 某人患了流感， 经过两轮传染后共有 36 人患了流感 . 设每一轮传染中 平均每人传染了 x 人， 则可得到方程 （ ） A. x+ （ 1+x ） ＝36 B. 2 （ 1+x ） ＝36 C. 1+x+x （ 1+x ） ＝36 D. 1+x+x 2 ＝36 21 参 考 答 案 6. 解 ： （ 1 ） 3x 2 -4x＝0 ， x （ 3x-4 ） ＝0 ， x=0 或 （ 3x-4 ） ＝0 ， x 1 =0 ， x 2 = 4 3 . （ 2 ） （ 2x-1 ） 2 =0 ， 2x-1=0 ， x 1 =x 2 = 1 2 . （ 3 ） 3x （ x-2 ） - （ x-2 ） ＝0 ， （ x-2 ）（ 3x-1 ） ＝0 ， x-2＝0 或 3x-1＝0 ， x 1 ＝2 ， x 2 = 1 3 . （ 4 ） x （ 3x+1 ） - （ 3x+1 ） ＝0 ， （ 3x+1 ）（ x-1 ） ＝0 ， 3x+ 1＝0 或 x-1＝0 ， x 1 =- 1 3 ， x 2 ＝1. （ 5 ） （ 2x-1 ） 2 ＝ （ 3-x ） 2 ， （ 2x-1 ） 2 - （ 3-x ） 2 ＝0 ， （ 2x-1+3- x ）（ 2x-1-3+x ） ＝0 ， 2x-1+3-x＝0 或 2x-1-3+x＝0 ， x 1 ＝-2 ， x 2 = 4 3 . 7. 解 ： （ 1 ） x 2 +2x=1 ， x 2 +2x+1=1+1 ， （ x+1 ） 2 =2 ， x+ 1=± 2 姨 ， x+1= 2 姨 ， x+1=- 2 姨 ， x 1 ＝-1+ 2 姨 ， x 2 ＝ -1- 2 姨 . （ 2 ） x 2 -3x＝0 ， x （ x-3 ） ＝0 ， x=0 或 x-3＝0 ， x 1 ＝0 ， x 2 ＝3. （ 3 ） a＝5 ， b＝-6 ， c＝1 ， Δ＝b 2 -4ac= （ -6 ） 2 -4×5×1＝ 16＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， 即 x= 6± 16 姨 2×5 = 6±4 10 ， x 1 ＝1 ， x 2 = 1 5 . （ 4 ） 2x 2 -4x＝-8x-2 ， 2x 2 +4x+2＝0 ， x 2 +2x+1＝0 ， （ x+1 ） 2 ＝0 ， x 1 ＝x 2 ＝-1. 8. x 1 ＝2 ， x 2 ＝-7 9. x 1 ＝0 ， x 2 ＝4 10. C * 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 【 知识点 1 】 -p q -1 -２ 【 知识点 2 】 - b a c a 1. 3 2 -４ 2. x＝-1 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x+m-2＝0 有两个不相等的实数根 ， ∴Δ=b 2 - 4ac＝ （ -2 ） 2 -4×1× （ m-2 ） ＞0 ， ∴12-4m＞0 ， 解得 m＜ 3 ， ∴m 的取值范围为 m＜3. （ 2 ） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x+m-2＝0 有两个不相等的实数根 x 1 ， x 2 ， ∴x 1 +x 2 ＝2. 又 ∵x 1 ＝ -1 ， ∴-1+x 2 ＝2 ， ∴x 2 ＝3 ， ∴ 另一个根 x 2 的值为 3. 1. D 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. 4 9. -2 10. （ 1 ） 3 -2 -6 （ 2 ） 3 2 - 1 2 （ 3 ） 解 ： 设关于 x 的一元二次方程 x 2 + （ 2m+1 ） x+ m 2 -2＝0 有两个实数根为 x 1 ， x 2 ， ∴x 1 +x 2 =- （ 2m+1 ） ， x 1 x 2 =m 2 -2. ∵ 这两个实数根的平方和是 21 ， ∴x 2 1 +x 2 2 =21= （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 ， ∴ ［ - （ 2m+1 ）］ 2 -2 （ m 2 -2 ） ＝21 ， 解得 m 1 ＝ -4 ， m 2 ＝2. ∵Δ=b 2 -4ac＝ （ 2m+1 ） 2 -4 （ m 2 -2 ） ＝4m+9≥0 ， ∴m≥- 9 4 ， ∴m＝-4 不符合题意 ， 则 m＝2. 11. A 12. -4 13. - 1 4 14. 解 ： （ 1 ） Δ=b 2 -4ac＝2 2 -4×1× （ 3-k ） ＝-8+4k ， ∵ 有两个不相等的实数根 ， ∴-8+4k＞0 ， 解得 k＞2. （ 2 ） ∵ 方程的两个根为 α ， β ， ∴αβ= c a =3-k ， ∴k 2 ＝ 3-k+3k ， 解得 k 1 ＝3 ， k 2 ＝-1 ， 由 （ 1 ） 得 k＞2 ， ∴k 2 ＝-1 不合题意 ， ∴k 的值为 3. 21.3 实际问题与一元二次方程 （ 第一课时 ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） x ， x （ 1+x ）， 1+x+x （ 1+x ） ＝ 64 ， 解得 x 1 ＝7 ， x 2 ＝-9 （ 不符合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 每轮传染中平均一个人传染了 7 个人 . （ 2 ） 根据题意得 ， 64+64×7＝512 （ 人 ） . 答 ： 三轮传染后患病的共有 512 人 . 1. A 2. C 3. D 4. x+1+x （ x+1 ） ＝169 5. 10 6. 1+x+x 2 ＝43 7. 解 ： 每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑 ， 列方程 ， 得 1+x+x （ 1+x ） ＝121 ， 解得 x 1 ＝-12 （ 不合题意 ， 舍去 ）， x 2 ＝10. 答 ： 每轮感染中平均一台电脑会感染 10 台电脑 . 8. 解 ： 设有 x 支球队参加比赛 . 由题意可得 ， x （ x- 1 ） ＝110 ， 解得 x＝11 ， x＝-10 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 有 11 支球队参加比赛 . 9. A 10. 解 ： （ 1 ） 2+2x （ 2 ） 设每轮传染中平均一人传染了 x 人 ， 则第一轮 会传染给 2x 人 ， 第二轮会传染给 x （ 2+2x ） 人 ， 依题意 得 ， 2+2x+x （ 2+2x ） ＝288 ， 解得 x 1 ＝11 ， x 2 ＝-13 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 在每轮传染中 ， 平均一人传染了 11 个人 . 11. 解 ： （ 1 ） 设该市改造老旧小区投入资金的年 平均增长率为 x ， 根据题意得 ， 1 000 （ 1+x ） 2 =1 440 ， 解 这个方程得 ， x 1 =0.2 ， x 2 =-2.2. 经检验 ， x=0.2=20% 符合 本题要求 . 答 ： 该市改造老旧小区投入资金的年平均 增长率为 20%. （ 2 ） 设该市在 2025 年可以改造 y 个 老旧小区 ， 由题意得 ， 80 （ 1+15% ） y≤1 440 （ 1+20% ）， 55 九年级上册 （ 人教版 ）数学 解得 y≤18 18 23 . ∵y 为正整数 ， ∴ 最多可以改造 18 个小 区 . 答 ： 该市在 2025 年最多可以改造 18 个老旧小区 . 12. D 13. B 14. C 21.3 实际问题与一元二次方程 （ 第二课时 ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） 设 2022 年到 2024 年该校购 买羽毛球拍费用的年平均增长率为 x ， 则 2 000 （ 1+ x ） 2 ＝2 880 ， 解得 ， x 1 ＝0.2 ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 2022 年到 2024 年该校购买羽毛球 拍费用的年平均增长率为 20%. （ 2 ） 2 880× （ 1+20% ） ＝3 456 （ 元 ） . 答 ： 预计 2025 年需要抽出 3 456 元资金用于购买羽毛球拍 . 1. D 2. A 3. D 4. C 5. 20% 6. 150 （ 1+x ） 2 =216 7. 解 ： （ 1 ） 400 （ 1+x ） 400 （ 1+x ） 2 （ 2 ） 根据题意得 ， 400 （ 1+x ） 2 ＝576 ， 解得 ， x 1 ＝ 0.2＝20% ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 9 月 、 10 月的销售量月平均增长率为 20%. 8. 解 ： （ 1 ） 设捐款增长率为 x ， 根据题意列方程 得 ， 3 000 （ 1+x ） 2 ＝4 320 ， 解得 x 1 ＝0.2 ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题 意 ， 舍去 ） . 答 ： 捐款增长率为 20%. （ 2 ） 4 320× （ 1+20% ） ＝5 184 （ 元 ） . 答 ： 第四天该 单位能收到 5 184 元捐款 . 9. 解 ： （ 1 ） 设该网红店第三 、 四天营业额的平均 增长率为 x ， 由题意得 ， 10 （ 1+x ） 2 ＝14.4 ， 解得 x 1 ＝0.2 ， x 2 ＝-2.2 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 该网红店第三 、 第四 天营业额的平均增长率为 20%. （ 2 ） 前四天营业额为 4.6+10+10× （ 1+20% ） +14.4＝ 41 （ 万元 ）， 第五天营业额为 41×10%＝4.1 （ 万元 ） . 答 ： 该网红店第五天营业额为 4.1 万元 . 10. 50% 11. 解 ： （ 1 ） ①10 000 （ 1+3x ）， ②0.6 （ 1-x ） . （ 2 ） 由题意 ， 10 000 （ 1+3x ）· 0.6 （ 1-x ） ＝7 020 ， 解得 x 1 = 17 30 >0.5 （ 舍去 ）， x 2 ＝0.1. 答 ： x 的值为 0.1. （ 3 ） 根据题意可得 ， 10 000+10 000 （ 1+0.1×3 ） ＝ 23 000 ， 500÷ （ 24 000-23 000 ） ＝0.5 （ m ） . 答 ： 王老师 这 500 m 的平均步幅为 0.5 m. 12. A 13. 20% 14. 解 ： 设 2020 年到 2022 年该校购书费用的年平 均增长率为 x ， 则 5 000 （ 1+x ） 2 ＝7 200 ， 解得 x＝0.2 ， 或 x＝-2.2 （ 舍去 ） . 答 ： 2020 年到 2022 年该校购书费 用的年平均增长率为 20%. 21.3 实际问题与一元二次方程 （ 第三课时 ） 【 例 】 解 ： （ 130-3x ）， （ 60-2x ） . （ 130-3x ）· （ 60-2x ） ＝5 750 ， 整理得 ， 3x 2 -220x+1 025＝0 ， 解 得 ， x 1 = 205 3 >60 （ 舍去 ）， x 2 ＝5. 答 ： 垂钓通道的 宽度为 5 m. 1. A 2. B 3. A 4. D 5. 225 6. 4 或 5 7. 12 8. 15 9. 解 ： （ 1 ） （ 20-x ） （ -x 2 +20x ） （ 2 ） 若矩形 ABCD 的面积是 120 m 2 ， 则 -x 2 +20x＝ 120. Δ＝b 2 -4ac＝-80＜0 ， 这个方程无解 . 矩形 ABCD 的面 积不可能是 120 m 2 . 10. 解 ： （ 1 ） 设 BC＝x m ， 则 AB＝ （ 33-3x ） m ， 依 题意 ， 得 x （ 33-3x ） ＝90 ， 解得 x 1 ＝6 ， x 2 ＝5. 当 x＝6 时 ， 33-3x＝15 ， 符合题意 ， 当 x＝5 时 ， 33-3x＝18 ， 18＞15 ， 不合题意 ， 舍去 . 答 ： 鸡场的长 （ AB ） 为 15 m ， 宽 （ BC ） 为 6 m. （ 2 ） 不能 ， 设 BC＝y m ， 则 AB＝ （ 33-3y ） m ， 依题 意 ， 得 y （ 33-3y ） ＝100 ， 整理 ， 得 3y 2 -33y+100＝0. Δ＝b 2 - 4ac＝ （ -33 ） 2 -4×3×100＝-111＜0 ， 该方程无实数根 ， 即该 扶贫单位不能建成一个 100 m 2 的矩形养鸡场 . 11. 解 ： 当运动时间为 t s 时 ， PB＝ （ 16-3t ） cm ， CQ＝2t cm. （ 1 ） 依题意 ， 得 1 2 × （ 16-3t+2t ） ×6＝33 ， 解得 t＝5. 答 ： P ， Q 两点从 出发开始到 5 s 时 ， 四边形 PBCQ 的面积为 33 cm 2 . （ 2 ） 过点 Q 作 QM⊥AB 于点 M ， 如图所示 . ∵PM＝ PB-CQ＝|16-5t | cm ， QM＝6 cm ， ∴PQ 2 ＝PM 2 +QM 2 ， 即 10 2 ＝ （ 16-5t ） 2 +6 2 ， 解得 t 1 = 8 5 ， t 2 = 24 5 （ 不合题意 ， 舍 去 ） . 答 ： P ， Q 两点从出发开始到 8 5 s 时 ， 点 P 和点 Q 的距离第一次是 10 cm. 12. 解 ： （ 1 ） 设剪去的正方形的边长为 x cm ， 则 折成的方盒的底面长为 （ 30-2x ） cm 、 宽为 （ 12-2x ） cm 的矩形 ， 依题意 ， 得 （ 30-2x ）（ 12-2x ） ＝144. 解得 x 1 ＝3 ， x 2 ＝18 （ 舍去 ） . 答 ： 剪去的小正方形的边长为 3 cm. （ 2 ） 设剪去的正方形的边长为 y cm ， 则折成的长 D Q CB P A M 第 11 题答图 56