21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 一元二次方程 x 2 +px+q=0 的根与系数的关系 ◎ 关于 x 的一元二次方程 x 2+ px + q =0，两个根 x1，x2与系数p，q的关系：x1+x2= ， x1·x2= . 设方程 x 2 +x-2＝0 的两个根为 α ， β ， 那么 α+β= ， α · β= . 【知识点 2 】 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 的根与系数的关系 ◎ 关于 x 的一元二次方程 ax 2+ bx + c =0（ a ≠0），两个根 x1，x2与系数a，b，c的关系： x1+x2= ，x1·x2= . 1. 一元二次方程 2x 2 -3x-8＝0 的两个根为 m ， n ， 则 m+n= ， m · n= . 2. 已知关于 x 的方程 2x 2 +kx-10＝0 的一个根为 x＝5 ， 则另一个根为 . 例题点拨 素养导向 【例】 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x+m-2＝0 有两个不相等的实数根 x 1 ， x 2 . （ 1 ） 求 m 的取值范围； （ 2 ） 当 x 1 ＝-1 时， 求另一个根 x 2 的值 . 【点拨】 本题考查了一元二次方程根的判别式： 方程有两个不相等的实数根时 Δ＞0. 一元 二次方程的根与系数的关系： 两根之和等于 - b a ， 两根之积等于 c a . * 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 16 一元二次方程 第二十一章 夯实四基 达标闯关 1. 已知关于 x 的一元二次方程 2x 2 +4x+k-1＝0 的一个实根为 1 ， 则另一个实根为 （ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 已知 x=2+ 5 姨 是方程 x 2 -4x+m＝0 的一个根， 则此方程的另一个根为 （ ） A. x=2+ 5 姨 B. x=2- 5 姨 C. x=- 5 姨 D. x＝-1 3. 已知 a ， b 是一元二次方程 x 2 +x-3＝0 的两根， 则 a+b-2ab 等于 （ ） A. 7 B. -5 C. -7 D. 5 4. 方程 x 2 +x＝5x+6 的两个实数根的和与积分别是 （ ） A. -5 ， 6 B. -4 ， 6 C. 4 ， -6 D. -1 ， 6 5. 关于 x 的一元二次方程 x 2 +bx+c＝0 的两个实数根分别为 3 和 -4 ， 则 （ ） A. b＝-1 ， c＝12 B. b＝-1 ， c＝-12 C. b＝1 ， c＝12 D. b＝1 ， c＝-12 6. 下列一元二次方程两根之和为 2 的方程为 （ ） A. x 2 +2x+3＝0 B. 2x 2 +4x-1＝0 C. 3x 2 -6x+2＝0 D. x 2 -3x+2＝0 7. 已知矩形 ABCD 的周长为 12 ， 面积为 5 ， 且 AB 和 BC 的长恰好是方程 x 2 +mx+n＝0 的 两根， 则 m 和 n 的值分别为 （ ） A. -6 ， 5 B. 12 ， -5 C. 6 ， 5 D. -12 ， 5 8. 关于 x 的一元二次方程 x 2 +mx+2＝0 的两个根是 x 1 ， x 2 ， 若 x 1 +x 2 ＝-4 ， 则 m 的值是 . 9. 若 m ， n 为方程 x 2 -6x-3＝0 的两个实数根， 则 1 m + 1 n = . 能力提升 综合拓展 10. 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0 （ a≠0 ）， 如果方程有两个实数根为 x 1 ， x 2 ， 那么 x 1 +x 2 =- b a ， x 1 · x 2 = c a ， 灵活运用一元二次方程的这种根与系数的关系有时可以使解题更为简 单 . 根据上述材料， 结合你所学的知识， 回答下列问题： （ 1 ） 材料理解： 已知一元二次方程 x 2 -3x-2＝0 两个实数根分别为 m ， n ， 求 m 2 n+mn 2 的 值 . 小明给出了一部分解题思路： 解： ∵ 一元二次方程 x 2 -3x-2＝0 的两个实数根分别为 m ， n ， ∴m+n＝ ， ∴mn＝ ， ∴m 2 n+mn 2 ＝ . 17 九年级上册 （人教版）数学 请填空并将过程补充完整 . （ 2 ） 类比应用： 一元二次方程 -x 2 +mx+1＝0 的一个根为 x＝2 ， 则 m＝ ， 另一个根 为 x＝ . （ 3 ） 思维拓展： 关于 x 的一元二次方程： x 2 + （ 2m+1 ） x+m 2 -2＝0 有两个实数根， 且这两个 实数根的平方和是 21 ， 求 m 的值 . 中考链接 真题演练 11. （ 2023 ·天津） 若 x 1 ， x 2 是方程 x 2 -6x-7＝0 的两个根， 则 （ ） A. x 1 +x 2 ＝6 B. x 1 +x 2 ＝-6 C. x 1 · x 2 = 7 6 D. x 1 · x 2 ＝7 12. （ 2023 ·营口） 若关于 x 的方程 x 2 +mx-12＝0 的一个根是 3 ， 则此方程的另一个根是 . 13. （ 2023 ·内蒙古） 若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 x 2 -2x-8＝0 的两个实数根， 则 x 1 +x 2 x 1 x 2 = . 14. （ 2023 ·襄阳） 关于 x 的一元二次方程 x 2 +2x+3-k＝0 有两个不相等的实数根 . （ 1 ） 求 k 的取值范围； （ 2 ） 若方程的两个根为 α ， β ， 且 k 2 ＝αβ+3k ， 求 k 的值 . 18 参 考 答 案 6. 解 ： （ 1 ） 3x 2 -4x＝0 ， x （ 3x-4 ） ＝0 ， x=0 或 （ 3x-4 ） ＝0 ， x 1 =0 ， x 2 = 4 3 . （ 2 ） （ 2x-1 ） 2 =0 ， 2x-1=0 ， x 1 =x 2 = 1 2 . （ 3 ） 3x （ x-2 ） - （ x-2 ） ＝0 ， （ x-2 ）（ 3x-1 ） ＝0 ， x-2＝0 或 3x-1＝0 ， x 1 ＝2 ， x 2 = 1 3 . （ 4 ） x （ 3x+1 ） - （ 3x+1 ） ＝0 ， （ 3x+1 ）（ x-1 ） ＝0 ， 3x+ 1＝0 或 x-1＝0 ， x 1 =- 1 3 ， x 2 ＝1. （ 5 ） （ 2x-1 ） 2 ＝ （ 3-x ） 2 ， （ 2x-1 ） 2 - （ 3-x ） 2 ＝0 ， （ 2x-1+3- x ）（ 2x-1-3+x ） ＝0 ， 2x-1+3-x＝0 或 2x-1-3+x＝0 ， x 1 ＝-2 ， x 2 = 4 3 . 7. 解 ： （ 1 ） x 2 +2x=1 ， x 2 +2x+1=1+1 ， （ x+1 ） 2 =2 ， x+ 1=± 2 姨 ， x+1= 2 姨 ， x+1=- 2 姨 ， x 1 ＝-1+ 2 姨 ， x 2 ＝ -1- 2 姨 . （ 2 ） x 2 -3x＝0 ， x （ x-3 ） ＝0 ， x=0 或 x-3＝0 ， x 1 ＝0 ， x 2 ＝3. （ 3 ） a＝5 ， b＝-6 ， c＝1 ， Δ＝b 2 -4ac= （ -6 ） 2 -4×5×1＝ 16＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， 即 x= 6± 16 姨 2×5 = 6±4 10 ， x 1 ＝1 ， x 2 = 1 5 . （ 4 ） 2x 2 -4x＝-8x-2 ， 2x 2 +4x+2＝0 ， x 2 +2x+1＝0 ， （ x+1 ） 2 ＝0 ， x 1 ＝x 2 ＝-1. 8. x 1 ＝2 ， x 2 ＝-7 9. x 1 ＝0 ， x 2 ＝4 10. C * 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 【 知识点 1 】 -p q -1 -２ 【 知识点 2 】 - b a c a 1. 3 2 -４ 2. x＝-1 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x+m-2＝0 有两个不相等的实数根 ， ∴Δ=b 2 - 4ac＝ （ -2 ） 2 -4×1× （ m-2 ） ＞0 ， ∴12-4m＞0 ， 解得 m＜ 3 ， ∴m 的取值范围为 m＜3. （ 2 ） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x+m-2＝0 有两个不相等的实数根 x 1 ， x 2 ， ∴x 1 +x 2 ＝2. 又 ∵x 1 ＝ -1 ， ∴-1+x 2 ＝2 ， ∴x 2 ＝3 ， ∴ 另一个根 x 2 的值为 3. 1. D 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. 4 9. -2 10. （ 1 ） 3 -2 -6 （ 2 ） 3 2 - 1 2 （ 3 ） 解 ： 设关于 x 的一元二次方程 x 2 + （ 2m+1 ） x+ m 2 -2＝0 有两个实数根为 x 1 ， x 2 ， ∴x 1 +x 2 =- （ 2m+1 ） ， x 1 x 2 =m 2 -2. ∵ 这两个实数根的平方和是 21 ， ∴x 2 1 +x 2 2 =21= （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 ， ∴ ［ - （ 2m+1 ）］ 2 -2 （ m 2 -2 ） ＝21 ， 解得 m 1 ＝ -4 ， m 2 ＝2. ∵Δ=b 2 -4ac＝ （ 2m+1 ） 2 -4 （ m 2 -2 ） ＝4m+9≥0 ， ∴m≥- 9 4 ， ∴m＝-4 不符合题意 ， 则 m＝2. 11. A 12. -4 13. - 1 4 14. 解 ： （ 1 ） Δ=b 2 -4ac＝2 2 -4×1× （ 3-k ） ＝-8+4k ， ∵ 有两个不相等的实数根 ， ∴-8+4k＞0 ， 解得 k＞2. （ 2 ） ∵ 方程的两个根为 α ， β ， ∴αβ= c a =3-k ， ∴k 2 ＝ 3-k+3k ， 解得 k 1 ＝3 ， k 2 ＝-1 ， 由 （ 1 ） 得 k＞2 ， ∴k 2 ＝-1 不合题意 ， ∴k 的值为 3. 21.3 实际问题与一元二次方程 （ 第一课时 ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） x ， x （ 1+x ）， 1+x+x （ 1+x ） ＝ 64 ， 解得 x 1 ＝7 ， x 2 ＝-9 （ 不符合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 每轮传染中平均一个人传染了 7 个人 . （ 2 ） 根据题意得 ， 64+64×7＝512 （ 人 ） . 答 ： 三轮传染后患病的共有 512 人 . 1. A 2. C 3. D 4. x+1+x （ x+1 ） ＝169 5. 10 6. 1+x+x 2 ＝43 7. 解 ： 每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑 ， 列方程 ， 得 1+x+x （ 1+x ） ＝121 ， 解得 x 1 ＝-12 （ 不合题意 ， 舍去 ）， x 2 ＝10. 答 ： 每轮感染中平均一台电脑会感染 10 台电脑 . 8. 解 ： 设有 x 支球队参加比赛 . 由题意可得 ， x （ x- 1 ） ＝110 ， 解得 x＝11 ， x＝-10 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 有 11 支球队参加比赛 . 9. A 10. 解 ： （ 1 ） 2+2x （ 2 ） 设每轮传染中平均一人传染了 x 人 ， 则第一轮 会传染给 2x 人 ， 第二轮会传染给 x （ 2+2x ） 人 ， 依题意 得 ， 2+2x+x （ 2+2x ） ＝288 ， 解得 x 1 ＝11 ， x 2 ＝-13 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 在每轮传染中 ， 平均一人传染了 11 个人 . 11. 解 ： （ 1 ） 设该市改造老旧小区投入资金的年 平均增长率为 x ， 根据题意得 ， 1 000 （ 1+x ） 2 =1 440 ， 解 这个方程得 ， x 1 =0.2 ， x 2 =-2.2. 经检验 ， x=0.2=20% 符合 本题要求 . 答 ： 该市改造老旧小区投入资金的年平均 增长率为 20%. （ 2 ） 设该市在 2025 年可以改造 y 个 老旧小区 ， 由题意得 ， 80 （ 1+15% ） y≤1 440 （ 1+20% ）， 55