21.2.3 因式分解法-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 用因式分解法解方程 ◎ 将一元二次方程因式分解，化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式 分别等于0，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 1. 方程 （ x-1 ）（ x-2 ） ＝0 的根是 . 2. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是 （ ） A. （ x-2 ）（ x+5 ） ＝2 B. 2x 2 -x＝0 C. x 2 +5x-2＝0 D. 12 （ 2-x ） 2 ＝3 例题点拨 素养导向 【例】 用因式分解法解方程： x （ 2x-5 ） ＝4x-10. 【点拨】 如果一个一元二次方程通过因式分解转化成 A · B=0 的形式， 那么就有 A=0 或 B=0 ， 从而实现降次 . 夯实四基 达标闯关 1. 方程 x 2 ＝3x 的解是 （ ） A. x＝3 B. x＝0 C. x 1 = 3 姨 ， x 2 ＝0 D. x 1 ＝3 ， x 2 ＝0 2. 已知一元二次方程的两根分别为 x 1 ＝3 ， x 2 ＝-4 ， 则这个方程可能是 （ ） A. （ x-3 ）（ x+4 ） ＝0 B. （ x+3 ）（ x-4 ） ＝0 C. （ x+3 ）（ x+4 ） ＝0 D. （ x-3 ）（ x-4 ） ＝0 3. 嘉嘉在解方程 x （ x-3 ） ＝x-3 时， 只得到一个解是 x＝1 ， 则他漏掉的解是 （ ） A. x＝3 B. x＝-3 C. x＝0 D. x＝-1 4. 方程 （ x+1 ）（ x-2 ） ＝x+1 的根是 . 5. 一个三角形的两边长为 4 和 6 ， 第三边的边长是方程 （ x-2 ）（ x-5 ） ＝0 的根， 则这个三 角形的周长为 . 6. 用因式分解法解下列方程： （ 1 ） 3x 2 ＝4x ； （ 2 ） 4x 2 -4x+1＝0 ； 21.2.3 因式分解法 14 一元二次方程 第二十一章 （ 3 ） 3x （ x-2 ） ＝x-2 ； （ 4 ） 3x 2 +x＝3x+1 ； （ 5 ） （ 2x-1 ） 2 ＝ （ 3-x ） 2 . 能力提升 综合拓展 7. 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法， 它们分别是配方法、 公式法和 因式分解法， 请选择合适的方法解下列一元二次方程 . （ 1 ） x 2 +2x-1＝0 ； （ 2 ） x 2 -3x＝0 ； （ 3 ） 5x 2 -6x+1＝0 ； （ 4 ） x （ 2x-4 ） ＝-8x-2. 中考链接 真题演练 8. （ 2022 ·梧州） 一元二次方程 （ x-2 ）（ x+7 ） ＝0 的根是 . 9. （ 2021 ·德州） 方程 x 2 -4x＝0 的解为 . 10. （ 2021 ·丹东） 若实数 k ， b 是一元二次方程 （ x+3 ）（ x-1 ） ＝0 的两个根， 且 k＜b ， 则一 次函数 y＝kx+b 的图象不经过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15 九年级上册 （ 人教版 ）数学 （ 4 ） 2 2 姨 2. D 3. 3 -2 4. C 5. A 6. D 7. （ 1 ） x 1 ＝2+ 2 姨 ， x 2 ＝2- 2 姨 （ 2 ） x 1 ＝95 ， x 2 ＝-105 （ 3 ） x 1 =1+ 6 姨 2 ， x 2 =1- 6 姨 2 （ 4 ） y 1 =y 2 =1 （ 5 ） x 1 ＝-1 ， x 2 ＝5 （ 6 ） x 1 ＝ 2 姨 - 6 姨 ， x 2 ＝ 2 姨 + 6 姨 8. 4 9. 解 ： 任务一 ： 三 方程的右边漏加了 9 任务二 ： 4x 2 -12x-1＝0 ， 4x 2 -12x＝1 ， 4x 2 -12x+9＝1+ 9 ， （ 2x-3 ） 2 ＝10 ， 2x-3＝± 10 姨 ， 2x-3= 10 姨 或 2x-3= - 10 姨 ， x 1 = 3+ 10 姨 2 ， x 2 = 3- 10 姨 2 . 任务三 ： 我不同意小刚同学的说法 . 得到的启示 ： 用配方法解一元二次方程时 ， 只要能化成 （ mx+q ） 2 =p 的形式 ， 方便后续开方降次转化为一元一次方程即可 . 10. A 11. C 12. D 21.2.2 公式法 【 知识点 1 】 1. B 2. B 【 知识点 2 】 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a 1. B 2. A 【 例 1 】 解 ： 方程化为 3x 2 -x-2＝0. a＝3 ， b＝ -1 ， c＝-2. Δ=b 2 -4ac= （ -1 ） 2 -４×3× （ -2 ） =25>0. 方程 有两个不等的实数根 ， 即 x = -b± b 2 -4ac 姨 2a = 1± 25 姨 2×3 = 1±5 6 ， 即 x 1 ＝1 ， x 2 =- 2 3 . 【 例 2 】 解 ： ∵ 关于 x 的一元二次方程 kx 2 + （ k+2 ） + k 4 =0 有两个不相等的实数根 ， ∴Δ=b 2 - 4ac>0 ， a=k ， b=k+2 ， c= k 4 ， 即 （ k+2 ） 2 -4 · k · k 4 = k 2 +4k+4-k 2 =4k+4>0 ， 解得 k＞-1. 又 ∵ 一元二次 方程二次项系数不为 0 ， 即 k≠0 ， ∴k 的取值范 围是 k＞-1 且 k≠0. 1. C 2. A 3. 21 4. x 1 = 3+ 13 姨 2 ， x 2 = 3- 13 姨 2 5. 25 4 6. ② ① ③ 7. （ 1 ） a＝1 ， b＝-1 ， c＝-4 ， Δ＝b 2 -4ac= （ -1 ） 2 -4×1× （ -4 ） ＝1+16＝17＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = 1± 17 姨 2 ， x 1 = 1+ 17 姨 2 ， x 2 = 1- 17 姨 2 . （ 2 ） 方程化为 2x 2 -7x+3＝0 ， a＝2 ， b＝-7 ， c＝3 ， Δ＝ b 2 -4ac= （ -7 ） 2 -4×2×3＝25＞0 ， 方程有两个不等的实数 根 ， 即 x= 7± 25 姨 2×2 = 7±5 4 ， x 1 ＝3 ， x 2 = 1 2 . （ 3 ） 方程化为 x 2 -5x+7＝0 ， a=1 ， b=-5 ， c=7 ， Δ＝ b 2 -4ac=25-28＝-3＜0 ， 方程无实数根 . （ 4 ） a＝4 ， b＝2 ， c＝-1 ， Δ＝b 2 -4ac=2 2 -4×4× （ -1 ） ＝4+ 16＝20＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， 即 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = -2±2 5 姨 8 ， x 1 = -1+ 5 姨 4 ， x 2 = -1- 5 姨 4 . （ 5 ） a＝2 ， b＝-6 ， c＝ 1 2 ， Δ＝b 2 -4ac=36-4＝32＞0 ， 方 程有两个不等的实数根 ， 即 y= 6± 32 姨 4 = 6±4 2 姨 4 ， y 1 ＝ 3 2 + 2 姨 ， y 2 ＝ 3 2 - 2 姨 . （ 6 ） 方程化为 2x 2 -2 6 姨 x+3＝0 ， a＝2 ， b＝-2 6 姨 ， c＝3 ， Δ＝b 2 -4ac=24-24＝0 ， 方程有两个相等的实数根 ， 即 x= 2 6 姨 ± 0 姨 4 ， x 1 ＝x 2 = 6 姨 2 . 8. D 9. （ 1 ） 证明 ： ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 - （ m+3 ） x+ 2+m＝0 ， a=1 ， b=- （ m+3 ）， c=2+m ， ∴Δ＝b 2 -4ac= ［ - （ m+ 3 ）］ 2 -4×1× （ 2+m ） ＝ （ m+1 ） 2 ≥0 ， 对于任意实数 m ， 该方 程总有实数根 . （ 2 ） 解 ： 设方程的两个实数根为 x 1 ， x 2 ， ∵x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = m+3± （m+1 ） 2 ， ∴x 1 ＝m+2 ， x 2 ＝1. ∵ 这个 一元二次方程的一个根大于 2 ， ∴m+2＞2 ， 解得 m＞0 ， ∴m 的取值范围为 m＞0. 10. C 11. A 12. A 13. C 21.2.3 因式分解法 【 知识点 】 1. x 1 =1 ， x 2 =2 2. B 【 例 】 解 ： 因式分解 ， 得 x （ 2x-5 ） ＝2 （ 2x-5 ） . 移 项 ， 得 x （ 2x-5 ） -2 （ 2x-5 ） ＝0. 因式分解 ， 得 （ x- 2 ）（ 2x-5 ） ＝0 ， ∴x-2＝0 或 2x-5＝0 ， 解得 x 1 ＝2 ， x 2 = 5 2 . 1. D 2. A 3. A 4. x 1 ＝-1 ， x 2 ＝3 5. 15 54 参 考 答 案 6. 解 ： （ 1 ） 3x 2 -4x＝0 ， x （ 3x-4 ） ＝0 ， x=0 或 （ 3x-4 ） ＝0 ， x 1 =0 ， x 2 = 4 3 . （ 2 ） （ 2x-1 ） 2 =0 ， 2x-1=0 ， x 1 =x 2 = 1 2 . （ 3 ） 3x （ x-2 ） - （ x-2 ） ＝0 ， （ x-2 ）（ 3x-1 ） ＝0 ， x-2＝0 或 3x-1＝0 ， x 1 ＝2 ， x 2 = 1 3 . （ 4 ） x （ 3x+1 ） - （ 3x+1 ） ＝0 ， （ 3x+1 ）（ x-1 ） ＝0 ， 3x+ 1＝0 或 x-1＝0 ， x 1 =- 1 3 ， x 2 ＝1. （ 5 ） （ 2x-1 ） 2 ＝ （ 3-x ） 2 ， （ 2x-1 ） 2 - （ 3-x ） 2 ＝0 ， （ 2x-1+3- x ）（ 2x-1-3+x ） ＝0 ， 2x-1+3-x＝0 或 2x-1-3+x＝0 ， x 1 ＝-2 ， x 2 = 4 3 . 7. 解 ： （ 1 ） x 2 +2x=1 ， x 2 +2x+1=1+1 ， （ x+1 ） 2 =2 ， x+ 1=± 2 姨 ， x+1= 2 姨 ， x+1=- 2 姨 ， x 1 ＝-1+ 2 姨 ， x 2 ＝ -1- 2 姨 . （ 2 ） x 2 -3x＝0 ， x （ x-3 ） ＝0 ， x=0 或 x-3＝0 ， x 1 ＝0 ， x 2 ＝3. （ 3 ） a＝5 ， b＝-6 ， c＝1 ， Δ＝b 2 -4ac= （ -6 ） 2 -4×5×1＝ 16＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， 即 x= 6± 16 姨 2×5 = 6±4 10 ， x 1 ＝1 ， x 2 = 1 5 . （ 4 ） 2x 2 -4x＝-8x-2 ， 2x 2 +4x+2＝0 ， x 2 +2x+1＝0 ， （ x+1 ） 2 ＝0 ， x 1 ＝x 2 ＝-1. 8. x 1 ＝2 ， x 2 ＝-7 9. x 1 ＝0 ， x 2 ＝4 10. C * 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 【 知识点 1 】 -p q -1 -２ 【 知识点 2 】 - b a c a 1. 3 2 -４ 2. x＝-1 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x+m-2＝0 有两个不相等的实数根 ， ∴Δ=b 2 - 4ac＝ （ -2 ） 2 -4×1× （ m-2 ） ＞0 ， ∴12-4m＞0 ， 解得 m＜ 3 ， ∴m 的取值范围为 m＜3. （ 2 ） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 -2x+m-2＝0 有两个不相等的实数根 x 1 ， x 2 ， ∴x 1 +x 2 ＝2. 又 ∵x 1 ＝ -1 ， ∴-1+x 2 ＝2 ， ∴x 2 ＝3 ， ∴ 另一个根 x 2 的值为 3. 1. D 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. 4 9. -2 10. （ 1 ） 3 -2 -6 （ 2 ） 3 2 - 1 2 （ 3 ） 解 ： 设关于 x 的一元二次方程 x 2 + （ 2m+1 ） x+ m 2 -2＝0 有两个实数根为 x 1 ， x 2 ， ∴x 1 +x 2 =- （ 2m+1 ） ， x 1 x 2 =m 2 -2. ∵ 这两个实数根的平方和是 21 ， ∴x 2 1 +x 2 2 =21= （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 ， ∴ ［ - （ 2m+1 ）］ 2 -2 （ m 2 -2 ） ＝21 ， 解得 m 1 ＝ -4 ， m 2 ＝2. ∵Δ=b 2 -4ac＝ （ 2m+1 ） 2 -4 （ m 2 -2 ） ＝4m+9≥0 ， ∴m≥- 9 4 ， ∴m＝-4 不符合题意 ， 则 m＝2. 11. A 12. -4 13. - 1 4 14. 解 ： （ 1 ） Δ=b 2 -4ac＝2 2 -4×1× （ 3-k ） ＝-8+4k ， ∵ 有两个不相等的实数根 ， ∴-8+4k＞0 ， 解得 k＞2. （ 2 ） ∵ 方程的两个根为 α ， β ， ∴αβ= c a =3-k ， ∴k 2 ＝ 3-k+3k ， 解得 k 1 ＝3 ， k 2 ＝-1 ， 由 （ 1 ） 得 k＞2 ， ∴k 2 ＝-1 不合题意 ， ∴k 的值为 3. 21.3 实际问题与一元二次方程 （ 第一课时 ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） x ， x （ 1+x ）， 1+x+x （ 1+x ） ＝ 64 ， 解得 x 1 ＝7 ， x 2 ＝-9 （ 不符合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 每轮传染中平均一个人传染了 7 个人 . （ 2 ） 根据题意得 ， 64+64×7＝512 （ 人 ） . 答 ： 三轮传染后患病的共有 512 人 . 1. A 2. C 3. D 4. x+1+x （ x+1 ） ＝169 5. 10 6. 1+x+x 2 ＝43 7. 解 ： 每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑 ， 列方程 ， 得 1+x+x （ 1+x ） ＝121 ， 解得 x 1 ＝-12 （ 不合题意 ， 舍去 ）， x 2 ＝10. 答 ： 每轮感染中平均一台电脑会感染 10 台电脑 . 8. 解 ： 设有 x 支球队参加比赛 . 由题意可得 ， x （ x- 1 ） ＝110 ， 解得 x＝11 ， x＝-10 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 有 11 支球队参加比赛 . 9. A 10. 解 ： （ 1 ） 2+2x （ 2 ） 设每轮传染中平均一人传染了 x 人 ， 则第一轮 会传染给 2x 人 ， 第二轮会传染给 x （ 2+2x ） 人 ， 依题意 得 ， 2+2x+x （ 2+2x ） ＝288 ， 解得 x 1 ＝11 ， x 2 ＝-13 （ 不合题意 ， 舍去 ） . 答 ： 在每轮传染中 ， 平均一人传染了 11 个人 . 11. 解 ： （ 1 ） 设该市改造老旧小区投入资金的年 平均增长率为 x ， 根据题意得 ， 1 000 （ 1+x ） 2 =1 440 ， 解 这个方程得 ， x 1 =0.2 ， x 2 =-2.2. 经检验 ， x=0.2=20% 符合 本题要求 . 答 ： 该市改造老旧小区投入资金的年平均 增长率为 20%. （ 2 ） 设该市在 2025 年可以改造 y 个 老旧小区 ， 由题意得 ， 80 （ 1+15% ） y≤1 440 （ 1+20% ）， 55