21.2.2 公式法-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

一元二次方程 第二十一章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 根的判别式 ◎ 一般地，式子 b 2-4 ac 叫做关于 x 的一元二次方程 ax 2+ bx + c =0（ a≠0 ）根的判别式，通 常用希腊字母“ Δ ”表示它，即 Δ=b 2-4 ac. 当 Δ＞0 时， 方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 有两个不等的实数根； 当 Δ＝0 时， 方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时， 方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 无实数根 . 1. 关于 x 的一元二次方程 x 2 -3x-5＝0 的根的情况是 （ ） A. 没有实数根 B. 两个不相等的实数根 C. 两个相等的实数根 D. 无法确定 2. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+2a＝0 没有实数根， 则 a 的取值范围是 （ ） A. a＜2 B. a＞2 C. a≤2 D. a≥2 【知识点 2 】 用公式法解方程 当 Δ≥0 时， 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 的求根公式为 ， 把各系数直接代入求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 . 1. 用求根公式解方程 2x 2 -3＝x 时， a ， b ， c 的值是 （ ） A. a＝2 ， b＝1 ， c＝-3 B. a＝2 ， b＝-1 ， c＝-3 C. a＝2 ， b＝-1 ， c＝3 D. a＝2 ， b＝1 ， c＝3 2. 用公式法解方程 2x 2 +5x-1＝0 ， 所得解正确的是 （ ） A. x= -5± 33 姨 4 B. x= -5± 33 姨 2 C. x= 5± 33 姨 4 D. x= 5± 33 姨 2 例题点拨 素养导向 【例 1 】 用公式法解方程： 3x 2 ＝x+2. 【点拨】 求根公式是与一元二次方程一般形式相对应的， 因此使用求根公式之前应先将 方程化为 “一般形式”， 确定 a ， b ， c 的值时， 要注意它们的符号 . 21.2.2 公 式 法 11 九年级上册 （人教版）数学 【例 2 】 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 + （ k+2 ） + k 4 =0 有两个不相等的实数根， 求 k 的取值 范围 . 【点拨】 1. 一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0 （ a≠0 ） 的根的判别式为 Δ＝b 2 -4ac. 当 Δ＞0 ， 方程有 两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 ， 方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 ， 方程没有实数根 . 2. 一 元二次方程二次项系数不为 0. 夯实四基 达标闯关 1. 一元二次方程 2x 2 -2x＝x+1 根的判别式的值是 （ ） A. 0 B. 1 C. 17 D. -13 2. 下列方程中， 没有实数根的是 （ ） A. x 2 +1＝0 B. x 2 -2x+1＝0 C. x 2 -2x-3＝0 D. x 2 -2x＝0 3. 一元二次方程 x 2 +5x+1＝0 根的判别式的值是 . 4. 方程 x 2 -3x＝1 的解是 . 5. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 +5x+k＝0 有两个相等的实数根， 则 k＝ . 6. 给出下列方程： ①x 2 +6x-2＝0 ； ②3x 2 -4＝0 ； ③2y 2 -3y-1＝0. 你认为选用哪种方法解方程 较简便 （填序号）？ 开平方法： ， 配方法： ， 公式法： . 7. 用公式法解下列方程 . （ 1 ） x 2 -x-4＝0 ； （ 2 ） 2x 2 +3＝7x ； （ 3 ） （ x-2 ） 2 ＝x-3 ； （ 4 ） 4x 2 +2x-1＝0 ； 12 一元二次方程 第二十一章 （ 5 ） 2y 2 -6y+ 1 2 ＝0 ； （ 6 ） x （ 2x- 6 姨 ） = 6 姨 x-3. 能力提升 综合拓展 8. 等腰三角形的一边长是 3 ， 另两边的长是关于 x 的方程 x 2 -4x+k＝0 的两个根， 则三角 形的周长为 （ ） A. 7 或 8 B. 8 C. 15 D. 7 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - （ m+3 ） x+2+m＝0. （ 1 ） 求证： 对于任意实数 m ， 该方程总有实数根 . （ 2 ） 若这个一元二次方程的一个根大于 2 ， 求 m 的取值范围 . 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·北京） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 -3x+m＝0 有两个相等的实数根， 则实数 m 的值为 （ ） A. -9 B. - 9 4 C. 9 4 D. 9 11. （ 2023 ·河南） 关于 x 的一元二次方程 x 2 +mx-8＝0 的根的情况是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 12. （ 2023 ·兰州） 关于 x 的一元二次方程 x 2 +bx+c＝0 有两个相等的实数根， 则 b 2 -2 （ 1+2c ） ＝ （ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 13. （ 2023 ·吉林） 一元二次方程 x 2 -5x+2＝0 根的判别式的值是 （ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 17 姨 13 九年级上册 （ 人教版 ）数学 （ 4 ） 2 2 姨 2. D 3. 3 -2 4. C 5. A 6. D 7. （ 1 ） x 1 ＝2+ 2 姨 ， x 2 ＝2- 2 姨 （ 2 ） x 1 ＝95 ， x 2 ＝-105 （ 3 ） x 1 =1+ 6 姨 2 ， x 2 =1- 6 姨 2 （ 4 ） y 1 =y 2 =1 （ 5 ） x 1 ＝-1 ， x 2 ＝5 （ 6 ） x 1 ＝ 2 姨 - 6 姨 ， x 2 ＝ 2 姨 + 6 姨 8. 4 9. 解 ： 任务一 ： 三 方程的右边漏加了 9 任务二 ： 4x 2 -12x-1＝0 ， 4x 2 -12x＝1 ， 4x 2 -12x+9＝1+ 9 ， （ 2x-3 ） 2 ＝10 ， 2x-3＝± 10 姨 ， 2x-3= 10 姨 或 2x-3= - 10 姨 ， x 1 = 3+ 10 姨 2 ， x 2 = 3- 10 姨 2 . 任务三 ： 我不同意小刚同学的说法 . 得到的启示 ： 用配方法解一元二次方程时 ， 只要能化成 （ mx+q ） 2 =p 的形式 ， 方便后续开方降次转化为一元一次方程即可 . 10. A 11. C 12. D 21.2.2 公式法 【 知识点 1 】 1. B 2. B 【 知识点 2 】 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a 1. B 2. A 【 例 1 】 解 ： 方程化为 3x 2 -x-2＝0. a＝3 ， b＝ -1 ， c＝-2. Δ=b 2 -4ac= （ -1 ） 2 -４×3× （ -2 ） =25>0. 方程 有两个不等的实数根 ， 即 x = -b± b 2 -4ac 姨 2a = 1± 25 姨 2×3 = 1±5 6 ， 即 x 1 ＝1 ， x 2 =- 2 3 . 【 例 2 】 解 ： ∵ 关于 x 的一元二次方程 kx 2 + （ k+2 ） + k 4 =0 有两个不相等的实数根 ， ∴Δ=b 2 - 4ac>0 ， a=k ， b=k+2 ， c= k 4 ， 即 （ k+2 ） 2 -4 · k · k 4 = k 2 +4k+4-k 2 =4k+4>0 ， 解得 k＞-1. 又 ∵ 一元二次 方程二次项系数不为 0 ， 即 k≠0 ， ∴k 的取值范 围是 k＞-1 且 k≠0. 1. C 2. A 3. 21 4. x 1 = 3+ 13 姨 2 ， x 2 = 3- 13 姨 2 5. 25 4 6. ② ① ③ 7. （ 1 ） a＝1 ， b＝-1 ， c＝-4 ， Δ＝b 2 -4ac= （ -1 ） 2 -4×1× （ -4 ） ＝1+16＝17＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = 1± 17 姨 2 ， x 1 = 1+ 17 姨 2 ， x 2 = 1- 17 姨 2 . （ 2 ） 方程化为 2x 2 -7x+3＝0 ， a＝2 ， b＝-7 ， c＝3 ， Δ＝ b 2 -4ac= （ -7 ） 2 -4×2×3＝25＞0 ， 方程有两个不等的实数 根 ， 即 x= 7± 25 姨 2×2 = 7±5 4 ， x 1 ＝3 ， x 2 = 1 2 . （ 3 ） 方程化为 x 2 -5x+7＝0 ， a=1 ， b=-5 ， c=7 ， Δ＝ b 2 -4ac=25-28＝-3＜0 ， 方程无实数根 . （ 4 ） a＝4 ， b＝2 ， c＝-1 ， Δ＝b 2 -4ac=2 2 -4×4× （ -1 ） ＝4+ 16＝20＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， 即 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = -2±2 5 姨 8 ， x 1 = -1+ 5 姨 4 ， x 2 = -1- 5 姨 4 . （ 5 ） a＝2 ， b＝-6 ， c＝ 1 2 ， Δ＝b 2 -4ac=36-4＝32＞0 ， 方 程有两个不等的实数根 ， 即 y= 6± 32 姨 4 = 6±4 2 姨 4 ， y 1 ＝ 3 2 + 2 姨 ， y 2 ＝ 3 2 - 2 姨 . （ 6 ） 方程化为 2x 2 -2 6 姨 x+3＝0 ， a＝2 ， b＝-2 6 姨 ， c＝3 ， Δ＝b 2 -4ac=24-24＝0 ， 方程有两个相等的实数根 ， 即 x= 2 6 姨 ± 0 姨 4 ， x 1 ＝x 2 = 6 姨 2 . 8. D 9. （ 1 ） 证明 ： ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 - （ m+3 ） x+ 2+m＝0 ， a=1 ， b=- （ m+3 ）， c=2+m ， ∴Δ＝b 2 -4ac= ［ - （ m+ 3 ）］ 2 -4×1× （ 2+m ） ＝ （ m+1 ） 2 ≥0 ， 对于任意实数 m ， 该方 程总有实数根 . （ 2 ） 解 ： 设方程的两个实数根为 x 1 ， x 2 ， ∵x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = m+3± （m+1 ） 2 ， ∴x 1 ＝m+2 ， x 2 ＝1. ∵ 这个 一元二次方程的一个根大于 2 ， ∴m+2＞2 ， 解得 m＞0 ， ∴m 的取值范围为 m＞0. 10. C 11. A 12. A 13. C 21.2.3 因式分解法 【 知识点 】 1. x 1 =1 ， x 2 =2 2. B 【 例 】 解 ： 因式分解 ， 得 x （ 2x-5 ） ＝2 （ 2x-5 ） . 移 项 ， 得 x （ 2x-5 ） -2 （ 2x-5 ） ＝0. 因式分解 ， 得 （ x- 2 ）（ 2x-5 ） ＝0 ， ∴x-2＝0 或 2x-5＝0 ， 解得 x 1 ＝2 ， x 2 = 5 2 . 1. D 2. A 3. A 4. x 1 ＝-1 ， x 2 ＝3 5. 15 54