21.2.1 配方法(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 用配方法解方程 ◎ 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 1. 填空： ①x 2 -2x+ ＝ （ x- ） 2 ； ②x 2 +6x+ ＝ （ x+ ） 2 . 2. 用配方法解方程 x 2 -4x-1＝0 时， 配方后正确的是 （ ） A. （ x+2 ） 2 ＝3 B. （ x+2 ） 2 ＝17 C. （ x-2 ） 2 ＝5 D. （ x-2 ） 2 ＝17. 例题点拨 素养导向 【例】 用配方法解方程： 3x 2 +6x+2＝0. 【点拨】 一般地， 如果一个一元二次方程通过配方转化成 （ x+n ） 2 =p 的形式， 那么就有： （ 1 ） 当 p≥0 时， 可通过开方降次得到方程的两个实数根； （ 2 ） 当 p<0 时， 根据乘方的意 义， 原方程无实数根 . 夯实四基 达标闯关 1. 将下列各式配方： （ 1 ） x 2 -4x+ ＝ （ x- ） 2 ； （ 2 ） x 2 +12x+ ＝ （ x+ ） 2 ； （ 3 ） x 2 - 3 2 x+ ＝ （ x- ） 2 ； （ 4 ） x 2 +2 2 姨 x+ ＝ （ x+ ） 2 . 2. 用配方法解方程 x 2 +4x+1＝0 时， 配方结果正确的是 （ ） A. （ x-2 ） 2 ＝5 B. （ x-2 ） 2 ＝3 C. （ x+2 ） 2 ＝5 D. （ x+2 ） 2 ＝3 3. 若一元二次方程 x 2 +6x+7＝0 可以配成 （ x+p ） 2 +q＝0 的形式， 则 p＝ ， q＝ . 4. 下列方程最适合用配方法求解的是 （ ） A. 2x 2 ＝8 B. x （ x+2 ） ＝x+2 C. x 2 -2x＝3 D. 2x 2 +x-1＝0 21.2.1 配方法 （第二课时） 8 一元二次方程 第二十一章 5. 用配方法解方程时， 下列配方错误的是 （ ） A. x 2 +6x-7＝0 化为 （ x+3 ） 2 ＝0 B. x 2 -5x-4＝0 化为 x- 5 2 2 " 2 = 41 4 C. x 2 +2x-99＝0 化为 （ x+1 ） 2 ＝100 D. 3x 2 -4x-2＝0 化为 x- 2 3 2 " 2 = 10 9 6. 老师设计了接力游戏， 用合作的方式完成配方法解方程 . 规则： 每人只能看到前一人 给的方程， 并进行一步计算， 再将结果传递给下一人， 最后解出方程， 过程如图所示， 接力 中， 自己负责的一步出现错误的是 （ ） A. 只有甲 B. 只有丁 C. 乙和丁 D. 甲和丁 7. 用配方法解下列方程： （ 1 ） x 2 -4x+2＝0 ； （ 2 ） x 2 +10x-9 975＝0 ； （ 3 ） 2x 2 -4x-1＝0 ； （ 4 ） y （ y-4 ） =-1-2y ； （ 5 ） （ x-1 ）（ x-3 ） =8 ； （ 6 ） x 2 =2 2 姨 x+4. 原方程 x 2 +4x+2=0 甲 x 2 +4x=2 乙 x 2 +4x+4=6 丙 （ x+2 ） 2 =6 丁 x= 6 姨 -2 第 6 题图 9 九年级上册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 8. 当 x＝ 时， x （ x-8 ） 的值与 -16 的值相等 . 9. 下面是小明同学灵活应用配方法解方程 4x 2 -12x-1＝0 的过程， 请认真阅读并完成相应 的任务 . 解： 原方程可化为 （ 2x ） 2 -6 · 2x-1＝0 ……第一步 移项， 得 （ 2x ） 2 -6 · 2x＝1 ……第二步 配方， 得 （ 2x ） 2 -6 · 2x+3 2 ＝1 ……第三步 ∴ （ 2x-3 ） 2 ＝1 ……第四步 两边开平方， 得 2x-3＝±1 ……第五步 ∴2x-3＝1 或 2x-3＝-1. ……第六步 ∴ 原方程的解为 x 1 ＝2 ， x 2 ＝1 ……第七步 任务一： 小明同学的解答过程是从第 步开始出错的， 错误的原因是 . 任务二： 请写出该方程的正确解答过程 . 任务三： 小刚同学说： “小明的解法是错误的， 因为用配方法解一元二次方程时， 首先 要把二次项系数化为 1 ， 再配方 . ” 你同意小刚同学的说法吗？ 你得到了什么启示？ 中考链接 真题演练 10. （ 2021 ·赤峰） 一元二次方程 x 2 -8x-2＝0 ， 配方后可变形为 （ ） A. （ x-4 ） 2 ＝18 B. （ x-4 ） 2 ＝14 C. （ x-8 ） 2 ＝64 D. （ x-4 ） 2 ＝1 11. （ 2022 ·雅安） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 +6x+c＝0 配方后得到方程 （ x+3 ） 2 ＝2c ， 则 c 的值为 （ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 12. （ 2023 ·新疆） 用配方法解一元二次方程 x 2 -6x+8＝0 配方后得到的方程是 （ ） A. （ x+6 ） 2 ＝28 B. （ x-6 ） 2 ＝28 C. （ x+3 ） 2 ＝1 D. （ x-3 ） 2 ＝1 10 参 考 答 案 参 考 答 案 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 【 知识点 1 】 整式 未知数 （ 一元 ） 2 （ 二 次 ） 1. A 2. k≠-2 【 知识点 2 】 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） ax 2 a bx b c 1. C 2. x 2 +3x+2=0 【 知识点 3 】 1. D 2. 3 【 知识点 4 】 1 2 x （ x-1 ） =21 x 2 +2x-24=0 【 例 1 】 解 ： 5x 2 -1＝4x 化成一元二次方程一般 形式 ： 5x 2 -4x-1＝0 ， 它的二次项系数是 5 ， 一次 项系数是 -4 ， 常数项是 -1. 5x 2 -1＝4x 也可化成一 元二次方程一般形式 ： -5x 2 +4x+1＝0 ， 它的二次项 系数是 -5 ， 一次项系数是 4 ， 常数项是 1. 【 例 2 】 解 ： ∵m 为方程 x 2 +3x-2 024＝0 的根 ， ∴m 2 +3m-2 024＝0 ， ∴m 2 +3m＝2 024 ， ∴ 原式 ＝m 3 + 3m 2 -m 2 -3m-2 024m＝m （ m 2 +3m ） - （ m 2 +3m ） -2 024m＝ 2 024m-2 024-2 024m＝-2 024. 1. D 2. 3 0 -5 3. -2 4. （ 12+x ）（ 9+x ） ＝12×9+72 5. 解 ： （ 1 ） 将 x＝1 代入原方程得 ， a×1+b×1+c＝0 ， 即 a+b+c＝0. （ 2 ） 将 x＝-1 代入原方程得 ， a× （ -1 ） 2 +b× （ -1 ） +c＝ 0 ， 即 a-b+c＝0. （ 3 ） 将 x＝0 代入原方程得 ， a×0+b×0+c＝0 ， ∴c＝0. 6. 解 ： （ 1 ） 设这个三角形其中一条直角边长为 x cm ， 另一条直角边为 （ 14-x ） cm ， 由题意得 1 2 x （ 14- x ） ＝24 ， 化简可得 x 2 -14x+48＝0. （ 2 ） 设竿长为 x 尺 ， 由题意得 ， （ x-2 ） 2 + （ x-4 ） 2 ＝x 2 . 化简可得 x 2 -12x+20=0. 7. 解 ： （ 1 ） ②③ （ 2 ） ①∵- 1 2 x 2 + （ m+1 ） x+n＝0 是关于 x 的 “ 完美方 程 ”， ∴m+1＝- 1 2 +n ， ∴m=- 3 2 +n. ②∵n 是此 “ 完美方 程 ” 的一个根 ， ∴- 1 2 n 2 + - 3 2 +n+ + # 1 · n+n＝0 ， n 2 +n=0 ， 把 0 ， -1 代入此方程成立 ， 所以 n 的值为 0 或 -1. 8. D 9. 1 10. 2 019 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 （ 1 ） ＞ （ 2 ） 相等 x 1 =x 2 =0 1. x 1 = 2 姨 ， x 2 =- 2 姨 2. x 1 = 5 2 ， x 2 =- 5 2 【 知识点 2 】 1. D 2. x 1 = 3 姨 -1 ， x 2 =- 3 姨 -1 【 例 】 解 ： 方程变形为 （ x-1 ） 2 ＝9 ， 两边开平 方 ， 得 x-1＝±3 ， 即 x-1＝3 ， x-1＝-3 ， ∴ 原方程的 解为 x 1 ＝4 ， x 2 ＝-2. 1. x 1 = 1 2 ， x 2 =- 1 2 2. A 3. C 4. （ 1 ） 一 求 9 的平方根出错 （ 2 ） （ 2x-1 ） 2 ＝9 ， 2x-1＝3 ， 2x-1＝-3 ， 2x＝4 ， 2x＝-2 ， x＝2 ， x＝-1. 5. （ 1 ） x 1 ＝4 ， x 2 ＝-4 （ 2 ） x 1 ＝4 ， x 2 ＝-2 （ 3 ） x 1 ＝7 ， x 2 ＝-3 （ 4 ） x 1 ＝9 ， x 2 ＝-11 6. 6 7. 解 ： （ 1 ） 5 ， 3 ， 2 ， -12. （ 2 ） 原方程可变形 ， 得 ［（ x+2 ） -4 ］［（ x+2 ） +4 ］ ＝4 ， （ x+2 ） 2 -4 2 ＝4 ， （ x+2 ） 2 ＝4+4 2 ， x＝-2±2 5 姨 ， x 1 ＝-2+2 5 姨 ， x 2 ＝-2-2 5 姨 . 8. x 1 =2 ， x 2 =-2 9. 5 （ 答案不唯一 ， 只要 c≥0 即可 ） 21.2.1 配方法 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. 1 1 9 3 2. C 【 例 】 解 ： 移项 ， 得 3x 2 +6x＝-2. 二次项系数 化为 1 ， 得 x 2 +2x=- 2 3 . 配方 ， 得 x 2 +2x+1=- 2 3 + 1 ， （ x+1 ） 2 = 1 3 . 开平方 ， 得 x+1＝± 3 姨 3 ， x 1 = 3 姨 3 -1 ， x 2 =- 3 姨 3 -1. 1. （ 1 ） 4 2 （ 2 ） 36 6 （ 3 ） 9 16 3 4 53 九年级上册 （ 人教版 ）数学 （ 4 ） 2 2 姨 2. D 3. 3 -2 4. C 5. A 6. D 7. （ 1 ） x 1 ＝2+ 2 姨 ， x 2 ＝2- 2 姨 （ 2 ） x 1 ＝95 ， x 2 ＝-105 （ 3 ） x 1 =1+ 6 姨 2 ， x 2 =1- 6 姨 2 （ 4 ） y 1 =y 2 =1 （ 5 ） x 1 ＝-1 ， x 2 ＝5 （ 6 ） x 1 ＝ 2 姨 - 6 姨 ， x 2 ＝ 2 姨 + 6 姨 8. 4 9. 解 ： 任务一 ： 三 方程的右边漏加了 9 任务二 ： 4x 2 -12x-1＝0 ， 4x 2 -12x＝1 ， 4x 2 -12x+9＝1+ 9 ， （ 2x-3 ） 2 ＝10 ， 2x-3＝± 10 姨 ， 2x-3= 10 姨 或 2x-3= - 10 姨 ， x 1 = 3+ 10 姨 2 ， x 2 = 3- 10 姨 2 . 任务三 ： 我不同意小刚同学的说法 . 得到的启示 ： 用配方法解一元二次方程时 ， 只要能化成 （ mx+q ） 2 =p 的形式 ， 方便后续开方降次转化为一元一次方程即可 . 10. A 11. C 12. D 21.2.2 公式法 【 知识点 1 】 1. B 2. B 【 知识点 2 】 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a 1. B 2. A 【 例 1 】 解 ： 方程化为 3x 2 -x-2＝0. a＝3 ， b＝ -1 ， c＝-2. Δ=b 2 -4ac= （ -1 ） 2 -４×3× （ -2 ） =25>0. 方程 有两个不等的实数根 ， 即 x = -b± b 2 -4ac 姨 2a = 1± 25 姨 2×3 = 1±5 6 ， 即 x 1 ＝1 ， x 2 =- 2 3 . 【 例 2 】 解 ： ∵ 关于 x 的一元二次方程 kx 2 + （ k+2 ） + k 4 =0 有两个不相等的实数根 ， ∴Δ=b 2 - 4ac>0 ， a=k ， b=k+2 ， c= k 4 ， 即 （ k+2 ） 2 -4 · k · k 4 = k 2 +4k+4-k 2 =4k+4>0 ， 解得 k＞-1. 又 ∵ 一元二次 方程二次项系数不为 0 ， 即 k≠0 ， ∴k 的取值范 围是 k＞-1 且 k≠0. 1. C 2. A 3. 21 4. x 1 = 3+ 13 姨 2 ， x 2 = 3- 13 姨 2 5. 25 4 6. ② ① ③ 7. （ 1 ） a＝1 ， b＝-1 ， c＝-4 ， Δ＝b 2 -4ac= （ -1 ） 2 -4×1× （ -4 ） ＝1+16＝17＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = 1± 17 姨 2 ， x 1 = 1+ 17 姨 2 ， x 2 = 1- 17 姨 2 . （ 2 ） 方程化为 2x 2 -7x+3＝0 ， a＝2 ， b＝-7 ， c＝3 ， Δ＝ b 2 -4ac= （ -7 ） 2 -4×2×3＝25＞0 ， 方程有两个不等的实数 根 ， 即 x= 7± 25 姨 2×2 = 7±5 4 ， x 1 ＝3 ， x 2 = 1 2 . （ 3 ） 方程化为 x 2 -5x+7＝0 ， a=1 ， b=-5 ， c=7 ， Δ＝ b 2 -4ac=25-28＝-3＜0 ， 方程无实数根 . （ 4 ） a＝4 ， b＝2 ， c＝-1 ， Δ＝b 2 -4ac=2 2 -4×4× （ -1 ） ＝4+ 16＝20＞0 ， 方程有两个不等的实数根 ， 即 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = -2±2 5 姨 8 ， x 1 = -1+ 5 姨 4 ， x 2 = -1- 5 姨 4 . （ 5 ） a＝2 ， b＝-6 ， c＝ 1 2 ， Δ＝b 2 -4ac=36-4＝32＞0 ， 方 程有两个不等的实数根 ， 即 y= 6± 32 姨 4 = 6±4 2 姨 4 ， y 1 ＝ 3 2 + 2 姨 ， y 2 ＝ 3 2 - 2 姨 . （ 6 ） 方程化为 2x 2 -2 6 姨 x+3＝0 ， a＝2 ， b＝-2 6 姨 ， c＝3 ， Δ＝b 2 -4ac=24-24＝0 ， 方程有两个相等的实数根 ， 即 x= 2 6 姨 ± 0 姨 4 ， x 1 ＝x 2 = 6 姨 2 . 8. D 9. （ 1 ） 证明 ： ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 - （ m+3 ） x+ 2+m＝0 ， a=1 ， b=- （ m+3 ）， c=2+m ， ∴Δ＝b 2 -4ac= ［ - （ m+ 3 ）］ 2 -4×1× （ 2+m ） ＝ （ m+1 ） 2 ≥0 ， 对于任意实数 m ， 该方 程总有实数根 . （ 2 ） 解 ： 设方程的两个实数根为 x 1 ， x 2 ， ∵x= -b± b 2 -4ac 姨 2a = m+3± （m+1 ） 2 ， ∴x 1 ＝m+2 ， x 2 ＝1. ∵ 这个 一元二次方程的一个根大于 2 ， ∴m+2＞2 ， 解得 m＞0 ， ∴m 的取值范围为 m＞0. 10. C 11. A 12. A 13. C 21.2.3 因式分解法 【 知识点 】 1. x 1 =1 ， x 2 =2 2. B 【 例 】 解 ： 因式分解 ， 得 x （ 2x-5 ） ＝2 （ 2x-5 ） . 移 项 ， 得 x （ 2x-5 ） -2 （ 2x-5 ） ＝0. 因式分解 ， 得 （ x- 2 ）（ 2x-5 ） ＝0 ， ∴x-2＝0 或 2x-5＝0 ， 解得 x 1 ＝2 ， x 2 = 5 2 . 1. D 2. A 3. A 4. x 1 ＝-1 ， x 2 ＝3 5. 15 54