21.2.1 配方法(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

一元二次方程 第二十一章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 一元二次方程 x 2 =p 的解法 ◎ 一般地，对于方程 x 2= p ，根据平方根的意义， （ 1 ） 当 p 0 时， 方程 x 2 =p 有两个不等的实数根 x 1 =- p 姨 ， x 2 = p 姨 ； （ 2 ） 当 p=0 时， 方程 x 2 =p 有两个 的实数根 ； （ 3 ） 当 p<0 时， 因为对任意实数 x ， 都有 x 2 ≥0 ， 所以方程 x 2 =p 无实数根 . 1. 一元二次方程 x 2 =2 的解为 . 2. 一元二次方程 4x 2 -25=0 的解为 . 【知识点 2 】 一元二次方程 （ x+q ） 2 =p （ p≥0 ） 的解法 ◎ 由方程（ x + q ）2= p 得到 x + q =± p 姨 ，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为 两个一元一次方程，这样就把方程（ x + q ）2= p （ p ≥0）转化为我们会解的方程了. 1. 方程 （ x-3 ） 2 ＝16 的根为 （ ） A. x 1 ＝x 2 ＝7 B. x 1 ＝7 ， x 2 ＝1 C. x 1 ＝x 2 ＝-1 D. x 1 ＝7 ， x 2 ＝-1 2. 方程 3 （ x+1 ） 2 ＝9 的根是 . 例题点拨 素养导向 【例】 解方程： 2 （ x-1 ） 2 -18＝0. 【点拨】 本题考查利用直接开平方法解一元二次方程， 一般步骤是： 一化， 将原方程变 形为 x 2 =p （ p≥0 ） 或 （ mx+n ） 2 =p （ p≥0 ） 的形式； 二开， 直接开平方， 得 x=± p 姨 ， mx+ n=± p 姨 ； 三写， 写出原方程的解 . 21.2.1 配方法 （第一课时） 21.2 解一元二次方程 5 九年级上册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 一元二次方程 4x 2 =1 的解是 . 2. 将一元二次方程 （ x-6 ） 2 ＝25 转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是 x- 6＝5 ， 则另一个一元一次方程是 （ ） A. x-6＝-5 B. x-6＝5 C. x+6＝-5 D. x+6＝5 3. 如图， 这是一个简单的数值运算程序， 则输入 x 的值为 （ ） A. x 1 ＝2 ， x 2 ＝-2 B. x 1 ＝3 ， x 2 ＝-3 C. x 1 ＝3 ， x 2 ＝-1 D. x 1 ＝-3 ， x 2 ＝1 4. （ 2x-1 ） 2 ＝9. 解： （ 2x-1 ） 2 ＝9 ， 2x-1＝3 ……第一步， 2x＝4 ……第二步， x＝2 ……第三步 . （ 1 ） 以上解方程的过程中从第 步开始出现错误， 错误的原因是 . （ 2 ） 请写出正确的解方程过程 . 5. 解下列方程： （ 1 ） 1 2 x 2 -5＝3 ； （ 2 ） 2 （ x-1 ） 2 -18＝0 ； （ 3 ） x 2 -4x+4=25. （ 4 ） 1 4 （ x+1 ） 2 =25. 输入 x （ x-1 ） 2 ×2 输出 8 第 3 题图 6 一元二次方程 第二十一章 能力提升 综合拓展 6. 若 x 2 -6x+m= （ x-n ） 2 ， 则 m-n 的值为 . 7. 在解一元二次方程时， 发现有这样一种解法： 如解方程 x （ x+8 ） ＝4. 解： 原方程可变形， 得 ［（ x+4 ） -4 ］［（ x+4 ） +4 ］ ＝4 ， （ x+4 ） 2 -4 2 ＝4 ， （ x+4 ） 2 ＝20 ， 直接开平方， 得 x 1 ＝-4+2 5 姨 ， x 2 ＝-4-2 5 姨 . 我们称这种解法为 “平均数法” . （ 1 ） 下面是小明用 “平均数法” 解方程 （ x+2 ）（ x+8 ） ＝40 时写的解题过程： 解： 原方程可变形， 得 ［（ x+a ） -b ］［（ x+a ） +b ］ ＝40 ， （ x+a ） 2 -b 2 ＝40 ， （ x+a ） 2 ＝40+b 2 ， 直接开平方， 得 x 1 ＝c ， x 2 ＝d. 上述解题过程中的 a ， b ， c ， d 所表示的数分别是 ， ， ， . （ 2 ） 请用 “平均数法” 解方程： （ x-2 ）（ x+6 ） ＝4. 中考链接 真题演练 8. （ 2020 ·徐州） 方程 x 2 -4=0 的解是 . 9. （ 2019 ·吉林） 若关于 x 的一元二次方程 （ x+3 ） 2 ＝c 有实数根， 则 c 的值可以为 （写出一个即可） . 7 参 考 答 案 参 考 答 案 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 【 知识点 1 】 整式 未知数 （ 一元 ） 2 （ 二 次 ） 1. A 2. k≠-2 【 知识点 2 】 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） ax 2 a bx b c 1. C 2. x 2 +3x+2=0 【 知识点 3 】 1. D 2. 3 【 知识点 4 】 1 2 x （ x-1 ） =21 x 2 +2x-24=0 【 例 1 】 解 ： 5x 2 -1＝4x 化成一元二次方程一般 形式 ： 5x 2 -4x-1＝0 ， 它的二次项系数是 5 ， 一次 项系数是 -4 ， 常数项是 -1. 5x 2 -1＝4x 也可化成一 元二次方程一般形式 ： -5x 2 +4x+1＝0 ， 它的二次项 系数是 -5 ， 一次项系数是 4 ， 常数项是 1. 【 例 2 】 解 ： ∵m 为方程 x 2 +3x-2 024＝0 的根 ， ∴m 2 +3m-2 024＝0 ， ∴m 2 +3m＝2 024 ， ∴ 原式 ＝m 3 + 3m 2 -m 2 -3m-2 024m＝m （ m 2 +3m ） - （ m 2 +3m ） -2 024m＝ 2 024m-2 024-2 024m＝-2 024. 1. D 2. 3 0 -5 3. -2 4. （ 12+x ）（ 9+x ） ＝12×9+72 5. 解 ： （ 1 ） 将 x＝1 代入原方程得 ， a×1+b×1+c＝0 ， 即 a+b+c＝0. （ 2 ） 将 x＝-1 代入原方程得 ， a× （ -1 ） 2 +b× （ -1 ） +c＝ 0 ， 即 a-b+c＝0. （ 3 ） 将 x＝0 代入原方程得 ， a×0+b×0+c＝0 ， ∴c＝0. 6. 解 ： （ 1 ） 设这个三角形其中一条直角边长为 x cm ， 另一条直角边为 （ 14-x ） cm ， 由题意得 1 2 x （ 14- x ） ＝24 ， 化简可得 x 2 -14x+48＝0. （ 2 ） 设竿长为 x 尺 ， 由题意得 ， （ x-2 ） 2 + （ x-4 ） 2 ＝x 2 . 化简可得 x 2 -12x+20=0. 7. 解 ： （ 1 ） ②③ （ 2 ） ①∵- 1 2 x 2 + （ m+1 ） x+n＝0 是关于 x 的 “ 完美方 程 ”， ∴m+1＝- 1 2 +n ， ∴m=- 3 2 +n. ②∵n 是此 “ 完美方 程 ” 的一个根 ， ∴- 1 2 n 2 + - 3 2 +n+ + # 1 · n+n＝0 ， n 2 +n=0 ， 把 0 ， -1 代入此方程成立 ， 所以 n 的值为 0 或 -1. 8. D 9. 1 10. 2 019 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 （ 1 ） ＞ （ 2 ） 相等 x 1 =x 2 =0 1. x 1 = 2 姨 ， x 2 =- 2 姨 2. x 1 = 5 2 ， x 2 =- 5 2 【 知识点 2 】 1. D 2. x 1 = 3 姨 -1 ， x 2 =- 3 姨 -1 【 例 】 解 ： 方程变形为 （ x-1 ） 2 ＝9 ， 两边开平 方 ， 得 x-1＝±3 ， 即 x-1＝3 ， x-1＝-3 ， ∴ 原方程的 解为 x 1 ＝4 ， x 2 ＝-2. 1. x 1 = 1 2 ， x 2 =- 1 2 2. A 3. C 4. （ 1 ） 一 求 9 的平方根出错 （ 2 ） （ 2x-1 ） 2 ＝9 ， 2x-1＝3 ， 2x-1＝-3 ， 2x＝4 ， 2x＝-2 ， x＝2 ， x＝-1. 5. （ 1 ） x 1 ＝4 ， x 2 ＝-4 （ 2 ） x 1 ＝4 ， x 2 ＝-2 （ 3 ） x 1 ＝7 ， x 2 ＝-3 （ 4 ） x 1 ＝9 ， x 2 ＝-11 6. 6 7. 解 ： （ 1 ） 5 ， 3 ， 2 ， -12. （ 2 ） 原方程可变形 ， 得 ［（ x+2 ） -4 ］［（ x+2 ） +4 ］ ＝4 ， （ x+2 ） 2 -4 2 ＝4 ， （ x+2 ） 2 ＝4+4 2 ， x＝-2±2 5 姨 ， x 1 ＝-2+2 5 姨 ， x 2 ＝-2-2 5 姨 . 8. x 1 =2 ， x 2 =-2 9. 5 （ 答案不唯一 ， 只要 c≥0 即可 ） 21.2.1 配方法 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. 1 1 9 3 2. C 【 例 】 解 ： 移项 ， 得 3x 2 +6x＝-2. 二次项系数 化为 1 ， 得 x 2 +2x=- 2 3 . 配方 ， 得 x 2 +2x+1=- 2 3 + 1 ， （ x+1 ） 2 = 1 3 . 开平方 ， 得 x+1＝± 3 姨 3 ， x 1 = 3 姨 3 -1 ， x 2 =- 3 姨 3 -1. 1. （ 1 ） 4 2 （ 2 ） 36 6 （ 3 ） 9 16 3 4 53