21.1 一元二次方程-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

一元二次方程 第二十一章 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 一元二次方程的概念 ◎ 等号两边都是 ，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程. 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） A. x 2 -1＝0 B. y 2 +x＝1 C. 2x+1＝0 D. x+ 1 x =1 2. 关于 x 的方程 （ k+2 ） x 2 -6x+9＝0 是一元二次方程， 则 k 的取值范围是 . 【知识点 2 】 一元二次方程的一般形式 ◎ 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成 的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项， 是二次 项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项. 1. 关于 x 的一元二次方程 x 2 ＝5x-1 的二次项系数、 一次项系数、 常数项分别是 （ ） A. 1 ， -5 ， -1 B. -1 ， -5 ， -1 C. 1 ， -5 ， 1 D. 1 ， 5 ， 1 21.1 一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 实际问题 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 实际问题的答案 方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 的根 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a （ b 2 -4ac≥0 ） 设未知数， 列方程 检 验 降 次 配方法 公式法 因式分解法 解 方 程 1 九年级上册 （人教版）数学 2. 将方程 x （ 3+x ） ＝-2 化成一元二次方程的一般形式为 . 【知识点 3 】 一元二次方程的解 ◎ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方 程的解也叫做一元二次方程的根. 1. 关于 x 的方程 x 2 +mx-3＝0 的一根是 1 ， 则 m 的值是 （ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 2. 若 m 是方程 x 2 -2x-1＝0 的一个根， 则代数式 2m 2 -4m+1＝ . 【知识点 4 】 从实际问题中抽象一元二次方程 ◎ 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛21 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，可列方程为 . ◎ 如图21.1所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程 的一般形式为 . 例题点拨 素养导向 【例 1 】 将一元二次方程 5x 2 -1＝4x 化成一般形式， 并写出二次项系数、 一次项系数和常 数项 . 【点拨】 一元二次方程的一般形式是： ax 2 +bx+c＝0 （ a ， b ， c 是常数且 a≠0 ）， 特别要注 意 a≠0 的条件 . 这是在做题过程中容易忽视的知识点 . 在一般形式中 ax 2 叫二次项， bx 叫一 次项， c 是常数项 . 其中 a ， b ， c 分别叫二次项系数、 一次项系数、 常数项 . 【例 2 】 已知 m 为方程 x 2 +3x-2 024＝0 的根， 那么 m 3 +2m 2 -2 027m 的值为多少？ 【点拨】 本题考查了一元二次方程的解及整体代入思想； 将 m 代入可得 m 2 +3m＝2 024 ， 观察所求代数式 m 3 +2m 2 -2 027m ， 通过添项及提公因式可得 m （ m 2 +3m ） - （ m 2 +3m ） -2 024m ， 将 m 2 +3m＝2 024 整体代入代数式即可求值 . x x+1 x x+1 图 21.1 2 一元二次方程 第二十一章 夯实四基 达标闯关 1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ） A. x+ 1 x =1 B. x 2 +3＝ （ x-1 ） 2 C. x 2 ＝y D. x 2 -1＝0 2. 方程 3x 2 ＝5 的二次项系数是 ， 一次项系数是 ， 常数项是 . 3. 已知方程 x 2 +mx+2＝1 的一个根是 1 ， 则 m 的值为 . 4. 如图， 矩形空地的长为 12 m ， 宽为 9 m ， 将此空地的长、 宽各增 加相同的长度后， 空地面积增加了 72 m 2 ， 设空地的长、 宽增加的长度为 x m ， 可列方程为 . 5. 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0 （ a≠0 ） . （ 1 ） 如果方程有一个根是 1 ， 那么 a ， b ， c 之间有什么关系？ （ 2 ） 如果方程有一个根是 -1 ， 那么 a ， b ， c 之间有什么关系？ （ 3 ） 如果方程有一个根是 0 ， 那么方程的系数或常数项有什么特征？ 6. 根据下列问题列出方程， 并将所列方程化成一元二次方程的一般形式 . （ 1 ） 如果一个直角三角形的两条直角边长之和为 14 cm ， 面积为 24 cm 2 ， 求它的两条直 角边的长 . （ 2 ） 古算趣题： “笨伯执竿要进屋， 无奈门框拦住竹， 横多四尺竖多二， 没法急得放声 哭 . 有个邻居聪明者， 教他斜竿对两角， 笨伯依言试一试， 不多不少刚抵足 . 借问竿长多少数， 谁人算出我佩服 . ” 其大意是： 笨伯拿竹竿进屋 （屋门为矩形门框）， 横拿竖拿都进不去， 横 着比门宽 4 尺， 竖着比门高 2 尺 . 他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿， 笨伯一试， 刚好 进去 . 问： 竹竿有多少尺？ 9 m 12 m 第 4 题图 3 九年级上册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 7. 定义： 如果关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0 （ a≠0 ） 满足 b＝a+c ， 那么我们称这个 方程为 “完美方程” . （ 1 ） 下面方程是 “完美方程” 的是 . （填序号） ①x 2 +3x-4＝0 ； ②2x 2 -x-3＝0 ； ③3x 2 +x-2＝0. （ 2 ） 已知 - 1 2 x 2 + （ m+1 ） x+n＝0 是关于 x 的 “完美方程”， ① 求 m 与 n 的关系； ② 若 n 是此 “完美方程” 的一个根， 则下列哪些数是 n 的值： -3 ， -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3. 中考链接 真题演练 8. （ 2021 ·黑龙江） 关于 x 的一元二次方程 （ m-3 ） x 2 +m 2 x＝9x+5 化为一般形式后不含一次 项， 则 m 的值为 （ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 9. （ 2022 ·连云港） 若关于 x 的一元二次方程 mx 2 +nx-1＝0 （ m≠0 ） 的一个根是 x＝1 ， 则 m+n 的值是 . 10. （ 2023 ·枣庄） 若 x=3 是关于 x 的方程 ax 2 -bx=6 的解， 则 2 023-6a+2b 的值为 . 4 参 考 答 案 参 考 答 案 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 【 知识点 1 】 整式 未知数 （ 一元 ） 2 （ 二 次 ） 1. A 2. k≠-2 【 知识点 2 】 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） ax 2 a bx b c 1. C 2. x 2 +3x+2=0 【 知识点 3 】 1. D 2. 3 【 知识点 4 】 1 2 x （ x-1 ） =21 x 2 +2x-24=0 【 例 1 】 解 ： 5x 2 -1＝4x 化成一元二次方程一般 形式 ： 5x 2 -4x-1＝0 ， 它的二次项系数是 5 ， 一次 项系数是 -4 ， 常数项是 -1. 5x 2 -1＝4x 也可化成一 元二次方程一般形式 ： -5x 2 +4x+1＝0 ， 它的二次项 系数是 -5 ， 一次项系数是 4 ， 常数项是 1. 【 例 2 】 解 ： ∵m 为方程 x 2 +3x-2 024＝0 的根 ， ∴m 2 +3m-2 024＝0 ， ∴m 2 +3m＝2 024 ， ∴ 原式 ＝m 3 + 3m 2 -m 2 -3m-2 024m＝m （ m 2 +3m ） - （ m 2 +3m ） -2 024m＝ 2 024m-2 024-2 024m＝-2 024. 1. D 2. 3 0 -5 3. -2 4. （ 12+x ）（ 9+x ） ＝12×9+72 5. 解 ： （ 1 ） 将 x＝1 代入原方程得 ， a×1+b×1+c＝0 ， 即 a+b+c＝0. （ 2 ） 将 x＝-1 代入原方程得 ， a× （ -1 ） 2 +b× （ -1 ） +c＝ 0 ， 即 a-b+c＝0. （ 3 ） 将 x＝0 代入原方程得 ， a×0+b×0+c＝0 ， ∴c＝0. 6. 解 ： （ 1 ） 设这个三角形其中一条直角边长为 x cm ， 另一条直角边为 （ 14-x ） cm ， 由题意得 1 2 x （ 14- x ） ＝24 ， 化简可得 x 2 -14x+48＝0. （ 2 ） 设竿长为 x 尺 ， 由题意得 ， （ x-2 ） 2 + （ x-4 ） 2 ＝x 2 . 化简可得 x 2 -12x+20=0. 7. 解 ： （ 1 ） ②③ （ 2 ） ①∵- 1 2 x 2 + （ m+1 ） x+n＝0 是关于 x 的 “ 完美方 程 ”， ∴m+1＝- 1 2 +n ， ∴m=- 3 2 +n. ②∵n 是此 “ 完美方 程 ” 的一个根 ， ∴- 1 2 n 2 + - 3 2 +n+ + # 1 · n+n＝0 ， n 2 +n=0 ， 把 0 ， -1 代入此方程成立 ， 所以 n 的值为 0 或 -1. 8. D 9. 1 10. 2 019 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 （ 1 ） ＞ （ 2 ） 相等 x 1 =x 2 =0 1. x 1 = 2 姨 ， x 2 =- 2 姨 2. x 1 = 5 2 ， x 2 =- 5 2 【 知识点 2 】 1. D 2. x 1 = 3 姨 -1 ， x 2 =- 3 姨 -1 【 例 】 解 ： 方程变形为 （ x-1 ） 2 ＝9 ， 两边开平 方 ， 得 x-1＝±3 ， 即 x-1＝3 ， x-1＝-3 ， ∴ 原方程的 解为 x 1 ＝4 ， x 2 ＝-2. 1. x 1 = 1 2 ， x 2 =- 1 2 2. A 3. C 4. （ 1 ） 一 求 9 的平方根出错 （ 2 ） （ 2x-1 ） 2 ＝9 ， 2x-1＝3 ， 2x-1＝-3 ， 2x＝4 ， 2x＝-2 ， x＝2 ， x＝-1. 5. （ 1 ） x 1 ＝4 ， x 2 ＝-4 （ 2 ） x 1 ＝4 ， x 2 ＝-2 （ 3 ） x 1 ＝7 ， x 2 ＝-3 （ 4 ） x 1 ＝9 ， x 2 ＝-11 6. 6 7. 解 ： （ 1 ） 5 ， 3 ， 2 ， -12. （ 2 ） 原方程可变形 ， 得 ［（ x+2 ） -4 ］［（ x+2 ） +4 ］ ＝4 ， （ x+2 ） 2 -4 2 ＝4 ， （ x+2 ） 2 ＝4+4 2 ， x＝-2±2 5 姨 ， x 1 ＝-2+2 5 姨 ， x 2 ＝-2-2 5 姨 . 8. x 1 =2 ， x 2 =-2 9. 5 （ 答案不唯一 ， 只要 c≥0 即可 ） 21.2.1 配方法 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. 1 1 9 3 2. C 【 例 】 解 ： 移项 ， 得 3x 2 +6x＝-2. 二次项系数 化为 1 ， 得 x 2 +2x=- 2 3 . 配方 ， 得 x 2 +2x+1=- 2 3 + 1 ， （ x+1 ） 2 = 1 3 . 开平方 ， 得 x+1＝± 3 姨 3 ， x 1 = 3 姨 3 -1 ， x 2 =- 3 姨 3 -1. 1. （ 1 ） 4 2 （ 2 ） 36 6 （ 3 ） 9 16 3 4 53