第12章 全等三角形章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

第十二章章末测试卷 第十二章章末测试卷 （本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间共 120 分钟） 一、 选择题 （本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的） 1. 如图， △ABC≌△BAD ， A 和 B ， C 和 D 分别是对应顶点， 若 AB＝6 cm ， AC＝4 cm ， BC＝5 cm ， 则 AD 的长为 （ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 以上都不对 2. 在 △ABC 中， ∠B＝∠C ， 与 △ABC 全等的三角形有一个角是 120° ， 那么在 △ABC 中与这个 120° 的角对应相等的角是 （ ） A. ∠A B. ∠B C. ∠C D. ∠B 或 ∠C 3. 根据下列已知条件， 能唯一画出 △ABC 的是 （ ） A. AB＝3 ， BC＝4 ， AC＝8 B. ∠A＝60° ， ∠B＝45° ， AB＝4 C. AB＝3 ， BC＝2 ， ∠A＝30° D. ∠C＝90° ， AB＝6 4. 如图是小明制作的风筝， 他根据 DE＝DF ， EH＝FH ， 不用度量， 就知 道 ∠DEH＝∠DFH ， 小明是通过全等三角形的判定方法得到的结论， 则小明 用的判定方法是 （ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 5. 如图中全等的三角形是 （ ） A. ① 和 ② B. ① 和 ③ C. ② 和 ③ D. ② 和 ④ 6. 如图， AE∥DF ， AE＝DF ， 要使 △EAC≌△FDB ， 需要添加下列 选项中的 （ ） A. ∠A＝∠D B. EC＝BF C. AB＝CD D. AB＝BC C B D A 第 1 题图 F D E H 第 4 题图 30° 9 cm 8 cm ① ② 30° 8 cm 5 cm 30° 8 cm ③ 9 cm ④ 30° 8 cm 5 cm 第 5 题图 E A B C D F 第 6 题图 第一部分 选择题 （共 30 分） 7 八年级上册 （人教版）数学 7. 如图， 在 △ABC 中， D 是 BC 的中点， DE⊥AB 于点 E ， DF⊥AC 于点 F ， BE＝CF ， 则图中全等三角形共有 （ ） A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对 8. 如图， AD 是 △ABC 中 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB ， 交 AB 于点 E ， DF⊥AC ， 交 AC 于点 F ， 若 S △ABC ＝7 ， DE＝2 ， AB＝4 ， 则 AC 的长是 （ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 9. 如图， △ABC 的周长是 16 ， MB 和 MC 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ， 过点 M 作 BC 的 垂线交 BC 于点 D ， MD＝4 ， 则 △ABC 的面积是 （ ） A. 64 B. 48 C. 32 D. 42 10. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠B＝45° ， AB＝AC ， 点 D 为 BC 的中点， 直角 ∠MDN 绕点 D 旋转， DM ， DN 分别与边 AB ， AC 交于 E ， F 两点， 下列结论： ①△DEF 是等腰直角三 角形； ②AE＝CF ； ③△BDE≌△ADF ； ④BE+CF＝EF. 其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题 （共 90 分） 二、 填空题 （本题共 5 小题， 每小题 3 分， 共 15 分） 11. 如图， △ABE≌△ACD ， ∠B＝50° ， ∠AEB＝60° ， 则 ∠DAC＝ . 12. 如图， 零件的外径为 20 cm ， 设计一个类似钳子的工具 （ OA＝OC ， OB＝OD ）， 量 得 CD 的长为 16 cm ， 则此零件的厚度 x＝ cm. 13. 如图， 以 △ABC 的顶点 A 为圆心， 以 BC 长为半径作弧， 再以顶点 C 为圆心， 以 AB 长为半径作弧， 两弧交于点 D ， 连接 AD ， CD ， 若 ∠B＝56° ， 则 ∠ADC 的大小为 . A E F C B D E A M N F C D B 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 x A B 20 D C O A B D E C A D C B 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 A F C E D B M C D B A 8 14. 如图， 长方形 ABCD 的边长 AB＝20 cm ， BC＝16 cm ， 点 E 在边 AB 上， AE＝6 cm ， 如果点 P 从点 B 出发在线段 BC 上以 2 cm/s 的速度向点 C 运动， 同时， 点 Q 在线段 CD 上从点 C 向点 D 运动， 则当 △BPE 与 △CQP 全等时， 时间 t 为 s. 15. 如图， 在四边形 ABCD 中， ∠A＝90° ， AD＝6 ， 连接 BD ， BD⊥CD ， ∠ADB＝∠C ， 点 P 是 BC 边上一动点， 则 DP 长的最小值为 . 三、 解答题 （本题共 8 小题， 共 75 分 . 解答应写出文字说明、 演算步骤或推理过程） 16. （本小题 10 分） 如图， 已知 CD⊥AB 于点 D ， BE⊥AC 于点 E ， CD 交 BE 于点 O ， 若点 O 在 ∠BAC 的平分线上 . 求证： OC＝OB. 17. （本小题 8 分） 如图， AC⊥AB ， AC⊥CD ， BC＝DA ， 那么 AD∥BC 吗？ 为什么？ 第十二章章末测试卷 A Q D B C E P D A C P B 第 14 题图 第 15 题图 C O E A D B 第 16 题图 第 17 题图 A B C D 9 八年级上册 （人教版）数学 18. （本小题 9 分） 如图， 利用尺规， 在 △ABC 的边 AC 上方作 ∠CAE＝∠ACB ， 在射 线 AE 上截取 AD＝BC ， 连接 CD ， 并证明 ∠EDC＝∠DCB. （尺规作图要求保留作图痕迹， 不写作法） 19. （本小题 8 分） 已知 △ABN 和 △ACM 位置如图所示， ∠B＝∠C ， AD＝AE ， ∠1＝ ∠2. 求证： （ 1 ） BD＝CE ； （ 2 ） ∠M＝∠N. 20. （本小题 8 分） 如图， 在 △ABC 和 △DEF 中， ∠A＝∠D ， 点 B ， F ， C ， E 在同一 直线上， 有如下三个关系式： ①AB∥DE ； ②BF＝EC ； ③AC＝DF. （ 1 ） 请用其中两个关系式作为条件， 另一个作为结论， 写出你认为正确的所有命题 （用序号写出命题书写形式： “如果…， 那么…”）； （ 2 ） 选择 （ 1 ） 中你写出的一个命题， 说明它正确的理由 . A C B 第 18 题图 D 1 2 A C E O N M B 第 19 题图 E A B C D F 第 20 题图 10 21. （本小题 8 分） 八年级 （ 1 ） 班同学上数学活动课， 利用角尺平分一个角 （如图所 示）， 设计了如下方案： 方案一： ∠AOB 是一个任意角， 将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA ， OB 之间， 移动 角尺， 使角尺两边相同的刻度与 M ， N 重合， 即 PM＝PN ， 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是 ∠AOB 的平分线 . 方案二： ∠AOB 是一个任意角， 在边 OA ， OB 上分别取 OM＝ON ， 将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA ， OB 之间， 移动角尺， 使角尺两边相同的刻度与 M ， N 重合， 即 PM＝PN ， 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是 ∠AOB 的平分线 . （ 1 ） 方案一、 方案二是否可行？ 若可行， 请证明； 若不可行， 请说明理由 . （ 2 ） 在方案一 PM＝PN 的情况下， 继续移动角尺， 同时使 PM⊥OA ， PN⊥OB ， 此方案 是否可行？ 请说明理由 . 22. （本小题 12 分） 如图， 某校学生为了测量点 B 到河对岸的目标 A 之间的距离， 他 们在点 B 同侧选择了一点 C ， 测得 ∠ABC＝70° ， ∠ACB＝40° ， 然后在 M 处立了标杆， 使 ∠MBC＝70°. （ 1 ） 他们还应该怎样做才能测出 A ， B 间的距离？ （ 2 ） 画出完整的图形， 并说明理由 . 第十二章章末测试卷 O P M N B A 第 21 题图 A C M B 第 22 题图 11 八年级上册 （人教版）数学 23. （本小题 12 分） 【观察发现】 （ 1 ） 如图 1 ， 在 △ABC 中， AB＝7 ， AC＝5 ， 点 D 为 BC 的中点， 求 AD 的取值范围 . 小明的解法如下： 延长 AD 到点 E ， 使 DE＝AD ， 连接 CE. 在 △ABD 与 △ECD 中， BD=DC ， ∠ADB=∠EDC ， AD=DE E % % % % % $ % % % % % & ， ∴△ABD≌△ECD （ SAS ） . ∴AB＝ . 又 ∵ 在 △AEC 中， EC-AC＜AE＜EC+AC ， 而 AB＝EC＝7 ， AC＝5 ， ∴ ＜AE＜ . 又 ∵AE＝2AD ， ∴ ＜AD＜ . 【探索应用】 （ 2 ） 如图 2 ， AB∥CD ， AB＝25 ， CD＝8 ， 点 E 为 BC 的中点， ∠DFE＝∠BAE ， 求 DF 的长 . 【应用拓展】 （ 3 ） 如图 3 ， ∠BAC＝60° ， ∠CDE＝120° ， AB＝AC ， DC＝DE ， 连接 BE ， P 为 BE 的中点 . 求证： AP⊥DP. A C D E B C D E P B A B E C F A D 图 1 图 2 图 3 第 23 题图 12 参 考 答 案 多边形内角和是 180 的倍数 ， 而 2 020 不是 180 的倍 数 ， 故不可能是多边形内角和 . （ 2 ） 由多边形内角和 180° （ n-2 ） 可知 ， 2 020÷ 180＝11 …… 40 ， ∴n-2＝11 ， ∴n＝13 ， 故多边形是十三 边形 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 计算可知余数为 40° ， ∴ 多加的外角 为 40°. 20. 解 ： ∵∠B＝42° ， ∠C＝58° ， ∴∠BAC＝180°-42°- 58°＝80° . ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝∠DAC＝40° ， ∴ ∠ADC＝180°-∠DAC-∠C＝180°-40°-58°＝82° . ∵DE⊥ AC ， ∴∠AED＝90° ， ∴∠ADE＝90°-∠DAC＝50°. 21. 解 ： （ 1 ） ∵ 第二条边长为 （ 3n-2 ） m ， ∴ 第三 条边长为 50-n- （ 3n-2 ） ＝ （ 52-4n ） m. （ 2 ） 当 n＝10 时 ， 三边长分别为 10 ， 28 ， 12 ， 由 于 10+12＜28 ， ∴ 不能构成三角形 ， 即第一条边长不能 为 10 m. （ 3 ） 由题意 ， 可得 n+ （ 3n-2 ） >52-4n ， n+ （ 52-4n ） >3n-2 ， （ 3n-2 ） + （ 52-4n ） >n n % % % % $ % % % % & ， 解得 27 4 ＜ n＜9 ， 则 n 的取值范围是 27 4 ＜n＜9. 22. 解 ： （ 1 ） 如图 1 ， ∵ ∠1＝∠C+∠DEC ， ∠2＝∠C+ ∠CDE ， ∴ ∠1 + ∠2 ＝ ∠C + ∠DEC+∠CDE+∠C ， ∴∠1+ ∠2＝90°+180°＝270°. 故答案为 270°. （ 2 ） 如 图 2 ， ∵∠1 ＝∠A +∠MNA ， ∠2 ＝∠A + ∠AMN ， ∴∠1+∠2＝∠A+∠MNA+∠AMN+∠A ， ∴∠1+ ∠2＝40°+180°＝220°. （ 3 ） 如图 2 ， ∠1+∠2 与 ∠A 的关系是 ∠1+∠2＝ 180° +∠A. 理 由 ： ∵∠1 ＝∠A +∠MNA ， ∠2 ＝∠A + ∠AMN ， ∴∠1+∠2＝∠A+∠MNA+∠AMN+∠A ， ∴∠1+ ∠2＝180°+∠A ， 故答案为 ∠1+∠2＝180°+∠A. （ 4 ） 如图 3 ， ∠1+∠2 与 ∠A 的关系是 ∠1+∠2＝ 2∠BAC. 理由 ： 连接 AA′ ， ∵∠1＝∠PAA′+∠PA′A ， ∠2＝ ∠QAA′ +∠QA′ A ， ∴∠1 + ∠2 ＝ ∠PAA′ + ∠PA′ A + ∠QAA′+∠QA′A ， ∴∠1+∠2＝∠BAC+∠PA′Q＝2∠BAC. 23. 解 ： （ 1 ） ①∵∠ABC＝40° ， ∠C＝60° ， ∴ 在 △ABC 中 ， ∠A＝180°-∠ABC-∠C＝180°-40°-60°＝80°. ∵EF∥BC ， ∴∠FED＝∠CBD ， ∠DFE＝∠C＝60°. ∵BD 平 分 ∠ABC ， FG 平分 ∠AFE ， ∴∠EBC= 1 2 ∠ABC=20° ， ∠GFE= 1 2 ∠AFE=30° ， ∴∠FED＝∠EBC＝20° ， ∠FGD＝ ∠GFE+∠FED＝30°+20°＝50°. ②∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠CBD= 1 2 ∠ABC. ∵EF∥ BC ， ∴∠FED=∠CBD= 1 2 ∠ABC ， ∠AFE＝∠ACB. ∵FG 平分 ∠AFE ， ∴∠EFG= 1 2 ∠AFE= 1 2 ∠ACB ， ∴∠FGD= ∠EFG+∠FED= 1 2 ∠ACB+ 1 2 ∠ABC= 1 2 （ 180°-∠A ） = 90°- 1 2 ∠A. （ 2 ） ∠FGD= 1 2 ∠A. 理 由如下 ： 如图 ， 点 E 在线段 BD 的延长线上 . ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠CBD= 1 2 ∠ABC. ∵EF∥BC ， ∴∠FED=∠CBD= 1 2 ∠ABC ， ∠EFC＝∠ACB ， ∴∠AFE＝180°-∠EFC＝180°-∠ACB. ∵FH 平分 ∠AFE ， ∠EFH= 1 2 ∠AFE=90°- 1 2 ∠ACB ， ∴∠FGD=∠EFH- ∠FED=90°- 1 2 ∠ACB- 1 2 ∠ABC=90°- 1 2 （ 180°-∠A ） = 1 2 ∠A. 第十二章章末测试卷 一 、 选择题 1. B 2. A 3. B 4. D 5. B 6. C 7. B 8. B 9. C 10. C 二 、 填空题 11. 70° 12. 2 13. 56° 14. 1 或 4 15. 6 三 、 解答题 16. 证明 ： ∵AO 平分 ∠BAC ， CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴OD ＝OE. 在 △DOB 和 △EOC 中 ， ∠DOB=∠EOC ， OD=OE ， ∠ODB=∠OEC=90° n % % % % ° % % % % & ， ∴ △DOB ≌ △EOC （ ASA ） . ∴OC＝OB. 图 1 2 C A B 1 D E A 2 1 B C A 2 1 B C 图 2 图 3 第 22 题答图 M N P Q A′ 第 23 题答图 B C A D E H G 第 16 题答图 C O E A D B F 65 八年级上册 （ 人教版 ）数学 17. 解 ： AD∥BC. 理由如下 ： ∵AC⊥AB ， AC⊥CD ， ∴∠BAC＝∠DCA＝90° . 在 Rt△BAC 和 Rt△DCA 中 ， BC=DA ， AC=CA A ， ∴Rt△BAC≌ Rt△DCA （ HL ）， ∴∠BCA＝∠DAC ， ∴AD∥BC. 18. 解 ： 如图所示 . ∵∠CAE ＝∠ACB ， ∴AE∥BC ， ∴∠EDC ＝∠DCB. 19. 证明 ： （ 1 ） 在 △ABD 和 △ACE 中 ， ∠B =∠ C ， ∠ 1 =∠ 2 ， AD=AE E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△ABD≌△ACE （ AAS ）， ∴BD＝CE. （ 2 ） ∵∠1＝∠2 ， ∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE ， 即 ∠BAN＝∠CAM. 在 △ACM 和 △ABN 中 ， ∠C=∠B ， AC=AB ， ∠CAM=∠BAN E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△ACM≌△ABN （ ASA ）， ∴∠M＝∠N. 20. 解 ： （ 1 ） 如果 ①② ， 那么 ③ ； 如果 ①③ ， 那 么 ②. （ 2 ） 若选择如果 ①② ， 那么 ③. 理由如下 ： ∵AB∥ DE ， ∴∠B＝∠E. ∵BF＝EC ， ∴BF+FC＝EC+FC ， 即 BC＝ EF. 在 △ABC 和 △DEF 中 ， ∠A=∠D ， ∠B=∠E ， BC=EF E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△ABC≌△DEF （ AAS ）， ∴AC＝DF. 若选择如果 ①③ ， 那么 ②. 理由如下 ： ∵AB∥DE ， ∴∠B＝∠E. 在 △ABC 和 △DEF 中 ， ∠A=∠D ， ∠B=∠E ， AC=DF E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△ABC≌ △DEF （ AAS ）， ∴BC＝EF ， ∴BC-FC＝EF-FC ， 即 BF＝ EC. 21. 解 ： （ 1 ） 方案一不可行 . 缺少证明三角形全 等 的 条 件 . ∵ 只 有 OP ＝OP ， PM ＝PN ， 不 能 判 断 △OPM≌△OPN ， ∴ 就不能判定 OP 就是 ∠AOB 的平 分线 . 方案二可行 . 理由如下 ： 在 △OPM 和 △OPN 中 ， OM=ON ， PM=PN ， OP=OP E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△OPM≌△OPN （ SSS ） . ∴∠AOP＝∠BOP （ 全等三角形对应角相等 ）， ∴OP 就是 ∠AOB 的平分线 . （ 2 ） 当 ∠AOB 是直角时 ， 此方案可行 . ∵ 四边形 内角和为 360° ， ∠OMP＝∠ONP＝90° ， ∠MPN＝90° ， ∴ ∠AOB＝90°. ∵PM＝PN ， ∴OP 为 ∠AOB 的平分线 . （ 到 角两边距离相等的点在这个角的平分线上 ） . 当 ∠AOB 不为直角时 ， 此方案不可行 . 因为 ∠AOB 必为 90° ， 如 果不是 90° ， 则不能找到同时使 PM⊥OA ， PN⊥OB 的 点 P 的位置 . 22. 解 ： （ 1 ） 在 M 处立了标杆 ， 使 ∠CBM＝70° ， ∠BCM＝40°. 只需要测量 BM ， 就能测得 A ， B 之间的 距离 . （ 2 ） 完整图形如答图所示 . 理 由如下 ： 在 △ABC 和 △MBC 中 ， ∠ABC=∠MBC ， BC=BC ， ∠ACB=∠MCB E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴ △ABC ≌ △MBC （ ASA ） . ∴AB＝BM （ 全等 三角形的对应边相等 ） . 23. （ 1 ） 解 ： 在 △ABD 与 △ECD 中 ， BD=DC ， ∠ADB=∠EDC ， AD=DE E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△ABD≌△ECD （ SAS ）， ∴AB＝EC. ∵ 在 △AEC 中 ， EC-AC＜AE＜EC+AC ， 而 AB＝EC＝7 ， AC＝5 ， ∴2＜AE＜ 12. 又 ∵AE＝2AD ， ∴1＜AD＜6. （ 2 ） 解 ： 如图 1 ， 延长 AE ， CD 交于 H ， ∵ 点 E 是 BC 的中点 ， ∴BE＝CE. ∵CD∥AB ， ∴∠ABE＝∠ECH ， ∠H＝∠BAE ， ∴△ABE≌△HCE （ AAS ） ， ∴AB＝CH＝ 25 ， ∴DH＝CH-CD＝17. 作 DQ⊥FH ， ∴∠DQF＝∠DQH. ∵∠DFE＝∠BAE ， DQ＝DQ ， ∴△DFQ≌△DHQ （ AAS ） . ∴∠H＝∠DFE. ∴DF＝DH＝17. （ 3 ） 证明 ： 如图 2 ， 延长 AP 到点 F ， 使 PF＝AP ， 连接 DF ， EF ， AD. 在 △BPA 与 △EPF 中 ， PF=AP ， ∠EPF=∠BPA ， PE=PB E ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△BPA≌△EPF （ SAS ） ， ∴AB＝FE ， ∠PBA＝∠PEF. ∵AC ＝BC ， ∴AC ＝FE. 在 四 边 形 BADE 中 ， ∠BAD + ∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360° ， ∵∠BAC＝60° ， ∠CDE＝ 120° ， ∴ ∠CAD + ∠ADC + ∠DEB + ∠EBA ＝180° . ∵ ∠CAD + ∠ADC + ∠ACD ＝180° ， ∴ ∠ACD ＝ ∠DEB + ∠EBA ， ∴∠ACD ＝ ∠FED. 在 △ACD 与 △FED 中 ， 第 18 题答图 A C B D E 第 22 题答图 A C M B 图 1 图 2 第 23 题答图 C D E P B A F B E C F A D Q H 66 参 考 答 案 AC=FE ， ∠ACD=∠FED ， CD=DE E $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， ∴△ACD≌△FED （ SAS ）， ∴AD＝FD. ∵AP＝FP ， DP=DP ， ∴△APD≌△FPD （ SSS ）， ∴∠APD＝ ∠FPD=180°÷2=90°. ∴AP⊥DP. 第十三章章末测试卷 一 、 选择题 1. D 2. A 3. D 4. D 5. A 6. C 7. D 8. C 9. B 10. B 二 、 填空题 11. 50° 或 65° 12. 9 cm 13. 4 14. 4 s 或 12 s 15. 150° 或 105° 或 60° 三 、 解答题 16. 解 ： ∵DE 是 AC 的中垂线 ， ∴AE=CE=2 ， AD=DC ， ∵△ABD 的周长是 10 cm. ∴AB+BD+AD=10 ， ∴AB+BD+DC=AB+BC=10 ， ∴△ABC 的周长是 AB+BC+AC=10+2+2=14. 17. 解 ： （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） 如图 ， △A′B′C′ 为所作 . （ 3 ） 点 B′ 的坐标为 （ 2 ， 1 ） . （ 4 ） 如图 ， 点 P 为所作 . 18. 解 ： ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴AB＝BC ， ∠ABM ＝∠BCN. 在 △BCN 和 △ABM 中 ， BC=AB ， ∠BCN=∠ABM ， CN=BM E $ $ $ $ M $ $ $ $ % ， ∴ △BCN≌△ABM （ SAS ）， ∴∠AMB＝∠BNC. ∵△ABC 是 等边三角形 ， ∴∠ACB＝60° ， ∴∠AMB+∠CAM＝∠ACB＝ 60° . ∵∠AMB ＝∠BNC ， ∠CAM ＝∠NAP ， ∴∠BNC + ∠NAP＝60° ， ∴∠BPM＝∠BNC+∠NAP＝60°. 19. （ 1 ） 证明 ： 连接 CD ， ∵AC＝BC ， 点 D 是 AB 的中点 ， ∴CD⊥AB ， ∠ACD=∠BCD= 1 2 ∠ACB ， ∴ ∠BCD+∠B＝90° . ∵DE⊥BC ， ∴∠B+∠BDE＝90° ， ∴ ∠BCD＝∠BDE ， ∴∠BDE= 1 2 ∠ACB. （ 2 ） 解 ： ∵∠ADE＝160° ， ∴ ∠BDE ＝20° . ∵DE ⊥BC ， EF⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠AFE ＝ 90°. 在 Rt△BDE 中 ， ∠DEB＝ 90° ， ∴B＝90°-∠BDE＝90°-20° ＝70° . ∵AC＝BC ， ∴∠B＝∠A＝ 70° ， ∴∠DEF＝360°-∠A-∠ADE-∠AFE＝360°-70°- 160°-90°＝40°. 20. 解 ： ∵a 2 -8a+16+|b-2|＝0 ， ∴ （ a-4 ） 2 +|b-2|＝0. ∵ （ a-4 ） 2 ≥0 ， |b-2|≥0 ， ∴a-4＝0 ， b-2＝0 ， ∴a＝4 ， b＝2. ∵ 等腰 △ABC 三边长分别是 a ， b ， c ， ∴ 有以下两种情况 ： ① 当 a＝4 为底边时 ， b ， c 为腰 ， 此时 b＝c＝2 ， ∵b+c＝4＝a ， ∴a ， b ， c 不能构成三角形 ， ∴ 此种情况不存在 . ② 当 b＝2 为底边时 ， a ， c 为腰 ， 此时 a＝c＝4 ， ∵b+c＝6＞a ， ∴a ， b ， c 能构成三角形 ， ∴△ABC 的周长为 a+b+c＝4+2+4＝10． 21. 解 ： （ 1 ） ∵M ， N 分别是点 O 关于 PA ， PB 的 对称点 ， ∴EM＝EO ， FN＝FO ， ∴△OEF 的周长 ＝OE+OF+ EF＝ME+EF+FN＝MN＝6 cm. （ 2 ） 连接 OP ， ∵M ， N 分别是点 O 关于 PA ， PB 的对称点 ， ∴∠MPA＝∠OPA ， ∠NPB＝∠OPB ， ∴∠MPN＝ 2∠APB＝2α. （ 3 ） ∵∠α＝30° ， ∴∠MPN＝60°. ∵M ， N 分别是点 O 关于 PA ， PB 的对称点 ， ∴PM＝PO ， PN＝PO ， ∴PM＝ PN ， ∴△PMN 是等边三角形 . 22. （ 1 ） 证明 ： ∵△ADE 是等边三角形 ， ∴AD＝ AE ， ∠DAE＝60°. ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴AB＝AC ， ∠BAC＝60° . ∴∠BAC＝∠DAE ， ∴∠BAD＝∠CAE ， 在 △BAD 和 △CAE 中 ， AB=AC ， ∠BAD=∠CAE ， AD=AE E $ $ $ $ M $ $ $ $ % ， ∴△BAD≌ 第 17 题答图 A C B x y A′ B′ C′ O D E F A F D B E C 第 19 题答图 M O A B F N P E 第 21 题答图 第 22 题答图 A D P E C B G P F 67