14.2.2 完全平方公式(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

整式的乘法与因式分解 第十四章 知识梳理 形成联系 【知识点】 添括号 ◎ 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 符号；如果括号前面 是负号，括到括号里的各项都 符号. 1. 对多项式 3a+4b-c 进行添括号， 正确的是 （ ） A. 3a+ （ 4b+c ） B. 3a- （ 4b+c ） C. 3a+4 （ b-c ） D. 3a- （ -4b+c ） 2. 已知 2a-3b 2 =5 ， 则 10-2a+3b 2 的值是 . 3. 在括号里填上适当的项： （ 1 ） a+2b-c=a+ （ ）； （ 2 ） a-b-c+d=a- （ ）； （ 3 ） （ a+b-c ）（ a-b+c ） = ［ a+ （ ）］［ a- （ ）］ . 例题点拨 素养导向 【例】 计算： （ 1 ） （ x+y-2 ）（ x-y+2 ）； （ 2 ） （ 2x-y-3 ） 2 . 【点拨】 （ 1 ） x 的符号相同作为平方差公式中的 “ a ”， 而 y 与 -y ， -2 与 2 符号相反， 则 需添括号一起作为平方差公式中的 “ b ”， 再利用平方差公式求解； （ 2 ） 观察形式符合完全 平方公式模型， 通常为了方便， 我们任意选择两项作为完全平方公式中的 “ a ”， 另一项则作 为完全平方公式中的 “ b ”， 先后进行两次完全平方公式的运算即可 . 夯实四基 达标闯关 1. 为应用平方差公式计算 （ a-b+c ）（ a+b-c ）， 必须先适当变形， 下列各变形中正确的是 （ ） A. ［（ a+c ） -b ］［（ a-c ） +b ］ B. ［（ a-b ） +c ］［（ a+b ） -c ］ C. ［（ b+c ） -a ］［（ b-c ） +a ］ D. ［ a- （ b-c ）］［ a+ （ b-c ）］ 2. 如果 4a 2 -N · ab+81b 2 是一个完全平方式， 则 N 等于 （ ） A. 18 B. ±18 C. ±36 D. ±64 3. 若 a+b=-3 ， 则（ a+b-1 ）（ 1-a-b ）的值为 . 14.2.2 完全平方公式 （第二课时） 101 八年级上册 （人教版）数学 4. 计算： （ 1 ） （ x-m＋2n ） 2 ； （ 2 ） （ m+2n-1 ）（ -m+2n+1 ）； （ 3 ） （ 2x+3y ） 2 - （ 2x+y ）（ 2x-y ） ； （ 4 ） ［（ x+2 ）（ x-2 ）］ 2 . 5. 阅读下列材料并解答下面的问题： 利用完全平方公式 （ a±b ） 2 =a 2 ±2ab+b 2 ， 通过配方可 对 a 2 +b 2 进行适当的变形， 如 a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab 或 a 2 +b 2 = （ a-b ） 2 +2ab. （ 1 ） 若 ｜x-y-5｜+ （ xy-6 ） 2 =0 ， 则 x 2 +y 2 的值为 ； （ 2 ） 已知 a-b=2 ， ab=3 ， 求 a 4 +b 4 的值 . 能力提升 综合拓展 6. 如图， 两个正方形的边长分别为 a ， b ， 若 a+b=17 ， ab=60 ， 求阴影部分的面积 . 7. 用 “ = ” 或 “ ≠ ” 填空： （ 1 ） 比较 2x 与 x 2 +1 的大小： ① 当 x=2 时， 2x x 2 +1 ； ② 当 x=1 时， 2x x 2 +1 ； ③ 当 x=-1 时， 2x x 2 +1. （ 2 ） 通过上面的填空， 猜想 2x 与 x 2 +1 的大小关系为 ； （ 3 ） 无论 x 取什么值， 2x 与 x 2 +1 总有这样的大小关系吗？ 试说明理由 . A G D F E b a CB 第 6 题图 102 八年级上册 （ 人教版 ）数学 1. D 2. （ 1 ） 25x 2 -4y 2 （ 2 ） -64a 2 +49b 2 3. （ 1 ） x-2 （ 2 ） -x+2y 4. （ 1 ） 9a 2 -4b 2 （ 2 ） -9a 2 + 1 4 b 2 5. 化简 ， 原式 =1-2x ， 代入 x=1 012 ， 原式 =-2 023. 6. D 7. C 14.2.2 完全平方公式 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 平方 平方和 积的 2 倍 a 2 ± 2ab+b 2 1. D 2. D 3. ③④ 4. （ 1 ） 9x 2 -12xy+ 4y 2 （ 2 ） 4m 2 +4m+1 （ 3 ） 4x 2 -2x+ 1 4 （ 4 ） 16x 4 + 8x 2 +1 【 知识点 2 】 （ 1 ） 39 601 （ 2 ） 2 525 1 16 【 例 】 解 ： （ 1 ） 阴影部分是边长为 a-b 的正 方形 ， 故答案为 a-b. （ 2 ） 题图 2 整体是边长为 a+b 的正方形 ， 因 此面积为 （ a+b ） 2 ， 题图 2 各个部分的面积和为 （ a-b ） 2 +4ab ， ∴ 有 （ a+b ） 2 = （ a-b ） 2 +4ab. （ 3 ） ∵m+n=8 ， mn=12 ， ∴ （ m-n ） 2 = （ m+n ） 2 -4mn=64-48=16 ， ∴m-n=±4. 1. C 2. C 3. ② 4. （ 1 ） 9a 2 -6ab +b 2 （ 2 ） 9m 2 +24mn +16n 2 （ 3 ） 9 16 x 2 +xy+ 4 9 y 2 （ 4 ） -2x-5 5. ab= 3 4 ， a 2 +b 2 = 11 2 . 6. 解 ： （ 1 ） 3 2 -4×1 2 =5 ① ； 5 2 -4×2 2 =9 ② ； 7 2 -4× 3 2 =13 ③ … ∴ 第四个等式 ： 9 2 -4×4 2 =17. 故答案为 4 ， 17. （ 2 ） 第 n 个等式为 ： （ 2n+1 ） 2 -4n 2 =4n+1 ， 左边 = （ 2n+1 ） 2 -4n 2 =4n 2 +4n+1-4n 2 =4n+1 ， 右边 =4n+1 ， 左边 = 右边 ， ∴ （ 2n+1 ） 2 -4n 2 =4n+1. 7. 解 ： （ 1 ） 方法 1 ： 两个正方形的面积和 ， 即 a 2 +b 2 . 方法 2 ： 大正方形的面积减去两个长方形的面积 ， 即 （ a+b ） 2 -2ab ， 故答案为 a 2 +b 2 ， （ a+b ） 2 -2ab. （ 2 ） 根据方法 1 与方法 2 所表示的面积相等得 ， a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab. （ 3 ） ∴ 1 2 xy=3 ， ∴xy=6. 又 ∵ （ x+y ） 2 =25 ， ∴x 2 +y 2 = （ x+y ） 2 -2xy=25-12=13. 8. ±2 14.2.2 完全平方公式 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 不变 改变 1. D 2. 5 3. （ 1 ） 2b-c （ 2 ） b+c-d （ 3 ） b-c b-c 【 例 】 解 ： （ 1 ） 原式 = ［ x+ （ y-2 ）］·［ x- （ y-2 ）］ =x 2 - （ y-2 ） 2 =x 2 -y 2 +4y-4. （ 2 ） 原式 = ［（ 2x-y ） -3 ］ 2 = （ 2x-y ） 2 -6 （ 2x-y ） +9= 4x 2 -4xy+y 2 -12x+6y+9. 1. D 2. C 3. -16 4. （ 1 ） x 2 -2mx+m 2 +4n 2 -4nx-4mn （ 2 ） 4n 2 -m 2 + 2m-1 （ 3 ） 10y 2 +12xy （ 4 ） x 4 -8x 2 +16 5. 解 ： （ 1 ） ∵|x-y-5|+ （ xy-6 ） 2 =0 ， ∴x-y-5=0 ， （ xy- 6 ） 2 =0 ， ∴x-y=5 ， xy=6 ， ∴x 2 +y 2 = （ x-y ） 2 +2xy=25+12=37. （ 2 ） ∵a-b=2 ， ab=3 ， ∴a 2 +b 2 = （ a-b ） 2 +2ab=4+6=10 ， ∴a 4 +b 4 = （ a 2 +b 2 ） 2 -2a 2 b 2 = （ a 2 +b 2 ） 2 -2 （ ab ） 2 =10 2 -2×3 2 =82. 6. 解 ： 阴影部分的面积为 1 2 a 2 +b 2 - 1 2 b （ a+b ） = 1 2 a 2 + 1 2 b 2 - 1 2 ab ， ∵a+b=17 ， ab=60 ， ∴a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab= 17 2 -120=169 ， 原式 = 1 2 （ a 2 +b 2 ） - 1 2 ab= 1 2 ×169- 1 2 ×60= 109 2 . 7. 解 ： （ 1 ） ①< ②= ③< （ 2 ） ２x≤x 2 +1 （ 3 ） 无论 x 取什么值 ， 总有 2x≤x 2 +1. 证明 ： ∵x 2 +1-2x= （ x-1 ） 2 ≥0 ， ∴2x≤x 2 +1. 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 【 知识点 1 】 多项式 整式 积 因式分解 分解因式 1. （ 1 ） 整式乘法 （ 2 ） 因式分解 2. D 【 知识点 2 】 各项 公共因式 公因式 提公 因式法 1. C 2. C 3. A 4. B 5. （ 1 ） a （ 2 ） mn （ 3 ） 2xy （ 4 ） 7 （ x-y ） 2 6. （ 1 ） 2mn （ 4m+1 ） （ 2 ） 6ab 2 （ 3b 2 -2a-a 2 ） （ 3 ） （ b+ c ）（ 2a-3 ） （ 4 ） （ a-2 ）（ 2x-3y ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） 原式 =6a （ m-n ） +3b （ m-n ） = 3 （ m-n ）（ 2a+b ） . （ 2 ） 原式 =2m （ x-2 ） -n （ x-2 ） = （ x-2 ）（ 2m-n ） . 1. D 2. （ 1 ） 3 （ 2 ） a 2 （ 3 ） m-n （ 4 ） -2xy 3. 70 4. （ 1 ） （ x-y ） 2 （ 2 ） 4 （ x+y ）（ x+2y ） （ 3 ） （ x-y ） 2 · （ x-y-3 ） 5. （ 1 ） 259 （ 2 ） 810 6. 解 ： ∵7a-8b=5 ， ∴ 原式 = （ 3a-4b ）（ 7a-8b ） + （ 11a- 12b ）（ 7a-8b ） = （ 7a-8b ）（ 3a-4b+11a-12b ） = （ 7a-8b ）（ 14a- 58