14.2.2 完全平方公式(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （ 人教版 ）数学 1. D 2. （ 1 ） 25x 2 -4y 2 （ 2 ） -64a 2 +49b 2 3. （ 1 ） x-2 （ 2 ） -x+2y 4. （ 1 ） 9a 2 -4b 2 （ 2 ） -9a 2 + 1 4 b 2 5. 化简 ， 原式 =1-2x ， 代入 x=1 012 ， 原式 =-2 023. 6. D 7. C 14.2.2 完全平方公式 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 平方 平方和 积的 2 倍 a 2 ± 2ab+b 2 1. D 2. D 3. ③④ 4. （ 1 ） 9x 2 -12xy+ 4y 2 （ 2 ） 4m 2 +4m+1 （ 3 ） 4x 2 -2x+ 1 4 （ 4 ） 16x 4 + 8x 2 +1 【 知识点 2 】 （ 1 ） 39 601 （ 2 ） 2 525 1 16 【 例 】 解 ： （ 1 ） 阴影部分是边长为 a-b 的正 方形 ， 故答案为 a-b. （ 2 ） 题图 2 整体是边长为 a+b 的正方形 ， 因 此面积为 （ a+b ） 2 ， 题图 2 各个部分的面积和为 （ a-b ） 2 +4ab ， ∴ 有 （ a+b ） 2 = （ a-b ） 2 +4ab. （ 3 ） ∵m+n=8 ， mn=12 ， ∴ （ m-n ） 2 = （ m+n ） 2 -4mn=64-48=16 ， ∴m-n=±4. 1. C 2. C 3. ② 4. （ 1 ） 9a 2 -6ab +b 2 （ 2 ） 9m 2 +24mn +16n 2 （ 3 ） 9 16 x 2 +xy+ 4 9 y 2 （ 4 ） -2x-5 5. ab= 3 4 ， a 2 +b 2 = 11 2 . 6. 解 ： （ 1 ） 3 2 -4×1 2 =5 ① ； 5 2 -4×2 2 =9 ② ； 7 2 -4× 3 2 =13 ③ … ∴ 第四个等式 ： 9 2 -4×4 2 =17. 故答案为 4 ， 17. （ 2 ） 第 n 个等式为 ： （ 2n+1 ） 2 -4n 2 =4n+1 ， 左边 = （ 2n+1 ） 2 -4n 2 =4n 2 +4n+1-4n 2 =4n+1 ， 右边 =4n+1 ， 左边 = 右边 ， ∴ （ 2n+1 ） 2 -4n 2 =4n+1. 7. 解 ： （ 1 ） 方法 1 ： 两个正方形的面积和 ， 即 a 2 +b 2 . 方法 2 ： 大正方形的面积减去两个长方形的面积 ， 即 （ a+b ） 2 -2ab ， 故答案为 a 2 +b 2 ， （ a+b ） 2 -2ab. （ 2 ） 根据方法 1 与方法 2 所表示的面积相等得 ， a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab. （ 3 ） ∴ 1 2 xy=3 ， ∴xy=6. 又 ∵ （ x+y ） 2 =25 ， ∴x 2 +y 2 = （ x+y ） 2 -2xy=25-12=13. 8. ±2 14.2.2 完全平方公式 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 不变 改变 1. D 2. 5 3. （ 1 ） 2b-c （ 2 ） b+c-d （ 3 ） b-c b-c 【 例 】 解 ： （ 1 ） 原式 = ［ x+ （ y-2 ）］·［ x- （ y-2 ）］ =x 2 - （ y-2 ） 2 =x 2 -y 2 +4y-4. （ 2 ） 原式 = ［（ 2x-y ） -3 ］ 2 = （ 2x-y ） 2 -6 （ 2x-y ） +9= 4x 2 -4xy+y 2 -12x+6y+9. 1. D 2. C 3. -16 4. （ 1 ） x 2 -2mx+m 2 +4n 2 -4nx-4mn （ 2 ） 4n 2 -m 2 + 2m-1 （ 3 ） 10y 2 +12xy （ 4 ） x 4 -8x 2 +16 5. 解 ： （ 1 ） ∵|x-y-5|+ （ xy-6 ） 2 =0 ， ∴x-y-5=0 ， （ xy- 6 ） 2 =0 ， ∴x-y=5 ， xy=6 ， ∴x 2 +y 2 = （ x-y ） 2 +2xy=25+12=37. （ 2 ） ∵a-b=2 ， ab=3 ， ∴a 2 +b 2 = （ a-b ） 2 +2ab=4+6=10 ， ∴a 4 +b 4 = （ a 2 +b 2 ） 2 -2a 2 b 2 = （ a 2 +b 2 ） 2 -2 （ ab ） 2 =10 2 -2×3 2 =82. 6. 解 ： 阴影部分的面积为 1 2 a 2 +b 2 - 1 2 b （ a+b ） = 1 2 a 2 + 1 2 b 2 - 1 2 ab ， ∵a+b=17 ， ab=60 ， ∴a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab= 17 2 -120=169 ， 原式 = 1 2 （ a 2 +b 2 ） - 1 2 ab= 1 2 ×169- 1 2 ×60= 109 2 . 7. 解 ： （ 1 ） ①< ②= ③< （ 2 ） ２x≤x 2 +1 （ 3 ） 无论 x 取什么值 ， 总有 2x≤x 2 +1. 证明 ： ∵x 2 +1-2x= （ x-1 ） 2 ≥0 ， ∴2x≤x 2 +1. 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 【 知识点 1 】 多项式 整式 积 因式分解 分解因式 1. （ 1 ） 整式乘法 （ 2 ） 因式分解 2. D 【 知识点 2 】 各项 公共因式 公因式 提公 因式法 1. C 2. C 3. A 4. B 5. （ 1 ） a （ 2 ） mn （ 3 ） 2xy （ 4 ） 7 （ x-y ） 2 6. （ 1 ） 2mn （ 4m+1 ） （ 2 ） 6ab 2 （ 3b 2 -2a-a 2 ） （ 3 ） （ b+ c ）（ 2a-3 ） （ 4 ） （ a-2 ）（ 2x-3y ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） 原式 =6a （ m-n ） +3b （ m-n ） = 3 （ m-n ）（ 2a+b ） . （ 2 ） 原式 =2m （ x-2 ） -n （ x-2 ） = （ x-2 ）（ 2m-n ） . 1. D 2. （ 1 ） 3 （ 2 ） a 2 （ 3 ） m-n （ 4 ） -2xy 3. 70 4. （ 1 ） （ x-y ） 2 （ 2 ） 4 （ x+y ）（ x+2y ） （ 3 ） （ x-y ） 2 · （ x-y-3 ） 5. （ 1 ） 259 （ 2 ） 810 6. 解 ： ∵7a-8b=5 ， ∴ 原式 = （ 3a-4b ）（ 7a-8b ） + （ 11a- 12b ）（ 7a-8b ） = （ 7a-8b ）（ 3a-4b+11a-12b ） = （ 7a-8b ）（ 14a- 58 八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 完全平方公式 ◎ 两个数的和或（差）的 ，等于它们的 ，加上（或减去）它们的 . （ a ± b ）2= . 1. 下列计算正确的是 （ ） A. （ x+y ） 2 =x 2 +y 2 B. （ x-y ） 2 =x 2 -2xy-y 2 C. （ x+2y ）（ x-2y ） =x 2 -2y 2 D. （ -x+y ） 2 =x 2 -2xy+y 2 2. 如果 x 2 +kx+81 是一个完全平方式， 那么 k 的值是 （ ） A. 9 B. -9 C. 9 或 -9 D. 18 或 -18 3. 下列各式： ① （ a+b ）（ a+c ）； ② （ x+y ）（ -y+x ）； ③ （ ab-3x ）（ -3x+ab ）； ④ （ -m-n ）（ m+n ） . 其中可以运用完全平方公式计算的有 . 4. 运用完全平方公式计算： （ 1 ） （ 3x-2y ） 2 ； （ 2 ） （ -2m-1 ） 2 ； （ 3 ） -2x+ 1 2 2 # 2 ； （ 4 ） （ -4x 2 -1 ） 2 . 【知识点 2 】 完全平方公式的运用 运用完全平方公式简便计算： （ 1 ） 199 2 ； （ 2 ） 50 1 4 2 4 2 ； 14.2.2 完全平方公式 （第一课时） 98 整式的乘法与因式分解 第十四章 例题点拨 素养导向 【例】 图 1 是一个长为 2a 、 宽为 2b 的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形， 然后按图 2 形状拼成一个正方形 . （ 1 ） 图 2 中阴影部分的正方形的边长是 ； （用含 a ， b 的式子表示） （ 2 ） 观察图 2 ， 用一个等式表示（ a+b ） 2 ， （ a-b ） 2 ， ab 之间的等量关系： . （ 3 ） 根据 （ 2 ） 中的等量关系， 解决如下问题： 若 m+n＝8 ， mn＝12 ， 求 m-n 的值 . 【点拨】 本题考查完全平方、 平方差公式的几何背景， 掌握完全平方公式、 平方差公式 的结构特征是正确解答的前提 . 本题的 （ 3 ） 中， 已知 m 与 n 的和、 积， 求 m 与 n 的差， 满 足 （ 2 ） 的关系模型， 直接代入 （ 2 ） 结论， 即可解决问题 . 夯实四基 达标闯关 1. （ -x 2 -y ） 2 等于 （ ） A. -x 2 -2xy+y 2 B. -x 4 -2x 2 y+y 2 C. x 4 +2x 2 y+y 2 D. x 4 -2xy-y 2 2. （ x+y ） 2 -M= （ x-y ） 2 ， 则 M 为 （ ） A. 2xy B. ±2xy C. 4xy D. ±4xy 3. 下列各式： ① （ b-4a ） 2 =b 2 -16a 2 ； ② 1 2 a+ + " b 2 = 1 4 a 2 +ab+b 2 ； ③ （ 4m-n ） 2 =16m 2 -4mn+n 2 ； ④ （ -a-b ） 2 =a 2 -2ab+b 2 . 其中计算正确的是 . （填序号） 4. 计算： （ 1 ） （ -3a＋b ） 2 ； （ 2 ） （ -3m-4n ） 2 ； （ 3 ） 3 4 x+ 2 3 + " y 2 ； （ 4 ） （ x+2 ）（ x-2 ） - （ x+1 ） 2 . a b aa b b 图 2图 1 图 14.2-2 99 八年级上册 （人教版）数学 5. 已知（ a+b ） 2 =7 ， （ a-b ） 2 =4 ， 求 a 2 +b 2 和 ab 的值 . 能力提升 综合拓展 6. 观察下列关于自然数的等式： 3 2 -4×1 2 =5 ① ； 5 2 -4×2 2 =9 ② ； 7 2 -4×3 2 =13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： （ 1 ） 完成第四个等式： 9 2 -4× 2 = ； （ 2 ） 写出你猜想的第 n 个等式 （用含 n 的式子表示）， 并验证其正确性 . 7. 请认真观察图形， 解答下列问题： （ 1 ） 根据图中条件， 试用两种不同方法表示阴影部分的面积 . 方法 1 ： ； 方法 2 ： . （ 2 ） 从中你能发现什么结论？ 请用乘法公式表示该结论： . （ 3 ） 运用你所得到的结论， 解决问题： 已知 （ x+y ） 2 =25 ， 1 2 xy=3 ， 求 x 2 +y 2 的值 . 中考链接 真题演练 8. （ 2023 ·凉山州） 已知 y 2 -my+1 是完全平方式， 则 m 的值是 . b b a a 第 7 题图 100