13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

轴 对 称 第十三章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 线段的垂直平分线的性质 ◎ 线段 上的点与这条线段 的距离相等. 1. 如图 13.1-4 ， 在 △ABC 中， AB 的垂直平分线交 AB 于点 E ， 交 AC 于点 D ， 连接 BD ， 若 AC=8 ， BD=3 ， 则 DC 的长为 . 2. 如图 13.1-5 ， DE 是 △ABC 的边 BC 的垂直平分线， 若 △ADB 的周长为 14 ， AB=6 ， 则 AC 的长为 . 【知识点 2 】 线段的垂直平分线的判定 ◎ 与一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图 13.1-6 ， 直线 l 与线段 AB 交于点 O ， 点 P 在直线 l 上， 且 PA=PB. 小明说： “直线 l 是 AB 的垂直平分线 . ” 小亮说： “需再添加一个条件， 小明的结论才正确 . ” 下列判断正确 的是 （ ） A. 小明说得对 B. 小亮说得对， 可添条件为 “ ∠A=∠B ” C. 小亮说得对， 可添条件为 “ PO⊥AB ” D. 两人说得都不对 例题点拨 素养导向 【例】 如图 13.1-7 ， 在 △ABC 中， 分别以点 B 和点 C 为圆心， 大于 1 2 BC 长为半径画弧， 两弧相交于点 M ， N. 作直线 MN ， 交 AC 于点 D ， 交 BC 于点 E ， 连接 BD. 若 AB=7 ， AC=12 ， BC=6 ， 则 △ABD 的周长为 （ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【点拨】 此题以尺规作图为背景， 需要学生辨识出尺规作图作的是线段 BC 的垂直平分 线， 进而根据线段的垂直平分线的性质得出 DB=DC ， 得出 △ABD 的周长等于线段 AB 和 AC 长的和 . 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （第一课时） D A E B C BEC D A 图 13.1-4 图 13.1-5 l P B O A 图 13.1-6 A M D C E B N 图 13.1-7 53 八年级上册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线， P 为直线 CD 上一点， 若线段 PA＝2 ， 则线 段 PB＝ （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图， 在 △ABC 中， AB＝AC＝20 cm ， DE 垂直平分 AB ， 垂足为 E ， 交 AC 于 D ， 若 △DBC 的周长为 35 cm ， 则 BC 的长为 （ ） A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 17.5 cm 3. 2023 年 10 月 17 日至 18 日， 第三届 “一带一路” 国际合作高峰论坛在北京举行， 中 国与 150 多个国家、 30 多个国际组织签署了 230 多份合约， 携手实现经济共同发展 . 北京、 莫斯科、 雅典三地之间想建立一个货物中转仓， 使其到三地的距离相等， 如图所示， 则中转 仓的位置应选在 （ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 4. 如图， PD 垂直平分 AB ， PE 垂直平分 BC ， 若 PC 的长为 5 ， 则 PA 的长是 . 5. 如图， AD⊥BC ， BD＝DC ， 点 C 在 AE 的垂直平分线上 . 若 AB＝5 cm ， BC＝6 cm ， 则 AC＝ ， DE＝ . 6. 如图， 在 △ABC 中， BC 边的垂直平分线交 BC 于 D ， 交 AB 于 E ， 若 CE 平分 ∠ACB ， ∠B＝40° ， 则 ∠A＝ . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 已知 AB＝AC ， DB＝DC ， P 是 AD 上一点， 求证： ∠ABP＝∠ACP. B D A P C E A D CB B C A 莫斯科 北京 雅典 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 P C E B D A A B D C E C A E B D 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 A C D B P 第 7 题图 54 轴 对 称 第十三章 8. 如图所示， MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC. （ 1 ） 若 △APQ 的周长为 12 ， 求 BC 的长； （ 2 ） 若 ∠BAC＝105° ， 求 ∠PAQ 的度数 . 中考链接 真题演练 9. （ 2021 ·河北） 如图， 直线 l ， m 相交于点 O ， P 为这两条直线外一点， 且 OP＝2.8. 若点 P 关于直线 l ， m 的对称点分别是点 P 1 ， P 2 ， 则 P 1 ， P 2 之间的距离可能是 （ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 10. （ 2023 ·青海） 如图， 在 △ABC 中， DE 是 BC 的垂直平分线 . 若 AB＝5 ， AC＝8 ， 则 △ABD 的周长是 . Q N A M C P B 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 P 2 P 1 O P l m A D E B C 55 八年级上册 （ 人教版 ）数学 ∠POD. ∵PD⊥OA ， PE⊥OB ， ∴∠PEO＝∠PDO＝90°. 又 ∵OP ＝OP ， ∴△PDO≌△PEO （ AAS ） ， ∴PD ＝PE. （ 2 ） 解 ： ∵∠C ＝90° ， ∴DC⊥AC. ∵AD 平 分 ∠BAC ， DE⊥AB ， 同 （ 1 ） 法可得 △ACD≌△AED （ AAS ） . ∴AE＝AC ， DE＝DC. ∵DE⊥AB ， ∴∠DEB＝∠C＝90° . 又 ∵BD＝DF ， DE＝DC ， ∴△CDF≌△EDB （ HL ）， ∴CF＝BE. ∵AB＝AE+BE＝AC+CF ， AC＝AF+CF ， ∴AB＝AF+CF+CF. 即 13＝8+2CF ， ∴CF= 5 2 . 12.3 角的平分线的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 相等 三条角平分线的交点 1. 2 2. 35° 3. 90° 4. 证明 ： ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴∠BDF＝ ∠CEF ＝90° . 在 △BDF 和 △CEF 中 ， ∠DFB=∠EFC ， ∠BDF=∠CEF ， BF=CF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△BDF≌△CEF （ AAS ）， ∴DF＝ EF. 又 ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴ 点 F 在 ∠BAC 的 平分线上 . 【 例 】 证 明 ： 作 OP⊥AC 于 P ， OQ⊥AB 于 Q ， ∵S △ODE ＝S △OFG ， DE＝ FG ， ∴OP＝OQ ， OP⊥AC ， OQ⊥AB. ∴ 点 O 在 ∠BAC 的平分线上 . 1. B 2. B 3. 证明 ： ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴△BDE ， △DCF 是 直 角 三 角 形 . 在 Rt △BDE 与 Rt △DCF 中 ， BD=DC ， BE=CF F ， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF （ HL ） . ∴DE＝DF. 又 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴AD 是 △ABC 的角平分线 . 4. 解 ： ∵∠C＝36° ， ∠ABC＝110° ， ∴∠BAC＝180°- 36°-110°＝34°. ∵DE⊥AB 于 E ， DF⊥AC 于 F ， DE＝DF ， ∴AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝17°. ∴∠ADB＝180°-110°- 17°＝53°. 5. 证 明 ： （ 1 ） 在 △ACE 与 △BCD 中 ， ∵ CA=CB ， ∠ACB=∠DCE ， CE=CD F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACE≌ △BCD ， ∴AE＝BD. （ 2 ） 过 点 C 作 CG⊥AF ， CH⊥BD ， 垂足分别为 G ， H ， ∵ 由 （ 1 ） 知 ， △ACE≌△BCD ， ∴∠CAG＝∠CBH ， AC＝BC. 在 △ACG 与 △BCH 中 ， ∵ ∠CAG=∠CBH ， ∠AGC=∠BHC=90° ， AC=BC F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACG≌△BCH （ AAS ）， ∴CG＝CH ， ∴CF 平分 ∠AFD. 6. 解 ： （ 1 ） 根据尺规作角平分线的过程可知 ： 三 角形全等的判定方法是 SSS. （ 2 ） 小王的作法正确 . 理由 ： ∵PM⊥OM ， PN⊥ON ， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° . 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ， OP=OP ， OM=ON F ， ∴Rt△OMP≌ Rt△ONP （ HL ）， ∴∠MOP＝∠NOP ， ∴OP 平分 ∠AOB. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称 【 知识点 1 】 一条直线 直线两旁 直线 这 条直线 1. B 2. C 【 知识点 2 】 另一个图形 这条直线 重合 1. C 2. 2 【 知识点 3 】 中点 垂直于 【 知识点 4 】 对应点 对应点 C 【 例 1 】 4 【 例 2 】 130° 解析 ： ∵ 四边形 ABCD 是轴对称 图形 ， 直线 AC 是它的对称轴 ， ∴∠DAC=∠BAC= 65° ， ∠D=∠B=50°. ∴∠BCA=∠DCA=180°-65°- 50°=65°. ∴∠BCD 的大小为 65°×2=130°. 1. C 2. C 3. 4 4. D 5. 12:50 6. ①⑤ 7. 105° 8. 解 ： 所补画的图形如下所示 . 9. 解 ： 如图 ， 连接 AD 并延长 AD 到 P ， ∴ 该平面 图是轴对称图形 ， ∴AP 平分 ∠BAC ， DP 平分 ∠BDC ， ∴ 当 ∠BDC=2∠BDP=140° 时 ， 这个零部件才合格 . 当 ∠BDC= 150° 时 ， 这个零部件不合格 . 10. C 11. C 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 垂直平分线 两个端点 1. 5 2. 8 A B C D E F G O Q P 例题答图 A B C D E F H G 第 5 题答图 图 1 图 2 图 3 第 8 题答图 A B D C P 第 9 题答图 50 参 考 答 案 【 知识点 2 】 距离相等 C 【 例 】 C 1. B 2. C 3. A 4. 5 5. 5 cm 8 cm 6. 60° 7. 证明 ： 连接 BC ， ∵AB＝AC ， ∴ ∠ABC＝∠ACB. 又 ∵BD＝CD ， 两点确 定一条直线 ， ∴AD 是线段 BC 的垂直 平分线 ， ∴PB＝PC ， ∴∠PBC＝∠PCB ， ∴∠ABC-∠PBC＝∠ACB-∠PCB ， ∴ ∠ABP＝∠ACP. 8. 解 ： （ 1 ） ∵MP 和 NQ 分别垂 直平分 AB 和 AC ， ∴AP＝BP ， AQ＝CQ. ∴△APQ 的周 长 ＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC ， ∵△APQ 的周长为 12 ， ∴BC ＝12. （ 2 ） ∵AP ＝BP ， AQ ＝CQ ， ∴ ∠B ＝ ∠BAP ， ∠C ＝ ∠CAQ. ∵ ∠BAC ＝105° ， ∴ ∠BAP + ∠CAQ ＝∠B +∠C ＝180° -∠BAC ＝180° -105° ＝75° . ∴ ∠PAQ＝∠BAC- （ ∠BAP+∠CAQ ） ＝105°-75°＝30°. 9. B 10. 13 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 对应点 垂直平分线 C 【 例 】 解 ： 如图所示 . 1. 如图 ， 直线 l 即为所求 . 2. 如图 ， 直线 l 即为所求 . 3. 解 ： 如图 ， P 点即为所求 . 理由 ： 垂直平分线的点到线段两端点的距离相等 . 4. 解 ： 如图所示 ， D 点即为所求 . 5. A 13.2 画轴对称图形 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 对称点 如图 ， 线段 A′B′ 即为所求 . 【 例 】 【 作法 】 如图 . （ 1 ） 过 A 作 MN 的垂线 ， 垂 足为 O ， 在垂线上截取 A′O= AO ， 点 A′ 就是点 A 的对称 点 . （ 2 ） 同理作出点 B 关 于 MN 的对称点 B′. （ 3 ） 因 为点 C 在对称轴 MN 上 ， 所 以点 C 与点 C′ 重合 . （ 4 ） 连 接 A′B′C′ ， △A′B′C′ 即为所求 . 1. 2. 解 ： （ 1 ） 如图 ， △A 1 B 1 C 1 即为所求 . A C D B P 第 7 题答图 A E D C B 例题答图 A B l 第 1 题答图 A B C C′ A′ B′ l 第 2 题答图 A B l P 第 3 题答图 B A M N O D 第 4 题答图 B l A A′ B′ 知识点题答图 例题答图 B C （ C′ ） A M N A′ B′ O 图 2 图 1 N M C A B A′ B′ C′ N M B C A B′ C′ A′ 第 1 题答图 51