13.1.1 轴对称-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

轴 对 称 第十三章 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 轴对称图形的概念 ◎ 如果一个平面图形沿 折叠， 的部分能够互相重合，这个图形就 叫做轴对称图形，这条 就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于 （成轴）对称. 1. 十二生肖又叫属相， 是与中国十二地支相配以出生年份的十二种动物 . 2023 年是中国 传统的兔年 . 劳动课上同学们学习了剪纸小兔子， 以下剪纸作品中是轴对称图形的是 （ ） 2. 在一些美术字中， 有的汉字是轴对称图形 . 下面 4 个汉字中， 可以看作是轴对称图形 的是 （ ） 13.1 轴 对 称 13.1.1 轴 对 称 第十三章 轴 对 称 生活中的轴对称 轴对称 作轴对称图形的对称轴 画轴对称图形 关于坐标轴对称的 点的坐标的关系 等腰三角形 等边三角形 A B C D A B C D 礼 迎 全 运 49 八年级上册 （人教版）数学 【知识点 2 】 成轴对称的相关概念 ◎ 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形 关于这条直线（成轴）对称. 叫做对称轴，折叠后 的点是对应点，叫做对 称点. 1. 将一张长方形的纸对折， 然后用笔尖在上面扎出 “ B ”， 再把它铺平， 你可见到 （ ） 2. 如图 13.1-1 ， 直线 AB 左边计算器上的数字是 5 ， 若以 AB 为对称轴， 那 么它的对称图形是数字 . 【知识点 3 】 垂直平分线的概念 ◎ 经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直 平分线. 【知识点 4 】 图形轴对称的性质 ◎ 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对 所连线段的垂直平 分线. ◎ 轴对称图形的对称轴，是任意一对 所连线段的垂直平分线. 如图 13.1-2 ， 四边形 ABCD 是轴对称图形， BD 所在的直线是它的对 称轴， 下列说法错误的是 （ ） A. AB=BC B. ∠ADB=∠CDB C. AC 垂直平分 BD D. BD 垂直平分 AC 例题点拨 素养导向 【例 1 】 下列图形： ① 角； ② 直角三角形； ③ 等边三角形； ④ 线段； ⑤ 等腰三角形； ⑥ 平 行四边形 . 其中一定是轴对称图形的有 个 . 【点拨】 根据轴对称图形的概念判断即可 . 本题考查的是轴对称图形的概念， 关键是寻找 对称轴， 图形两部分折叠后可完全重合 . 此例题引导学生关注图形自身属性， 对称性作为图 形重要属性和变化之一， 在后续几何图形学习中起着非常重要的作用， 为后续借助对称性探 究等腰三角形性质起铺垫作用 . 【例 2 】 如图 13.1-3 ， 四边形 ABCD 是轴对称图形， 直线 AC 是它的 对称轴， 若 ∠BAC=65° ， ∠B=50° ， 则 ∠BCD 的大小为 . 【点拨】 此题具有一定综合性， 根据对称性可以得到 ∠BCA=∠DCA ， 要求 ∠BCD 只需求 ∠BCA ， 应用三角形内角和定理 ∠BCA 可求， 从而 ∠BCD 可求 . A B C D B B B B B B B B A B 图 13.1-1 A D C B 图 13.1-2 A D C B 图 13.1-3 50 轴 对 称 第十三章 夯实四基 达标闯关 1. 1971 年， 被考古界誉为红山文化象征的 “中华第一龙” ——红山碧玉龙在赤峰市翁 牛特旗赛沁塔拉嘎查出土， 赤峰也因此被誉为 “中华玉龙之乡” . 红山碧玉龙的发现， 不仅 让中国人找到了龙的源头， 也充分印证了中国龙文化的源远流长 . 除此之外， 还有许多关于 龙的图案， 下列标志图案中属于轴对称图形的是 （ ） 2. 有下列说法： ① 线段是轴对称图形； ② 成轴对称的两个图形中， 对应点的连线被对称 轴垂直平分； ③ 成轴对称的两个图形一定全等； ④ 轴对称图形的对称点一定在对称轴的两 侧 . 其中正确的有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 如图， OE 是 ∠AOB 的平分线， BD⊥OA 于点 D ， AC⊥BO 于点 C ， 则关于直线 OE 对称的三角形共有 对 . 能力提升 综合拓展 4. 围棋起源于中国， 古代称之为 “弈”， 至今已有四千多年的历史 . 下列由黑、 白棋子摆 成的图案中， 是轴对称图形的是 （ ） 5. 如图， 这是小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间， 此刻 的实际时间应该是 . 6. 如图每对文字图形中， 能看成关于虚线对称的有 （填序 号） . 7. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换， 所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的 思想和轴对称的性质 . 如图 1 ， ∠DEF=25° ， 将长方形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠成图 2 ， 再 沿直线 GF 折叠成图 3 ， 则图 3 中 ∠CFE= . A B C D 第 3 题图 O C B D E A A B C D 第 5 题图 甲 甲 乒 乓 杏 呆 孑 干 了 干 ① ② ③ ④ ⑤ 图 1 图 2 图 3 第 6 题图 第 7 题图 A E D C F B G A E D CFB A E D C F B G 51 八年级上册 （人教版）数学 8. 如图， 是由三个阴影的小正方形组成的图形， 请你在三个网格图中， 各补画出一个有 阴影的小正方形， 使补画后的图形为轴对称图形 . 9. 如图是一个零部件的平面图， 它是轴对称图形， 按制作要求 ∠A 和 ∠B 应分别等于 90° 和 25°. 现有一位工人检验出 ∠BDC=150° ， 就判断出这个零部件不合格 . 你知道为什么吗？ 请说明理由 . 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·衡阳） 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是 （ ） 11. （ 2023 ·山西） 全民阅读有助于提升一个国家、 一个民族的精神力量 . 图书馆是开展 全民阅读的重要场所 . 以下是我省四个地市的图书馆标志， 其文字上方的图案是轴对称图形 的是 （ ） 图 1 图 2 图 3 第 8 题图 A B D C 第 9 题图 A B C D A B C D 52 八年级上册 （ 人教版 ）数学 ∠POD. ∵PD⊥OA ， PE⊥OB ， ∴∠PEO＝∠PDO＝90°. 又 ∵OP ＝OP ， ∴△PDO≌△PEO （ AAS ） ， ∴PD ＝PE. （ 2 ） 解 ： ∵∠C ＝90° ， ∴DC⊥AC. ∵AD 平 分 ∠BAC ， DE⊥AB ， 同 （ 1 ） 法可得 △ACD≌△AED （ AAS ） . ∴AE＝AC ， DE＝DC. ∵DE⊥AB ， ∴∠DEB＝∠C＝90° . 又 ∵BD＝DF ， DE＝DC ， ∴△CDF≌△EDB （ HL ）， ∴CF＝BE. ∵AB＝AE+BE＝AC+CF ， AC＝AF+CF ， ∴AB＝AF+CF+CF. 即 13＝8+2CF ， ∴CF= 5 2 . 12.3 角的平分线的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 相等 三条角平分线的交点 1. 2 2. 35° 3. 90° 4. 证明 ： ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴∠BDF＝ ∠CEF ＝90° . 在 △BDF 和 △CEF 中 ， ∠DFB=∠EFC ， ∠BDF=∠CEF ， BF=CF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△BDF≌△CEF （ AAS ）， ∴DF＝ EF. 又 ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴ 点 F 在 ∠BAC 的 平分线上 . 【 例 】 证 明 ： 作 OP⊥AC 于 P ， OQ⊥AB 于 Q ， ∵S △ODE ＝S △OFG ， DE＝ FG ， ∴OP＝OQ ， OP⊥AC ， OQ⊥AB. ∴ 点 O 在 ∠BAC 的平分线上 . 1. B 2. B 3. 证明 ： ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴△BDE ， △DCF 是 直 角 三 角 形 . 在 Rt △BDE 与 Rt △DCF 中 ， BD=DC ， BE=CF F ， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF （ HL ） . ∴DE＝DF. 又 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴AD 是 △ABC 的角平分线 . 4. 解 ： ∵∠C＝36° ， ∠ABC＝110° ， ∴∠BAC＝180°- 36°-110°＝34°. ∵DE⊥AB 于 E ， DF⊥AC 于 F ， DE＝DF ， ∴AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝17°. ∴∠ADB＝180°-110°- 17°＝53°. 5. 证 明 ： （ 1 ） 在 △ACE 与 △BCD 中 ， ∵ CA=CB ， ∠ACB=∠DCE ， CE=CD F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACE≌ △BCD ， ∴AE＝BD. （ 2 ） 过 点 C 作 CG⊥AF ， CH⊥BD ， 垂足分别为 G ， H ， ∵ 由 （ 1 ） 知 ， △ACE≌△BCD ， ∴∠CAG＝∠CBH ， AC＝BC. 在 △ACG 与 △BCH 中 ， ∵ ∠CAG=∠CBH ， ∠AGC=∠BHC=90° ， AC=BC F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACG≌△BCH （ AAS ）， ∴CG＝CH ， ∴CF 平分 ∠AFD. 6. 解 ： （ 1 ） 根据尺规作角平分线的过程可知 ： 三 角形全等的判定方法是 SSS. （ 2 ） 小王的作法正确 . 理由 ： ∵PM⊥OM ， PN⊥ON ， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° . 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ， OP=OP ， OM=ON F ， ∴Rt△OMP≌ Rt△ONP （ HL ）， ∴∠MOP＝∠NOP ， ∴OP 平分 ∠AOB. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称 【 知识点 1 】 一条直线 直线两旁 直线 这 条直线 1. B 2. C 【 知识点 2 】 另一个图形 这条直线 重合 1. C 2. 2 【 知识点 3 】 中点 垂直于 【 知识点 4 】 对应点 对应点 C 【 例 1 】 4 【 例 2 】 130° 解析 ： ∵ 四边形 ABCD 是轴对称 图形 ， 直线 AC 是它的对称轴 ， ∴∠DAC=∠BAC= 65° ， ∠D=∠B=50°. ∴∠BCA=∠DCA=180°-65°- 50°=65°. ∴∠BCD 的大小为 65°×2=130°. 1. C 2. C 3. 4 4. D 5. 12:50 6. ①⑤ 7. 105° 8. 解 ： 所补画的图形如下所示 . 9. 解 ： 如图 ， 连接 AD 并延长 AD 到 P ， ∴ 该平面 图是轴对称图形 ， ∴AP 平分 ∠BAC ， DP 平分 ∠BDC ， ∴ 当 ∠BDC=2∠BDP=140° 时 ， 这个零部件才合格 . 当 ∠BDC= 150° 时 ， 这个零部件不合格 . 10. C 11. C 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 垂直平分线 两个端点 1. 5 2. 8 A B C D E F G O Q P 例题答图 A B C D E F H G 第 5 题答图 图 1 图 2 图 3 第 8 题答图 A B D C P 第 9 题答图 50