12.3 角的平分线的性质(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 角的平分线的判定 ◎ 角的内部到角的两边的距离 的点在角的平分线上. ◎ 到三角形三边距离相等的点是三角形 . 1. 如图 12.3-6 ， PM⊥AC 于点 M ， PN⊥AB 于点 N ， PM＝2 ， 当 PN＝ 时， 点 P 在 ∠BAC 的平分 线上 . 2． 如图 12.3-7 ， ∠AOB＝70° ， QC⊥OA 于点 C ， QD⊥OB 于点 D ， 若 QC＝QD ， 则 ∠AOQ＝ . 3． 如图 12.3-8 ， AB∥CD ， 点 P 到 AB ， AC ， CD 的距离都相等， 则 ∠P 的度数为 . 4． 如图 12.3-9 ， CD⊥AB 于 D ， BE⊥AC 于 E ， CD 与 BE 相交于点 F ， BF＝CF． 求证： 点 F 在 ∠BAC 的平分线上 ． 例题点拨 素养导向 【例】 如图 12.3-10 ， D ， E 是 AC 上两点， F ， G 是 AB 上两点， 且 DE＝FG ， S △ODE ＝S △OFG ． 求证： 点 O 在 ∠BAC 的平分线上 ． 【点拨】 作 OP⊥AC 于 P ， OQ⊥AB 于 Q ， 根据等底等高的两个三角形面积相等， 得到 OP＝OQ ， 根据角平分线的判定定理得到答案 . 本题主要考查角平分线的判定， 掌握到角的两 边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键 ． 12.3 角的平分线的性质 （第二课时） 图 12.3-6 图 12.3-7 图 12.3-8 图 12.3-9 A B C P M N A B C D O Q A B C D P A B C D E F 图 12.3-10 A B C D E F G O 46 全等三角形 第十二章 夯实四基 达标闯关 1． 如图， DB⊥AB ， DC⊥AC ， BD＝DC ， ∠BAC＝80° ， 则 ∠BAD 的度数为 （ ） A． 10° B． 40° C． 30° D． 20° 2． 在正方形网格中， ∠AOB 的位置如图所示， 图中所有字母表示的点均在格点上， 则 到 ∠AOB 两边距离相等的点应是 （ ） A． P 点 B． Q 点 C． M 点 D． N 点 3． 如图， 在 △ABC 中， D 是 BC 的中点， DE⊥AB ， DF⊥AC ， 垂足分别为点 E ， F ， BE＝ CF． 求证： AD 是 △ABC 的角平分线 ． 4． 如图， 在 △ABC 中， ∠C＝36° ， ∠ABC＝110° ， DE⊥AB 于 E ， DF⊥AC 于 F ， DE＝DF． 求 ∠ADB 的度数 ． 能力提升 综合拓展 5． 如图， CA＝CB ， E 在 BC 上， CE＝CD ， ∠ACB＝∠DCE＝90° ， AE 的延长线交 BD 于 F ， 连接 CF． 求证： （ 1 ） AE＝BD ； （ 2 ） CF 平分 ∠AFD． A B C D 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 A B O M N Q P 第 4 题图 A B C D E F A B C D E F 第 5 题图 A B C D E F 47 八年级上册 （人教版）数学 中考链接 真题演练 6． （ 2022 ·卧龙区） 数学课上， 探讨角平分线的作法时， 李老师用直尺和圆规作角平分 线， 方法如下： 作法： ① 在 OA 和 OB 上分别截取 OD ， OE ， 使 OD＝OE ； ② 分别以 D ， E 为圆心， 以大于 1 2 DE 的长为半径作弧， 两弧在 ∠AOB 内交于点 C ； ③ 作射线 OC ， 则 OC 就是 ∠AOB 的平分线 ． 根据以下情境， 解决下列问题： （ 1 ） 李老师用尺规作角平分线时， 用到的三角形全等的判定方法是 ． 小王只带了直角三角板， 他发现利用直角三角板也可以作角平分线， 方法如下： ① 利用直角三角板上的刻度， 在 OA 和 OB 上分别截取 OM ， ON ， 使 OM＝ON ； ② 分别过 M ， N 作 OM ， ON 的垂线， 交于点 P ； ③ 作射线 OP ， 则 OP 为 ∠AOB 的平分线 ． （ 2 ） 小王的作法正确吗？ 请说明理由 ． A B C D E O 第 6 题图 A B O P M N 48 八年级上册 （ 人教版 ）数学 ∠POD. ∵PD⊥OA ， PE⊥OB ， ∴∠PEO＝∠PDO＝90°. 又 ∵OP ＝OP ， ∴△PDO≌△PEO （ AAS ） ， ∴PD ＝PE. （ 2 ） 解 ： ∵∠C ＝90° ， ∴DC⊥AC. ∵AD 平 分 ∠BAC ， DE⊥AB ， 同 （ 1 ） 法可得 △ACD≌△AED （ AAS ） . ∴AE＝AC ， DE＝DC. ∵DE⊥AB ， ∴∠DEB＝∠C＝90° . 又 ∵BD＝DF ， DE＝DC ， ∴△CDF≌△EDB （ HL ）， ∴CF＝BE. ∵AB＝AE+BE＝AC+CF ， AC＝AF+CF ， ∴AB＝AF+CF+CF. 即 13＝8+2CF ， ∴CF= 5 2 . 12.3 角的平分线的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 相等 三条角平分线的交点 1. 2 2. 35° 3. 90° 4. 证明 ： ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴∠BDF＝ ∠CEF ＝90° . 在 △BDF 和 △CEF 中 ， ∠DFB=∠EFC ， ∠BDF=∠CEF ， BF=CF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△BDF≌△CEF （ AAS ）， ∴DF＝ EF. 又 ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴ 点 F 在 ∠BAC 的 平分线上 . 【 例 】 证 明 ： 作 OP⊥AC 于 P ， OQ⊥AB 于 Q ， ∵S △ODE ＝S △OFG ， DE＝ FG ， ∴OP＝OQ ， OP⊥AC ， OQ⊥AB. ∴ 点 O 在 ∠BAC 的平分线上 . 1. B 2. B 3. 证明 ： ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴△BDE ， △DCF 是 直 角 三 角 形 . 在 Rt △BDE 与 Rt △DCF 中 ， BD=DC ， BE=CF F ， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF （ HL ） . ∴DE＝DF. 又 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴AD 是 △ABC 的角平分线 . 4. 解 ： ∵∠C＝36° ， ∠ABC＝110° ， ∴∠BAC＝180°- 36°-110°＝34°. ∵DE⊥AB 于 E ， DF⊥AC 于 F ， DE＝DF ， ∴AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝17°. ∴∠ADB＝180°-110°- 17°＝53°. 5. 证 明 ： （ 1 ） 在 △ACE 与 △BCD 中 ， ∵ CA=CB ， ∠ACB=∠DCE ， CE=CD F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACE≌ △BCD ， ∴AE＝BD. （ 2 ） 过 点 C 作 CG⊥AF ， CH⊥BD ， 垂足分别为 G ， H ， ∵ 由 （ 1 ） 知 ， △ACE≌△BCD ， ∴∠CAG＝∠CBH ， AC＝BC. 在 △ACG 与 △BCH 中 ， ∵ ∠CAG=∠CBH ， ∠AGC=∠BHC=90° ， AC=BC F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACG≌△BCH （ AAS ）， ∴CG＝CH ， ∴CF 平分 ∠AFD. 6. 解 ： （ 1 ） 根据尺规作角平分线的过程可知 ： 三 角形全等的判定方法是 SSS. （ 2 ） 小王的作法正确 . 理由 ： ∵PM⊥OM ， PN⊥ON ， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° . 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ， OP=OP ， OM=ON F ， ∴Rt△OMP≌ Rt△ONP （ HL ）， ∴∠MOP＝∠NOP ， ∴OP 平分 ∠AOB. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称 【 知识点 1 】 一条直线 直线两旁 直线 这 条直线 1. B 2. C 【 知识点 2 】 另一个图形 这条直线 重合 1. C 2. 2 【 知识点 3 】 中点 垂直于 【 知识点 4 】 对应点 对应点 C 【 例 1 】 4 【 例 2 】 130° 解析 ： ∵ 四边形 ABCD 是轴对称 图形 ， 直线 AC 是它的对称轴 ， ∴∠DAC=∠BAC= 65° ， ∠D=∠B=50°. ∴∠BCA=∠DCA=180°-65°- 50°=65°. ∴∠BCD 的大小为 65°×2=130°. 1. C 2. C 3. 4 4. D 5. 12:50 6. ①⑤ 7. 105° 8. 解 ： 所补画的图形如下所示 . 9. 解 ： 如图 ， 连接 AD 并延长 AD 到 P ， ∴ 该平面 图是轴对称图形 ， ∴AP 平分 ∠BAC ， DP 平分 ∠BDC ， ∴ 当 ∠BDC=2∠BDP=140° 时 ， 这个零部件才合格 . 当 ∠BDC= 150° 时 ， 这个零部件不合格 . 10. C 11. C 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 垂直平分线 两个端点 1. 5 2. 8 A B C D E F G O Q P 例题答图 A B C D E F H G 第 5 题答图 图 1 图 2 图 3 第 8 题答图 A B D C P 第 9 题答图 50