12.3 角的平分线的性质(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

全等三角形 第十二章 知识梳理 形成联系 【知识点】 角平分线的性质 ◎ 角的平分线上的点到角的两边的 相等. ◎ 三角形三条 的交点到三边的距离相等． 1. 如图 12.3-1 ， 在 Rt△ABC 中， ∠B=90° ， AD 平分 ∠BAC ， BD=2 ， 则点 D 到 AC 的距 离是 ． 2． 如图 12.3-2 ， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， 以点 A 为圆心， 适当长为半径画弧， 分别交 AC ， AB 于点 M ， N ， 再分别以点 M ， N 为圆心， 大于 1 2 MN 的长为半径画弧， 两弧交于点 P ， 作射线 AP 交 BC 于点 D ， CD=3 ， AB=14 ， 则 △ABD 的面积是 ． 3． 如图 12.3-3 ， 在 △ABC 中， ∠C＝90° ， AC＝BC ， AD 平分 ∠CAB ， 交 BC 于点 D ， DE⊥ AB 于点 E ， AB＝10 ， 则 △DEB 的周长为 （ ） A． 9 B． 5 C． 10 D． 不能确定 4． 如图 12.3-4 ， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， BE 平分 ∠ABC ， CD⊥AB ， 垂足为 D． （ 1 ） 若 ∠A＝38° ， 求 ∠BEC 的大小； （ 2 ） 若 BC＝12 ， DE＝4 ， 求 △BCE 的面积 ． 例题点拨 素养导向 【例】 如图 12.3-5 所示， OD 平分 ∠AOB ， OA＝OB ， P 是 OD 上一点， PM⊥BD 于点 M ， PN⊥AD 于点 N． 求证： PM＝PN． 12.3 角的平分线的性质 （第一课时） 图 12.3-1 图 12.3-2 图 12.3-3 图 12.3-4 A B C D A B C D M N P A B C D E A B C D E 43 八年级上册 （人教版）数学 【点拨】 由已知容易求证 △OBD≌△OAD （ SAS ）， 可得 ∠BDP=∠ADP ， 则可证 PM＝PN. 本题主要考查角的平分线性质定理， 由已知能够证明 △OBD≌△OAD 是解决问题的关键 ． 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ， BC=12 ， 点 D 到边 AB 的距离为 4 ， 则线段 BD 的长为 （ ） A． 4 B． 8 C． 10 D． 12 2． 如图， 在四边形 ABCD 中， ∠BCD=90° ， BD 平分 ∠ABC ， AB=6 ， BC=9 ， CD=4 ， 则四 边形 ABCD 的面积是 （ ） A． 24 B． 28 C． 30 D． 42 3． 如图， 在 △ABC 中， ∠C＝90° ， AD 平分 ∠BAC ， DE⊥AB 于点 E ， 点 F 在 AC 上 ， BD＝DF． 求证： （ 1 ） CF＝EB ； （ 2 ） AF+EB＝AE． 4． 如图， O 是 △ABC 的两条角平分线 BO ， CO 的交点， 过点 O 作 OD⊥BC 于点 D ， OD＝ 3 ， 若 △ABC 的周长是 24 ， 求 △ABC 的面积 ． 图 12.3-5 A B D O M N P 第 3 题图 第 2 题图第 1 题图 A B C D A B C D A B C D E F 第 4 题图 O A B C D 44 全等三角形 第十二章 能力提升 综合拓展 5． 如图， 在 △ABC 中， BD 平分 ∠ABC ， DG⊥AC 于点 G ， 点 G 为 AC 的中点， DE⊥BA 于点 E ， DF⊥BC 于点 F． 求证： AE＝CF． 中考链接 真题演练 6． （ 2022 ·临汾） 如图 1 所示， OC 是 ∠AOB 的平分线， P 是 OC 上任一点， 作 PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点 D 和点 E． 求证： PD＝PE ； 分析： 图中有两个直角三角形 PDO 和 PEO ， 只要证明这两个三角形全等， 便可证得 PD＝PE． （ 1 ） 请根据教材内容， 结合图 1 ， 补全定理的证明过程； （ 2 ） 【应用】 如图 2 ， 在 △ABC 中， ∠C＝90° ， AD 平分 ∠BAC ， DE⊥AB 于点 E ， 点 F 在 AC 上， BD＝DF ， 若 AB＝13 ， AF＝8 ， 求 CF 的长度 ． 第 5 题图 第 6 题图 A B C D E F G A B C D E O P A B C D E F 图 2图 1 45 参 考 答 案 AD 走了 40 步 ， ∴ 走完 DE 用了 50 步 ， 一步大约 50 cm ， 即 DE＝50×0.5 m＝25 m. 答 ： 小刚在点 A 处时他与电线 塔的距离为 25 m. 4. 解 ： 延长 DE 交 AB 于 F ， 则 ∠A+∠AEF＝90° ， ∠D+∠DEC＝90° . ∵∠AEF＝∠DEC （ 对顶角相等 ） ， ∴∠A＝∠D. 在 △ACN 和 △DEC 中 ， ∠A=∠D ， ∠ANC=∠DCE ， AC=DE E % % % % $ % % % % & ， ∴△ACN≌△DEC （ AAS ） . ∴NC＝CE. ∵CE＝2 m ， ∴CN 的长度是 2 m. 5. 解 ： 作 A′F⊥BD ， 垂足为 F. ∵AC⊥BD ， ∴∠ACB＝ ∠A′FB＝90° . 在 Rt△A′FB 中 ， ∴∠1+∠3＝90° ， 又 ∵A′B⊥AB ， ∴∠1+∠2＝90° . ∴∠2＝∠3. 在 △ACB 和 △BFA′ 中 ， ∠ACB=∠A′FB ， ∠2=∠3 ， AB=A′B E % % % % B % % % % & ， ∴ △ACB ≌ △BFA′ （ AAS ）， ∴A′F＝BC. ∵AC∥DE 且 CD⊥AC ， AE⊥DE ， ∴CD＝AE＝1.5 m. ∴BC＝BD-CD＝2.5-1.5＝1 （ m ）， ∴A′F＝ 1 （ m ）， 即 A′ 到 BD 的距离是 1 m. 6. 解 ： （ 1 ） 正确的顺序应是 ： ② 找一根长度大于 OA 的直杆 ， 使直杆斜靠在墙上 ， 且顶端与点 A 重合 ； ④ 记下直杆与地面的夹角 ∠ABO ； ③ 使直杆顶端缓慢 下滑 ， 直到 ∠DCO＝∠ABO ； ① 标记测试直杆的底端点 D ， 测量 OD 的长度 . 故答案为 D. （ 2 ） ∵AB＝CD ， ∠ABO＝∠DCO ， ∠AOB＝∠DOC ， ∴△ABO≌△CDO （ AAS ） . ∴OA＝OD. 故答案为 OD. （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 ， 在 △ABO 和 △CDO 中 ， ∠AOB=∠DOC ， ∠ABO=∠DCO ， AB=DC C % % % % B % % % % & ， ∴△ABO≌ △CDO （ AAS ） . ∴OA＝OD ， 即测量 OD 的长度 ， 就等 于 OA 的长度 ， 即点 A 的高度 . 12.3 角的平分线的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 距离 角平分线 1. 2 2. 21 3. C 4. 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB ＝90° ， ∠A ＝38° ， ∴ ∠ABC ＝90° - ∠A ＝52° . ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∴ ∠DBE＝ 1 2 ∠ABC＝26°. ∵CD⊥AB ， ∴∠EDB＝90°. ∴∠BEC＝∠DBE+∠EDB＝26°+90°＝116°. （ 2 ） 过 E 作 EF⊥BC 于 F ， ∵BE 平分 ∠ABC ， CD⊥AB ， EF ⊥BC ， DE ＝4 ， ∴EF ＝DE ＝4. ∵BC ＝12 ， ∴S △BCE ＝ 1 2 BC · EF＝ 1 2 ×12×4＝24. 【 例 】 证明 ： ∵OD 平分 ∠AOB ， ∴∠1＝∠2. 在 △OBD 和 △OAD 中 ， OB=OA ， ∠1=∠2 ， OD=OD E % % % % B % % % % & ， ∴ △OBD≌△OAD （ SAS ）， ∴∠3＝∠4. ∵PM⊥BD ， PN⊥AD ， ∴PM＝PN. 1. B 2. C 3. 证明 ： （ 1 ） ∵AD 平分 ∠BAC ， DE⊥AB ， ∠C＝ 90° ， ∴DC＝DE. 在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中 ， DF=DB ， DC=DE E ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB （ HL ） ， ∴CF＝EB. （ 2 ） 在 Rt△DCA 和 Rt△DEA 中 ， AD=AD ， DC=DE E ， ∴Rt△DCA≌ Rt△DEA （ HL ）， ∴AC＝AE ， ∴AF+FC＝AE ， 即 AF+BE＝ AE. 4. 解 ： 作 OE⊥AC ， OF⊥AB ， 连接 OA ， 垂足分 别 为 E ， F. ∵OB ， OC 分 别 平 分 ∠ABC 和 ∠ACB ， OD⊥BC ， OE⊥AC ， OF⊥AB ， ∴OD＝OE＝OF＝3. ∵△ABC 的周长是 24 ， ∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC +S △OAB ＝ 1 2 OD · BC+ 1 2 OE · AC+ 1 2 OF · AB= 1 2 OD ·（ BC+AC+AB ） = 1 2 ×3×24＝ 36. 5. 证明 ： 如图 ， 连接 AD ， CD ， ∵BD 平分 ∠ABC ， DE⊥AB ， DF⊥BC ， ∴DE＝DF. ∵DG⊥AC ， 点 G 为 AC 的中点 ， ∴AG=CG ， ∠AGD=∠CGD=90° ， ∴ 在 △AGD 和 △CGD 中 ， AG=GD ， ∠AGD=∠CGD=90° ， DG=DG C % % % % $ % % % % & ， ∴△AGD≌△CGD （ SAS ） ， ∴AD =CD. 在 Rt △ADE 和 Rt △CDF 中 ， AD=CD ， DE=DF E ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF （ HL ）， ∴AE=CF. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵OC 是 ∠AOB 的平分线 ， ∴∠POE＝ 地面 A B C D E A′ 3 F 1 2 第 5 题答图 A B D O M N P 2 1 4 3 例题答图 O A B C D F E 第 4 题答图 A B C D E F G 第 5 题答图 49 八年级上册 （ 人教版 ）数学 ∠POD. ∵PD⊥OA ， PE⊥OB ， ∴∠PEO＝∠PDO＝90°. 又 ∵OP ＝OP ， ∴△PDO≌△PEO （ AAS ） ， ∴PD ＝PE. （ 2 ） 解 ： ∵∠C ＝90° ， ∴DC⊥AC. ∵AD 平 分 ∠BAC ， DE⊥AB ， 同 （ 1 ） 法可得 △ACD≌△AED （ AAS ） . ∴AE＝AC ， DE＝DC. ∵DE⊥AB ， ∴∠DEB＝∠C＝90° . 又 ∵BD＝DF ， DE＝DC ， ∴△CDF≌△EDB （ HL ）， ∴CF＝BE. ∵AB＝AE+BE＝AC+CF ， AC＝AF+CF ， ∴AB＝AF+CF+CF. 即 13＝8+2CF ， ∴CF= 5 2 . 12.3 角的平分线的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 相等 三条角平分线的交点 1. 2 2. 35° 3. 90° 4. 证明 ： ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴∠BDF＝ ∠CEF ＝90° . 在 △BDF 和 △CEF 中 ， ∠DFB=∠EFC ， ∠BDF=∠CEF ， BF=CF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△BDF≌△CEF （ AAS ）， ∴DF＝ EF. 又 ∵CD⊥AB ， BE⊥AC ， ∴ 点 F 在 ∠BAC 的 平分线上 . 【 例 】 证 明 ： 作 OP⊥AC 于 P ， OQ⊥AB 于 Q ， ∵S △ODE ＝S △OFG ， DE＝ FG ， ∴OP＝OQ ， OP⊥AC ， OQ⊥AB. ∴ 点 O 在 ∠BAC 的平分线上 . 1. B 2. B 3. 证明 ： ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴△BDE ， △DCF 是 直 角 三 角 形 . 在 Rt △BDE 与 Rt △DCF 中 ， BD=DC ， BE=CF F ， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF （ HL ） . ∴DE＝DF. 又 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴AD 是 △ABC 的角平分线 . 4. 解 ： ∵∠C＝36° ， ∠ABC＝110° ， ∴∠BAC＝180°- 36°-110°＝34°. ∵DE⊥AB 于 E ， DF⊥AC 于 F ， DE＝DF ， ∴AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝17°. ∴∠ADB＝180°-110°- 17°＝53°. 5. 证 明 ： （ 1 ） 在 △ACE 与 △BCD 中 ， ∵ CA=CB ， ∠ACB=∠DCE ， CE=CD F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACE≌ △BCD ， ∴AE＝BD. （ 2 ） 过 点 C 作 CG⊥AF ， CH⊥BD ， 垂足分别为 G ， H ， ∵ 由 （ 1 ） 知 ， △ACE≌△BCD ， ∴∠CAG＝∠CBH ， AC＝BC. 在 △ACG 与 △BCH 中 ， ∵ ∠CAG=∠CBH ， ∠AGC=∠BHC=90° ， AC=BC F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACG≌△BCH （ AAS ）， ∴CG＝CH ， ∴CF 平分 ∠AFD. 6. 解 ： （ 1 ） 根据尺规作角平分线的过程可知 ： 三 角形全等的判定方法是 SSS. （ 2 ） 小王的作法正确 . 理由 ： ∵PM⊥OM ， PN⊥ON ， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° . 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ， OP=OP ， OM=ON F ， ∴Rt△OMP≌ Rt△ONP （ HL ）， ∴∠MOP＝∠NOP ， ∴OP 平分 ∠AOB. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称 【 知识点 1 】 一条直线 直线两旁 直线 这 条直线 1. B 2. C 【 知识点 2 】 另一个图形 这条直线 重合 1. C 2. 2 【 知识点 3 】 中点 垂直于 【 知识点 4 】 对应点 对应点 C 【 例 1 】 4 【 例 2 】 130° 解析 ： ∵ 四边形 ABCD 是轴对称 图形 ， 直线 AC 是它的对称轴 ， ∴∠DAC=∠BAC= 65° ， ∠D=∠B=50°. ∴∠BCA=∠DCA=180°-65°- 50°=65°. ∴∠BCD 的大小为 65°×2=130°. 1. C 2. C 3. 4 4. D 5. 12:50 6. ①⑤ 7. 105° 8. 解 ： 所补画的图形如下所示 . 9. 解 ： 如图 ， 连接 AD 并延长 AD 到 P ， ∴ 该平面 图是轴对称图形 ， ∴AP 平分 ∠BAC ， DP 平分 ∠BDC ， ∴ 当 ∠BDC=2∠BDP=140° 时 ， 这个零部件才合格 . 当 ∠BDC= 150° 时 ， 这个零部件不合格 . 10. C 11. C 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 垂直平分线 两个端点 1. 5 2. 8 A B C D E F G O Q P 例题答图 A B C D E F H G 第 5 题答图 图 1 图 2 图 3 第 8 题答图 A B D C P 第 9 题答图 50