12.2 三角形全等的判定(第三课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 １ 】 三角形全等的判定—— ASA ◎ 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形 （“角边角”或“ ”）． 1. 如图 12.2-13 ， 在 △DEC 和 △BFA 中， 点 A ， E ， F ， C 在同 一直线上 ， AB∥CD ， AB ＝CD ， 若 利 用 “ ASA ” 证 明 △DEC≌ △BFA ， 则需添加的条件是 （ ） A． EC＝FA B． ∠A＝∠C C． ∠D＝∠B D． BF＝DE 2． 如图 12.2-14 ， D 是 AC 上一点， AB＝DA ， DE∥AB ， ∠B＝∠DAE． 求证： BC＝AE． 【知识点 ２ 】 三角形全等的判定—— AAS ◎ 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 （“角角边”或 “ ”）． 如图 12.2-15 ， CA＝CD ， ∠B＝∠E ， ∠BCE＝∠ACD． 求证： AB＝DE． 例题点拨 素养导向 【例】 如图 12.2-16 ， 在四边形 ABCD 中 ， 点 E 在对角线 AC 上 ， AB∥DE ， ∠ACB＝ ∠EDA ， AB＝EA． 求证： AC＝ED． 12.2 三角形全等的判定 （第三课时） A B C D E F 图 12.2-13 A B C D E 图 12.2-14 图 12.2-15 A B C D E 34 全等三角形 第十二章 【点拨】 欲证明 AC＝ED ， 只要证明 △ABC≌△EAD 即可， 本题考查全等三角形的判定和 性质， 平行线的性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 正确寻找全等三角 形的全等的条件 ． 夯实四基 达标闯关 1． 如图， AC＝CE ， ∠ACE＝90° ， AB⊥BD ， ED⊥BD ， AB＝5 cm ， DE＝ 3 cm ， 则 BD 等于 （ ） A． 6 cm B． 8 cm C． 10 cm D． 4 cm 2． 如图， 在 △ABC 和 △DEF 中， ∠B＝∠DEF ， AB＝DE ， 添加下列一 个条件后， 仍然不能证明 △ABC≌△DEF ， 这个条件是 （ ） A． ∠A＝∠D B． BC＝EF C． ∠ACB＝∠F D． AC＝DF 3． 如图， 点 E ， C 在线段 BF 上， BE＝CF ， AB∥DE ， ∠ACB＝∠F． 求证： AC＝DF． 4． 如图， BE⊥AC ， CD⊥AB ， 垂足分别为 E ， D ， BE＝CD． 求证： AB＝AC． 第 2 题图 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 A B C D E A B C D E F A B C D E F A B C D E 图 12.2-16 A B C D E 35 八年级上册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 5． 如图， 点 B ， C 分别在 ∠MAN 的边 AM ， AN 上， 点 E ， F 都在 ∠MAN 内部的射线 AD 上， ∠1 ， ∠2 分别是 △ABE ， △CAF 的外角， 已知 AB＝AC ， ∠1＝∠2＝∠BAC． 求证： EF＝ BE-CF． 中考链接 真题演练 6． （ 2022 ·蓬莱） 综合与实践 ． 【积累经验】 （ 1 ） 我们在第十二章 《全等三角形》 中学习了全等三角形的性质和判定， 在一些探究题 中经常用以上知识转化角和边， 进而解决问题 ． 例如： 我们在解决： “如图 1 ， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， AC＝BC ， 线段 DE 经过点 C ， AD⊥DE 于点 D ， BE⊥DE 于点 E． 求证： AD＝CE ， CD＝BE． ” 这个问题时， 只要证明 △ADC≌△CEB 即可得到解决， 请写出证明过程； 【类比应用】 （ 2 ） 如图 2 ， 在平面直角坐标系中， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， AC＝BC ， 点 A 的坐标为 （ 0 ， 2 ）， 点 C 的坐标为 （ 1 ， 0 ）， 求点 B 的坐标 ． 【拓展提升】 （ 3 ） 如图 3 ， △ABC 在平面直角坐标系中， ∠ACB＝90° ， AC＝BC ， 点 A 的坐标为 （ 2 ， 1 ）， 点 C 的坐标为 （ 4 ， 2 ）， 则点 B 的坐标为 ． 第 6 题图 A B C D E F N 1 2 第 5 题图 图 1 图 2 图 3 A B C D E O x y A B C O x y A B C M 36 参 考 答 案 （ SAS ） . ∴∠CAE＝∠CBD. ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝ 90° ， ∴∠CBD+∠EAB +∠ABC ＝90° ， ∴∠AFB ＝90° . ∴AE⊥BD. （ 2 ） 解 ： ∵∠ACB ＝∠DCE ＝60° ， ∴ ∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE ， 即 ∠ACE＝∠BCD. 在 △ACE 和 △BCD 中 ， AC=BC ， ∠ACE=∠BCD ， CE=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴ △ACE ≌ △BCD （ SAS ） ， ∴∠CAE＝∠CBD. ∵∠CAE+∠EAB+ ∠ABC＝120° ， ∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝120°. ∴∠AFB＝ 60°. （ 3 ） 解 ： ∵∠ACB＝∠DCE＝α ， ∴∠ACB+∠BCE＝ ∠DCE+∠BCE ， 即 ∠ACE＝∠BCD. 在 △ACE 和 △BCD 中 ， AC=BC ， ∠ACE=∠BCD ， CE=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴△ACE≌△BCD （ SAS ） . ∴ ∠CAE＝∠CBD. ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°-α ， ∴ ∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°-α. ∴∠AFB＝∠ACB＝α. ∴ ∠AFD＝180°-α. 7. （ 1 ） 证明 ： ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝∠CAD. 在 △ADE 和 △ADC 中 ， ∵AE ＝AC ， ∠EAD ＝∠CAD ， ∴AD＝AD （ 公共边 ） . ∴△ADE≌△ADC （ SAS ） . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， △ADE≌△ADC ， ∴DE＝DC （ 全 等三角形的对应边相等 ） . ∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝ 5 （ cm ） . 12.2 三角形全等的判定 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 全等 ASA 1. C 2. 证明 ： ∵DE∥AB ， ∴∠EDA＝∠BAC. 在 △ABC 与 △DAE 中 ， ∠B=∠DAE ， AB=DA ， ∠CAB=∠EDA D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABC≌ △DAE （ ASA ） . ∴BC＝AE. 【 知识点 2 】 全等 AAS 解 ： ∵∠BCE＝∠ACD ， ∴∠ACB＝∠DCE. 在 △ABC 与 △DEC 中 ， ∠ACB=∠DCE ， ∠B=∠E ， CA=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABC≌ △DEC （ AAS ） . ∴AB＝DE. 【 例 】 证明 ： ∵AB∥DE ， ∴∠BAC＝∠AED. 在 △ABC 和 △EAD 中 ， ∠ACB=∠ADE ， ∠BAC=∠AED ， AB=AE D & & & & % & & & & ' ， ∴ △ABC≌△EAD. ∴AC＝ED. 1. B 2. D 3. 证明 ： ∵AB∥ED ， ∴∠ABC＝∠DEF. ∵BE＝CF ， ∴BC ＝EF. 在 △ABC 与 △DEF 中 ， ∠ABC=∠DEF ， BC=EF ， ∠ACB=∠F D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABC≌△DEF （ ASA ）， ∴AC＝DF. 4. 证明 ： ∵BE⊥AC ， CD⊥AB ， ∴∠ADC＝∠AEB= 90°. 在 △ABE 和 △ACD 中 ， ∠A=∠A ， ∠AEB=∠ADC ， BE=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABE≌ △ACD （ AAS ） . ∴AB＝AC. 5. 证明 ： ∵∠1＝∠2＝∠BAC ， ∠1＝∠BAE+∠ABE ， ∠BAC ＝∠BAE +∠CAF ， ∴∠AEB ＝∠CFA ， ∠ABE ＝ ∠CAF. 在 △ABE 和 △CAF 中 ， ∠AEB=∠CFA ， ∠ABE=∠CAF ， AB=AC D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABE≌△CAF （ AAS ）， ∴BE＝AF ， CF＝AE ， ∴EF＝ BE-CF. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵∠ACB＝90° ， ∴∠ACD+∠BCE＝ 90°. ∵AD⊥DE 于 D ， BE⊥DE 于 E ， ∴∠ADC＝∠CEB＝ 90° ， ∠BCE+∠CBE＝90° ， ∴∠ACD＝∠CBE. 在 △ADC 和 △CEB 中 ， ∠ADC=∠CEB ， ∠ACD=∠CBE ， AC=CB D & & & & % & & & & ' ， ∴ △ADC ≌ △CEB （ AAS ） . ∴AD＝CE ， DC＝BE. （ 2 ） 解 ： 过 B 作 BD⊥x 轴于 D ， 如题图 1 所示 ， ∵A （ 0 ， 2 ）， C （ 1 ， 0 ）， ∴OA＝ 2 ， OC＝1. ∵∠ACO+∠CAO＝90° ， ∠ACO+∠BCD＝90° ， ∴ ∠CAO ＝ ∠BCD. 在 △AOC 和 △CDB 中 ， ∠AOC=∠CDB=90° ， ∠CAO=∠BCD ， AC=CB D & & & & % & & & & ' ， ∴ △AOC ≌ △CDB （ AAS ） . ∴DB＝OC＝1 ， CD＝AO＝2. ∴OD＝OC+CD＝3. ∴ 点 B 的坐 标为 （ 3 ， 1 ） . （ 3 ） 解 ： 如题图 2 ， 过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F ， 过点 B 作 BE⊥CF 交 FC 的延长线于点 E ， 过 点 A 作 AD⊥CF 于 点 D ， 由 （ 1 ） （ 2 ） 可 得 △ACD≌△CBE ， ∴BE＝CD ， AD＝CE. ∵A （ 2 ， 1 ）， C （ 4 ， 2 ）， ∴AD＝CE＝2 ， DF＝1. ∴CD＝BE＝1. ∴ 点 B 的纵坐标 为 CE+CF＝2+2＝4 ， 横坐标为 4-1＝3. ∴B （ 3 ， 4 ） . 图 1 图 2 O x y A B C D O x y A B C E D F 第 6 题答图 47