12.2 三角形全等的判定(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

全等三角形 第十二章 知识梳理 形成联系 【知识点 １ 】 三角形全等的判定—— SAS ◎ 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形 （“边角边”或“ ”）． 1. 如图 12.2-7 ， AB 与 CD 相交于点 E ， AE＝CE ， 如果根据 “ SAS ” 可以判定 △ADE≌ △CBE ， 那么只需要补充一个条件 ． 2． 如图 12.2-8 ， 点 E ， F 在 AC 上， AD＝BC ， DF＝BE ， 要使 △ADF≌△CBE ， 还需要添加 的一个条件是 （ ） A． AD∥BC B． DF∥BE C． ∠A＝∠C D． ∠D＝∠B 【知识点 ２ 】 利用三角形全等证边角关系 ◎ “边角边”判定三角形全等，再利用全等三角形性质得出对应边相等、对应角相等. 1. 如图 12.2-9 ， BC=BD ， ∠ABC=∠ABD=50° ， ∠C=100° ， 那么 ∠BAD 的度数为 ． 2． 如图 12.2-10 ， AB＝AE ， AC＝AD ， 下列条件中不能判定 △ABC≌△AED 的是 （ ） A． BC＝ED B． ∠BAD＝∠EAC C． ∠B＝∠E D． ∠BAC＝∠EAD 3． 如图 12.2-11 ， 在 △ABC 和 △ADE 中， AB＝AD ， AC＝AE ， ∠1＝∠2． 求证： BC＝DE． 12.2 三角形全等的判定 （第二课时） 图 12.2-7 图 12.2-8 A B C D E A B C D E F 图 12.2-9 图 12.2-10 A B C D A B C D E A B C D E 1 2 图 12.2-11 31 八年级上册 （人教版）数学 例题点拨 素养导向 【例】 如图 12.2-12 ， DE⊥AB ， CF⊥AB ， 垂足分别是点 E ， F ， DE＝CF ， AE＝BF． 求证： AC∥BD． 【点拨】 欲证明 AC∥BD ， 只要证明 ∠A＝∠B ， 只要证明 △DEB≌△CFA 即可， 本题考查 全等三角形的判定和性质， 平行线的性质和判定等知识， 解题的关键是熟练掌握全等三角形 的判定方法 ． 夯实四基 达标闯关 1． 如图， AD＝BC ， 要得到 △ABD 和 △CDB 全等， 可以添加的条件是 （ ） A． AB∥CD B． AD∥BC C． ∠A＝∠C D． ∠ABC＝∠CDA 2． 如图， 已知方格纸中是 4 个相同的小正方形， 则 ∠1+∠2 的度数为 （ ） A． 30° B． 45° C． 60° D． 90° 3． 如图， AB＝AC ， AD＝AE ， ∠BAC＝∠DAE ， ∠1＝22° ， ∠2＝34° ， 则 ∠3＝ ． 4． 如图， AB＝AD ， AC＝AE ， ∠DAB＝∠EAC． 试说明 DE＝BC． 第 3 题图第 2 题图第 1 题图 第 4 题图 A B C D E F 图 12.2-12 A B C D A B C D E 1 2 A B C D E 1 3 2 A B C D E 32 全等三角形 第十二章 5． 如图， 点 E ， F 在 BC 上， BE＝FC ， AB＝DC ， ∠B＝∠C． 求证： ∠A＝∠D． 能力提升 综合拓展 6． 已知在 △ABC 和 △ECD 中， CA＝CB ， CD＝CE ， ∠ACB＝∠DCE＝α ， AE 与 BD 交于点 F． （ 1 ） 如图 1 ， 当 α＝90° 时， 求证： ①△ACE≌△BCD ； ②AE⊥BD ； （ 2 ） 如图 2 ， 当 α＝60° 时， 直接写出 ∠AFB 的度数为 ； （ 3 ） 如图 3 ， 直接写出 ∠AFD 的度数为 （用含 α 的式子表示） ． 中考链接 真题演练 7． （ 2023 ·宁海） 如图， 在 △ABC 中， AD 平分 ∠BAC ， 在 AB 上截取 AE＝AC ， 连接 DE ， 已知 DE＝2 cm ， BD＝3 cm. （ 1 ） 试说明 △AED≌△ACD ； （ 2 ） 求线段 BC 的长 ． 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 A B C D E F A B C D E A B C D E F A B C D E F A B C D E F 图 1 图 2 图 3 33 八年级上册 （ 人教版 ）数学 1. B 2. C 3. 49° 4. （ 1 ） 证 明 ： ∵△ABC≌ △ADE ， ∴∠BAC ＝ ∠DAE ， ∴∠BAC-∠BAE＝∠DAE-∠BAE ， ∴∠CAE＝ ∠BAD. （ 2 ） 解 ： ∵△ABC≌△ADE ， ∴∠D＝∠B. ∵ ∠AFD ＝∠EFB ， ∠D +∠BAD +∠AFD ＝180° ， ∠B + ∠EFB+∠BED＝180° ， ∴∠BED＝∠BAD. ∵∠BAD＝35° ， ∴∠BED＝35°. 5. （ 1 ） 解 ： DE＝CE+BC. 理由 ： ∵△ABC≌△DAE ， ∴AE＝BC ， DE＝AC. ∵A ， E ， C 三点在同一直线上 ， ∴AC＝AE+CE ， ∴DE＝CE+BC. （ 2 ） 当 △ADE 满足 ∠AED＝90° 时 ， DE∥BC. 证明 ： ∵△ABC≌△DAE ， ∠AED＝90° ， ∴∠C＝∠AED＝90° ， ∠DEC＝180°-∠AED＝ 90° ， ∴∠C＝∠DEC ， ∴DE∥BC. 即当 △ADE 满足 ∠AED＝ 90° 时 ， DE∥BC. 6. B 7. B 12.2 三角形全等的判定 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 全等 SSS 1. D 2. C 【 知识点 2 】 1. C 2. 80° 3. 证明 ： ∵BE＝CF ， ∴BC＝EF. 在 △ABC 与 △DEF 中 ， AB=DE ， AC=DF ， BC=EF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABC≌△DEF （ SSS ）， ∴∠ABC＝∠DEF ， ∴AB∥DE. 【 例 】 证明 ： ∵AF＝CD ， ∴AF+CF＝CD+CF ， 即 AC ＝DF. 在 △ABC 和 △DEF 中 ， AB=DE ， BC=EF ， AC=DF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ABC≌△DEF （ SSS ） . ∴∠ACB＝∠DFE. 1. 127° 2. D 3. D 4. 证明 ： ∵AD＝BF ， ∴AD+DB＝BF+DB ， ∴AB＝DF. 在 △ACB 和 △FED 中 ， AB=DF ， AC=EF ， CB=DE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACB≌△FED （ SSS ） . ∴∠A＝∠F. ∴AC∥EF. 5. 证 明 ： 连 接 BC ， 在 △ABC 和 △DCB 中 ， AB=DC ， AC=DB ， BC=CB F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABC≌△DCB （ SSS ） . ∴∠A ＝∠D. ∵ ∠AOB＝∠DOC ， ∴∠ABO＝∠DCO. 6. （ 1 ） 解 ： ∵ 在 △ABC 和 △ADE 中 ， BC=DE ， AB=AD ， AC=AE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ABC≌△ADE （ SSS ） . （ 2 ） 证明 ： ∵△ABC≌ △ADE ， ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC-∠DAC＝∠DAE- ∠DAC. ∴∠BAD＝∠EAC. ∵△ABC≌△ADE ， ∴∠E＝ ∠C. ∵∠AOE ＝∠DOC ， ∠E +∠AOE +∠EAC ＝180° ， ∠C+∠DOC+∠CDE＝180° ， ∴∠CDE＝∠EAC. ∵∠BAD＝ ∠EAC ， ∴∠CDE＝∠BAD. 7. 解 ： （ 1 ） ∵ 在 △ADE 和 △CBF 中 ， AE=CF ， AD=BC ， DE=BF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ADE≌△CBF （ SSS ）， ∴∠D＝∠B. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， △ADE≌ △CBF. ∴ ∠AED ＝ ∠CFB. ∵ ∠AED + ∠AEO＝180° ， ∠CFB+∠CFO＝180° ， ∴∠AEO＝∠CFO ， ∴AE∥CF. 12.2 三角形全等的判定 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 全等 SAS 1. DE＝BE 2. D 【 知识点 2 】 1. 30° 2. C 3. 证明 ： ∵∠1＝∠2 ， ∴∠1+∠DAC＝∠2+ ∠DAC ， ∴∠BAC＝∠DAE ， 在 △BAC 和 △DAE 中 ， AB=AD ， ∠BAC=∠DAE ， AC=AE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△BAC≌△DAE （ SAS ）， ∴BC＝DE. 【 例 】 证明 ： ∵DE⊥AB ， CF⊥AB ， ∴∠DEB＝ ∠AFC ＝90° . ∵AE ＝BF ， ∴AF ＝BE. 在 △DEB 和 △CFA 中 ， DE=CF ， ∠DEB=∠AFC ， BE=AF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△DEB≌△CFA （ SAS ） . ∴∠A＝∠B ， ∴AC∥DB. 1. B 2. D 3. 56° 4. 解 ： ∵ ∠DAB ＝ ∠EAC ， ∴ ∠DAB - ∠DAC ＝ ∠EAC-∠DAC ， 即 ∠EAD＝∠CAB. 在 △ACB 和 △AED 中 ， AB=AD ， ∠CAB=∠EAD ， AC=AE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ACB ≌ △AED （ SAS ） . ∴BC＝DE. 5. 证明 ： ∵BE＝FC ， ∴BE+EF＝CF+EF ， 即 BF＝CE. 在 △ABF 和 △DCE 中 ， BF=CE ， ∠B=∠C ， AB=DC F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABF≌△DCE （ SAS ）， ∴∠A＝∠D. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵∠ACB＝∠DCE＝90° ， ∴∠ACB+ ∠BCE＝∠DCE+∠BCE ， 即 ∠ACE＝∠BCD. ∴ 在 △ACE 和 △BCD 中 ， AC=BC ， ∠ACE=∠BCD ， CE=CD F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ACE ≌ △BCD 46 参 考 答 案 （ SAS ） . ∴∠CAE＝∠CBD. ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝ 90° ， ∴∠CBD+∠EAB +∠ABC ＝90° ， ∴∠AFB ＝90° . ∴AE⊥BD. （ 2 ） 解 ： ∵∠ACB ＝∠DCE ＝60° ， ∴ ∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE ， 即 ∠ACE＝∠BCD. 在 △ACE 和 △BCD 中 ， AC=BC ， ∠ACE=∠BCD ， CE=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴ △ACE ≌ △BCD （ SAS ） ， ∴∠CAE＝∠CBD. ∵∠CAE+∠EAB+ ∠ABC＝120° ， ∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝120°. ∴∠AFB＝ 60°. （ 3 ） 解 ： ∵∠ACB＝∠DCE＝α ， ∴∠ACB+∠BCE＝ ∠DCE+∠BCE ， 即 ∠ACE＝∠BCD. 在 △ACE 和 △BCD 中 ， AC=BC ， ∠ACE=∠BCD ， CE=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴△ACE≌△BCD （ SAS ） . ∴ ∠CAE＝∠CBD. ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°-α ， ∴ ∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°-α. ∴∠AFB＝∠ACB＝α. ∴ ∠AFD＝180°-α. 7. （ 1 ） 证明 ： ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝∠CAD. 在 △ADE 和 △ADC 中 ， ∵AE ＝AC ， ∠EAD ＝∠CAD ， ∴AD＝AD （ 公共边 ） . ∴△ADE≌△ADC （ SAS ） . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ， △ADE≌△ADC ， ∴DE＝DC （ 全 等三角形的对应边相等 ） . ∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝ 5 （ cm ） . 12.2 三角形全等的判定 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 全等 ASA 1. C 2. 证明 ： ∵DE∥AB ， ∴∠EDA＝∠BAC. 在 △ABC 与 △DAE 中 ， ∠B=∠DAE ， AB=DA ， ∠CAB=∠EDA D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABC≌ △DAE （ ASA ） . ∴BC＝AE. 【 知识点 2 】 全等 AAS 解 ： ∵∠BCE＝∠ACD ， ∴∠ACB＝∠DCE. 在 △ABC 与 △DEC 中 ， ∠ACB=∠DCE ， ∠B=∠E ， CA=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABC≌ △DEC （ AAS ） . ∴AB＝DE. 【 例 】 证明 ： ∵AB∥DE ， ∴∠BAC＝∠AED. 在 △ABC 和 △EAD 中 ， ∠ACB=∠ADE ， ∠BAC=∠AED ， AB=AE D & & & & % & & & & ' ， ∴ △ABC≌△EAD. ∴AC＝ED. 1. B 2. D 3. 证明 ： ∵AB∥ED ， ∴∠ABC＝∠DEF. ∵BE＝CF ， ∴BC ＝EF. 在 △ABC 与 △DEF 中 ， ∠ABC=∠DEF ， BC=EF ， ∠ACB=∠F D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABC≌△DEF （ ASA ）， ∴AC＝DF. 4. 证明 ： ∵BE⊥AC ， CD⊥AB ， ∴∠ADC＝∠AEB= 90°. 在 △ABE 和 △ACD 中 ， ∠A=∠A ， ∠AEB=∠ADC ， BE=CD D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABE≌ △ACD （ AAS ） . ∴AB＝AC. 5. 证明 ： ∵∠1＝∠2＝∠BAC ， ∠1＝∠BAE+∠ABE ， ∠BAC ＝∠BAE +∠CAF ， ∴∠AEB ＝∠CFA ， ∠ABE ＝ ∠CAF. 在 △ABE 和 △CAF 中 ， ∠AEB=∠CFA ， ∠ABE=∠CAF ， AB=AC D & & & & % & & & & ' ， ∴△ABE≌△CAF （ AAS ）， ∴BE＝AF ， CF＝AE ， ∴EF＝ BE-CF. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵∠ACB＝90° ， ∴∠ACD+∠BCE＝ 90°. ∵AD⊥DE 于 D ， BE⊥DE 于 E ， ∴∠ADC＝∠CEB＝ 90° ， ∠BCE+∠CBE＝90° ， ∴∠ACD＝∠CBE. 在 △ADC 和 △CEB 中 ， ∠ADC=∠CEB ， ∠ACD=∠CBE ， AC=CB D & & & & % & & & & ' ， ∴ △ADC ≌ △CEB （ AAS ） . ∴AD＝CE ， DC＝BE. （ 2 ） 解 ： 过 B 作 BD⊥x 轴于 D ， 如题图 1 所示 ， ∵A （ 0 ， 2 ）， C （ 1 ， 0 ）， ∴OA＝ 2 ， OC＝1. ∵∠ACO+∠CAO＝90° ， ∠ACO+∠BCD＝90° ， ∴ ∠CAO ＝ ∠BCD. 在 △AOC 和 △CDB 中 ， ∠AOC=∠CDB=90° ， ∠CAO=∠BCD ， AC=CB D & & & & % & & & & ' ， ∴ △AOC ≌ △CDB （ AAS ） . ∴DB＝OC＝1 ， CD＝AO＝2. ∴OD＝OC+CD＝3. ∴ 点 B 的坐 标为 （ 3 ， 1 ） . （ 3 ） 解 ： 如题图 2 ， 过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F ， 过点 B 作 BE⊥CF 交 FC 的延长线于点 E ， 过 点 A 作 AD⊥CF 于 点 D ， 由 （ 1 ） （ 2 ） 可 得 △ACD≌△CBE ， ∴BE＝CD ， AD＝CE. ∵A （ 2 ， 1 ）， C （ 4 ， 2 ）， ∴AD＝CE＝2 ， DF＝1. ∴CD＝BE＝1. ∴ 点 B 的纵坐标 为 CE+CF＝2+2＝4 ， 横坐标为 4-1＝3. ∴B （ 3 ， 4 ） . 图 1 图 2 O x y A B C D O x y A B C E D F 第 6 题答图 47