12.2 三角形全等的判定(第五课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 １ 】 三角形全等的性质 ◎ 全等三角形对应边 ，对应角 ． 1. 如图 12.2-23 ， △ACB≌△A′CB′ ， ∠BCB′=30° ， 则 ∠ACA′ 的度数为 （ ） A． 25° B． 30° C． 35° D． 40° 2． 如图 12.2-24 ， 小李利用全等三角形的知识测量池塘两端 A ， B 之间的距离， 如果 △AOB≌△COD ， 则只需测出 （ ） A． OD 的长度 B． CD 的长度 C． AB 的长度 D． AC 的长度 【知识点 ２ 】 三角形全等的性质与判定综合运用 （ 1 ） 如图 12.2-25 ， 从 C 地看 A ， B 两地的视角 ∠C 是锐角， 从 C 地到 A ， B 两地的距离 相等， A 地到路段 BC 的距离 AD 与 B 地到路段 AC 的距离 BE 相等吗？ 为什么？ （ 2 ） 在 （ 1 ） 的条件下， 若从 A 地看 D ， B 两地的视角 ∠DAB＝24° ， 求 ∠C 的度数 ． 例题点拨 素养导向 【例】 如图 12.2-26 所示， 两根旗杆间相距 12 m ， 某人从 B 点沿 BA 走向 A ， 一定时间后到达点 M ， 此时他仰望旗杆的顶点 C 和 D ， 两次视 线的夹角为 90° ， 且 CM＝DM ， 已知旗杆 AC 的高为 3 m ， 该人的运动速 度为 1 m/s ， 求这个人运动了多长时间 . 【点拨】 本题的基础仍然是证明两个三角形全等， 根据 ∠CMD＝90° ， 利用互余关系可以 得出 ∠ACM＝∠DMB ， 证明三角形全等的另外两个条件容易看出， 利用全等的性质可求得 AC＝BM＝3 ， 从而求得运动时间 . 解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件， 对应 12.2 三角形全等的判定 （第五课时） 图 12.2-24 图 12.2-23 A B C A′ B′ A B CD O A B C D E 图 12.2-25 图 12.2-26 A B C D M 40 全等三角形 第十二章 角相等， 并巧妙地借助两个三角形全等， 寻找所求线段与已知线段之间的等量关系， 本题的 关键是求得 Rt△ACM≌Rt△BMD． 夯实四基 达标闯关 1． 如图， 有两个长度相同的梯子靠在同一面墙上， 已知左边梯子 的高度 AC 与右边梯子的水平长度 DF 相等， 则可判定 △ABC≌△DEF ， 依据是 ． （填简写符号即可） 2． 如图， 为了测量池塘两岸 A ， B 间的距离， 在 B 点同侧选取点 C ， 经测量 ∠ACB＝30° ， 然后在 BC 的一侧找到一点 D ， 使得 BC 为 ∠ABD 的平分线， 且 ∠DCB＝30° ， 若 BD 的长为 8 m ， 则池塘两岸 A ， B 之间的距离为 ． 3． 如图， 小王站在河边的 A 点处， 在河的对面 （小王的正北方向） 的 B 处有一电线塔， 他想知道电线塔离他有多远， 于是他向正西方向 走了 20 步到达一棵树 C 处， 接着再向前走了 20 步到达 D 处， 然后他左转 90° 直行， 当小王 看到电线塔、 树在一条直线时 （即电线塔、 树与自己所处的位置 E 在一条直线上）， 他一共 走了 90 步， 如果小王一步大约 50 cm ， 估计小王在点 A 处时他与电线塔的距离为多少米 ． 4． 如图， AM 是一段斜坡， AB 是水平线， 小李为了测斜坡上一点 C 的竖直高度 CN ， 他 在点 C 处立上一根竹竿 CD ， 竹竿 CD 垂直于斜坡 AM ， 在竿顶点 D 处垂下一根绳子 DE ， 与 斜坡 AM 的交点是 E ， 当 DE＝AC 时， 测得 CE＝2 m ， 求 CN 的高度 ． 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 AB C D E F A B C D A B C D E N M 北 AC B 41 八年级上册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 5． 如图是小朋友荡秋千的侧面示意图， 静止时秋千位于铅垂线 BD 上， 转轴 B 到地面的 距离 BD＝2.5 m． 小朋友在荡秋千过程中， 当秋千摆动到最高点 A 时， 测得点 A 到 BD 的距离 AC＝1.5 m ， 点 A 到地面的距离 AE＝1.5 m ， 当他从 A 处摆动到 A′ 处时， 若 A′B⊥AB ， 求 A′ 到 BD 的距离 ． 中考链接 真题演练 6． （ 2023 ·南阳） 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书， 请仔细阅读， 并完成相应的任务 ． 任务： （ 1 ） 由于项目记录员粗心， 记录排乱了 “解决过程”， 正确的顺序应是 ； A． ②→③→①→④ B． ③→④→①→② C． ①→②→④→③ D． ②→④→③→① （ 2 ） 线段 的长度即为点 A 的高度； （ 3 ） 请你说明他们作法的正确性 ． 地面 A B C D E A′ 第 5 题图 项目课题 探究用全等三角形解决 “不用直接测量， 得到高度” 的问题 问题提出 墙上有一点 A ， 在无法直接测量的情况下， 如何得到点 A 的高度 项目图纸 解决过程 ① 标记测试直杆的底端点 D ， 测量 OD 的长度； ② 找一根长度大于 OA 的直杆， 使直杆斜 靠在墙上， 且顶端与点 A 重合； ③ 使直杆顶端缓慢下滑， 直到 ∠DCO＝∠ABO ； ④ 记下直 杆与地面的夹角 ∠ABO 项目数据 … A B C D O 42 八年级上册 （ 人教版 ）数学 12.2 三角形全等的判定 （ 第四课时 ） 【 知识点 1 】 全等 HL 1. D 2. A 3. B 【 知识点 2 】 1. C 2. 证明 ： ∵CE＝DA ， ∴AC＝ED. ∵BC⊥AE 于 C ， FD⊥AE 于 D ， ∴ 在 Rt△ABC 与 Rt△EFD 中 ， AB=EF ， AC=ED D ， ∴Rt△ABC≌Rt△EFD （ HL ）， ∴∠A＝ ∠E ， ∴AB∥EF. 【 例 】 证 明 ： （ 1 ） ∵DG⊥BC ， EF⊥BC ， ∴∠DGC＝∠EFB＝90° . 在 Rt△DGC 和 Rt△EFB 中 ， CD=BE ， DG=EF D ， ∴Rt△DGC≌Rt△EFB （ HL ） . （ 2 ） ∵Rt△DGC≌Rt△EFB ， ∴∠BCD＝∠CBE. ∵BC＝ CB ， CD＝BE ， ∴△BDC≌△CEB （ SAS ） . ∴BD＝CE. 1. HL 2. D 3. 证明 ： ∵AC⊥BC ， BD⊥AD ， ∴∠ACB＝∠BDA＝ 90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中 ， AB=BA ， AC=BD D ， ∴Rt△ABC≌ Rt△BAD （ HL ） . ∴∠ABC＝∠BAD. 4. 证明 ： 连接 OC ， OD ， ∵OA⊥AC ， OB⊥BD ， ∴∠A＝∠B＝90°. 在 △OAC 和 △OBD 中 ， AO=BO ， ∠A=∠B ， AC=BD D ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△OAC≌△OBD （ SAS ） . ∴∠AOC＝∠BOD ， OC＝OD. ∵OM⊥CD ， ∴∠OMC ＝∠OMD ＝90° . 在 Rt△OMC 和 Rt△OMD 中 ， OC=OD ， OM=OM M ， ∴Rt△OMC≌Rt△OMD （ HL ） . ∴∠COM＝∠DOM. ∴∠AOC+∠COM＝∠BOD+∠DOM ， ∴∠AOM＝∠BOM ， 即 OM 平分 ∠AOB. 5. （ 1 ） 证明 ： ∵∠C＝90° ， DE⊥AB 于 E ， ∴∠DEA＝ ∠C＝90°. ∵AD 是 ∠BAC 的平分线 ， ∴∠CAD＝∠EAD ， ∵AD ＝AD ， ∴△ACD≌△AED ， ∴DC ＝DE. ∵BD ＝DF ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB （ HL ） ， ∴CF＝EB. （ 2 ） 解 ： ∵DE⊥AB ， ∴∠DEB＝∠C＝90°. 在 Rt△DEB 和 Rt△DCF 中 ， BD=FD ， ED=CD D ， ∴Rt△DEB≌Rt△DCF （ HL ）， ∴EB＝CF. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADC 中 ， AD=AD ， ED=CD D ， ∴Rt△ADE≌ Rt△ADC （ HL ）， ∴AE＝AC ， ∴AB-EB＝AF+CF ， ∴AB＝ AF+CF+EB＝AF+2EB＝2+2＝4. 6. （ 1 ） ① 证明 ： 如图 1 ， 过点 P 作 PE⊥x 轴于 E ， 作 PF⊥y 轴于 F ， ∴PE⊥PF. ∵P （ 4 ， 4 ）， ∴PE＝PF＝4. 在 Rt△APE 和 Rt△BPF 中 ， PA=PB ， PE=PF D ， ∴Rt△APE≌ Rt△BPF （ HL ）， ∴∠APE＝∠BPF ， ∴∠APB＝∠APE+ ∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90° ， ∴PA⊥PB. ② 解 ： ∵Rt△APE≌Rt△BPF ， ∴BF＝AE. ∵OA＝OE+AE ， OB＝ OF-BF ， ∴OA+OB＝OE+AE+OF-BF＝OE+OF＝4+4＝8. （ 2 ） 解 ： ① 如图 2 ， 过点 P 作 PE⊥x 轴于 E ， 作 PF⊥y 轴于 F ， 同理得 Rt△APE≌Rt△BPF （ HL ）， ∴AE＝BF. ∵AE＝OA-OE＝OA-4 ， BF＝OB+OF＝OB+4 ， ∴OA-4＝OB+ 4. ∴OA-OB＝8. ②∵PE＝PF＝4 ， PE⊥x 轴于 E ， 作 PF⊥ y 轴于 F ， ∴ 四边形 OEPF 是正方形 ， ∴OE＝OF＝4. ∵A （ 10 ， 0 ）， ∴OA＝10. ∴AE＝OA-OE＝10-4＝6. ∵Rt△APE≌ Rt△BPF ， ∴AE＝BF＝6. ∴OB＝BF-OF＝6-4＝2. ∴ 点 B 的 坐标为 （ 0 ， -2 ） . 12.2 三角形全等的判定 （ 第五课时 ） 【 知识点 1 】 相等 相等 1. B 2. B 【 知识点 2 】 解 ： （ 1 ） AD＝BE. 理由如下 ： ∵CA ＝CB ， ∴∠CAB ＝∠CBA. ∵AD⊥BC ， BE⊥ AC ， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°. 又 ∵AB＝BA ， ∴△ADB≌ △BEA （ AAS ） . ∴AD＝BE. （ 2 ） ∵∠DAB＝24° ， AD⊥BC ， ∴∠ABC＝90°-24°＝66° . 又 ∵CA＝CB ， AD ＝BE ， ∴△ADB≌△BEA （ HL ） ， ∴∠ABC ＝ ∠BAC＝66°. ∴∠C＝180°-66°-66°＝48°. 【 例 】 解 ： ∵∠CMD＝90° ， ∴∠CMA+∠DMB＝ 90°. 又 ∵∠CAM＝90° ， ∴∠CMA+∠ACM＝90° ， ∴ ∠ACM＝∠DMB. 在 Rt△ACM 和 Rt△BMD 中 ， ∠CAM=∠DBM ， ∠ACM=∠DMB ， CM=MD D ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴Rt△ACM≌Rt△BMD （ AAS ）， ∴AC＝BM＝3. ∴ 他到达点 M 时 ， 运动时间为 3÷1＝ 3 （ s ） . 答 ： 这人运动了 3 s. 1. HL 2. 8 3. 解 ： 所画示意图如图所示 . 由题意知 ， AC＝DC＝20 步 ， 在 △ABC 和 △DEC 中 ， ∠D=∠A ， DC=AC ， ∠DCE=∠ACB D ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴△ABC≌△DEC （ ASA ） . ∴AB＝ DE ， 又 ∵ 小刚共走了 90 步 ， 其中 第 6 题答图 图 1 图 2 x y O A B P （ 4 ， 4 ） F E x y O A B P E F 第 3 题答图 D A C B E 48 参 考 答 案 AD 走了 40 步 ， ∴ 走完 DE 用了 50 步 ， 一步大约 50 cm ， 即 DE＝50×0.5 m＝25 m. 答 ： 小刚在点 A 处时他与电线 塔的距离为 25 m. 4. 解 ： 延长 DE 交 AB 于 F ， 则 ∠A+∠AEF＝90° ， ∠D+∠DEC＝90° . ∵∠AEF＝∠DEC （ 对顶角相等 ） ， ∴∠A＝∠D. 在 △ACN 和 △DEC 中 ， ∠A=∠D ， ∠ANC=∠DCE ， AC=DE E % % % % $ % % % % & ， ∴△ACN≌△DEC （ AAS ） . ∴NC＝CE. ∵CE＝2 m ， ∴CN 的长度是 2 m. 5. 解 ： 作 A′F⊥BD ， 垂足为 F. ∵AC⊥BD ， ∴∠ACB＝ ∠A′FB＝90° . 在 Rt△A′FB 中 ， ∴∠1+∠3＝90° ， 又 ∵A′B⊥AB ， ∴∠1+∠2＝90° . ∴∠2＝∠3. 在 △ACB 和 △BFA′ 中 ， ∠ACB=∠A′FB ， ∠2=∠3 ， AB=A′B E % % % % B % % % % & ， ∴ △ACB ≌ △BFA′ （ AAS ）， ∴A′F＝BC. ∵AC∥DE 且 CD⊥AC ， AE⊥DE ， ∴CD＝AE＝1.5 m. ∴BC＝BD-CD＝2.5-1.5＝1 （ m ）， ∴A′F＝ 1 （ m ）， 即 A′ 到 BD 的距离是 1 m. 6. 解 ： （ 1 ） 正确的顺序应是 ： ② 找一根长度大于 OA 的直杆 ， 使直杆斜靠在墙上 ， 且顶端与点 A 重合 ； ④ 记下直杆与地面的夹角 ∠ABO ； ③ 使直杆顶端缓慢 下滑 ， 直到 ∠DCO＝∠ABO ； ① 标记测试直杆的底端点 D ， 测量 OD 的长度 . 故答案为 D. （ 2 ） ∵AB＝CD ， ∠ABO＝∠DCO ， ∠AOB＝∠DOC ， ∴△ABO≌△CDO （ AAS ） . ∴OA＝OD. 故答案为 OD. （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 ， 在 △ABO 和 △CDO 中 ， ∠AOB=∠DOC ， ∠ABO=∠DCO ， AB=DC C % % % % B % % % % & ， ∴△ABO≌ △CDO （ AAS ） . ∴OA＝OD ， 即测量 OD 的长度 ， 就等 于 OA 的长度 ， 即点 A 的高度 . 12.3 角的平分线的性质 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 距离 角平分线 1. 2 2. 21 3. C 4. 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB ＝90° ， ∠A ＝38° ， ∴ ∠ABC ＝90° - ∠A ＝52° . ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∴ ∠DBE＝ 1 2 ∠ABC＝26°. ∵CD⊥AB ， ∴∠EDB＝90°. ∴∠BEC＝∠DBE+∠EDB＝26°+90°＝116°. （ 2 ） 过 E 作 EF⊥BC 于 F ， ∵BE 平分 ∠ABC ， CD⊥AB ， EF ⊥BC ， DE ＝4 ， ∴EF ＝DE ＝4. ∵BC ＝12 ， ∴S △BCE ＝ 1 2 BC · EF＝ 1 2 ×12×4＝24. 【 例 】 证明 ： ∵OD 平分 ∠AOB ， ∴∠1＝∠2. 在 △OBD 和 △OAD 中 ， OB=OA ， ∠1=∠2 ， OD=OD E % % % % B % % % % & ， ∴ △OBD≌△OAD （ SAS ）， ∴∠3＝∠4. ∵PM⊥BD ， PN⊥AD ， ∴PM＝PN. 1. B 2. C 3. 证明 ： （ 1 ） ∵AD 平分 ∠BAC ， DE⊥AB ， ∠C＝ 90° ， ∴DC＝DE. 在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中 ， DF=DB ， DC=DE E ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB （ HL ） ， ∴CF＝EB. （ 2 ） 在 Rt△DCA 和 Rt△DEA 中 ， AD=AD ， DC=DE E ， ∴Rt△DCA≌ Rt△DEA （ HL ）， ∴AC＝AE ， ∴AF+FC＝AE ， 即 AF+BE＝ AE. 4. 解 ： 作 OE⊥AC ， OF⊥AB ， 连接 OA ， 垂足分 别 为 E ， F. ∵OB ， OC 分 别 平 分 ∠ABC 和 ∠ACB ， OD⊥BC ， OE⊥AC ， OF⊥AB ， ∴OD＝OE＝OF＝3. ∵△ABC 的周长是 24 ， ∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC +S △OAB ＝ 1 2 OD · BC+ 1 2 OE · AC+ 1 2 OF · AB= 1 2 OD ·（ BC+AC+AB ） = 1 2 ×3×24＝ 36. 5. 证明 ： 如图 ， 连接 AD ， CD ， ∵BD 平分 ∠ABC ， DE⊥AB ， DF⊥BC ， ∴DE＝DF. ∵DG⊥AC ， 点 G 为 AC 的中点 ， ∴AG=CG ， ∠AGD=∠CGD=90° ， ∴ 在 △AGD 和 △CGD 中 ， AG=GD ， ∠AGD=∠CGD=90° ， DG=DG C % % % % $ % % % % & ， ∴△AGD≌△CGD （ SAS ） ， ∴AD =CD. 在 Rt △ADE 和 Rt △CDF 中 ， AD=CD ， DE=DF E ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF （ HL ）， ∴AE=CF. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵OC 是 ∠AOB 的平分线 ， ∴∠POE＝ 地面 A B C D E A′ 3 F 1 2 第 5 题答图 A B D O M N P 2 1 4 3 例题答图 O A B C D F E 第 4 题答图 A B C D E F G 第 5 题答图 49