12.1 全等三角形-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

全等三角形 第十二章 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 全等形及全等三角形的概念 ◎ 能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形. “全等”用符号 表示，读作 ． 1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是 （ ） A． B． C． D． 2. 全等三角形是指两个三角形 （ ） A． 面积相等 B． 形状一样 C． 能完全重合 D． 周长相同 【知识点 2 】 全等三角形的性质 ◎ 全等三角形的对应边 ，对应角 . 1. 如图 12.1-1 ， △BDE≌△CAE ， 且 BD＝CA ， 则 BE 的对应边是 ， DE 的对应边是 ， ∠D 的对应角是 ， ∠DEB 的对应角是 ． 2． 如图 12.1 -2 ， △ABC≌△DEF ， BD ＝22 ， AE＝8 ， 则 BE＝ ． 3． 如图 12.1-3 ， △ABC≌△ADE ， ∠B＝30° ， ∠C＝105° ， 则 ∠EAD＝ ． 12.1 全等三角形 第十二章 全等三角形 全等三角形 性质 对应边相等， 对应角相等 判定 边边边， 边角边， 角边角， 角角边， 斜边、 直角边 应用全等形 图 12.1-1 图 12.1-2 图 12.1-3 A B C D E A B C D E F A B C D E 25 八年级上册 （人教版）数学 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 12.1-4 ， △ABC≌△CDA ， 下列结论： ①AB 与 AD 是对应边； ②AC 与 CA 是对应边； ③∠BAC 与 ∠DAC 是对应角； ④∠CAB 与 ∠ACD 是对应角 ． 其中正确的是 （填序号） ． 【点拨】 由全等三角形的对应边相等、 对应角相等， 对以上结论进行判定， 考查全等三 角形的性质， 解题时应注重识别全等三角形中的对应边、 对应角 ． 【例 2 】 如图 12.1-5 ， △ABC≌△DBE ， ∠ABC＝80° ， ∠D＝65° ， 求 ∠C 的度数 ． 【点拨】 根据全等三角形的对应角相等， 得到 ∠DBE＝∠ABC ， 根据三角形内角和定理计 算， 得到答案 ． 夯实四基 达标闯关 1. 如图， △ABC≌△DEF ， B ， E ， C ， F 在同一条直线上， BF＝8 cm ， BE＝2 cm ， 则 CE 的长度为 （ ） A． 5 cm B． 4 cm C． 3 cm D． 2 cm 2． 如图， △ABC≌△CDE ， 下列结论中不正确的 （ ） A． AC=CE B． ∠BAC=∠DCE C． ∠ACB=∠ECD D． ∠B=∠D 3． 如图， △ABC≌△ADE ， ∠CAE＝41° ， AC⊥DE ， 则 ∠C 的度数为 ． 图 12.1-4 A B C D 图 12.1-5 第 1 题图 第 2 题图 A B C D E A B C D E F A B C D E 第 3 题图 A B C D E 26 全等三角形 第十二章 4． 如图， △ABC≌△ADE ， AC 和 AE ， AB 和 AD 是对应边， 点 E 在边 BC 上， AB 与 DE 交于点 F． （ 1 ） 求证： ∠CAE＝∠BAD ； （ 2 ） 若 ∠BAD＝35° ， 求 ∠BED 的度数 ． 能力提升 综合拓展 5． 如图， A ， E ， C 三点在同一直线上， △ABC≌△DAE． （ 1 ） 线段 DE ， CE ， BC 有怎样的数量关系？ 请说明理由 . （ 2 ） 请你猜想 △ADE 满足什么条件时， DE∥BC ， 并证明 ． 中考链接 真题演练 6． （ 2023 ·大理州） 如图， △ABC≌△EBD ， AB＝4 cm ， BD＝7 cm ， 则 CE 的长度为 （ ） A． 4 cm B． 3 cm C． 2 cm D． 3.5 cm 7． （ 2023 ·香河） 如图， △ABC≌△A′BC′ ， 过点 C 作 CD⊥BC′ ， 垂足为 D ， 若 ∠ABA′＝ 55° ， 则 ∠BCD 的度数为 （ ） A． 25° B． 35° C． 45° D． 55° 第 4 题图 A B C D E F 第 5 题图 AB C E D 第 6 题图 第 7 题图 A B C D E A B C D A′ C′ 27 参 考 答 案 数为 36°. 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） ∵∠ACD＝∠B+∠BAC ， ∠B＝25° ， ∠BAC＝31° ， ∴∠ACD＝25°+31°＝56°. （ 2 ） ∵AD⊥BD ， ∴∠D＝90°. ∵∠ACD＝56° ， CE 平 分 ∠ACD ， ∴∠ECD＝ 1 2 ∠ACD＝28° ， ∴∠AEC＝ ∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°. 1. A 2. B 3. 140° 4. 40° 5. 证明 ： ∵∠ADC＝∠B+∠BAD ， ∠ADC＝∠ADE+ ∠CDE ， ∴∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE. ∵∠ADE＝∠B ， ∴∠BAD＝∠CDE. 6. 解 ： （ 1 ） ∵MN⊥PQ ， ∴∠AOB＝90°. ∵∠BAO＝ 50° ， ∴∠ABO＝90°-∠BAO＝40° . ∵BD 平分 ∠ABO ， ∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABO=20°. ∵∠BAO＝50° ， ∴∠BAM＝180°- ∠BAO＝130°. ∵AC 平分 ∠BAM ， ∴∠CAB= 1 2 ∠BAM= 65° ， ∴∠D＝∠CAB-∠ABD＝65°-20°＝45°. （ 2 ） ∠D 的 度 数 不 变 化 ， 永 远 是 45° . 理 由 是 ： ∵∠BAM ＝ ∠AOB+∠ABO ， ∠AOB＝90° ， ∴∠BAM-∠ABO＝90° ， ∴ 1 2 ∠BAM- 1 2 ∠ABO=45°. ∵AC 平分 ∠BAM ， BD 平 分 ∠ABO ， ∴∠ABD= 1 2 ∠ABO ， ∠CAB= 1 2 ∠BAM ， ∴ ∠CAB-∠ABD＝45° ， 即 ∠D＝∠CAB-∠ABD＝45°. 11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形 【 知识点 1 】 一些线段 相邻两边 邻边 延 长线 不相邻 线段 直线 同一侧 1. C 2. n-1 【 知识点 2 】 各个角 各条边 1. D 2. C 【 例 1 】 D 【 例 2 】 A 1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. （ 1 ） 1 2 （ 2 ） 2 5 （ 3 ） 3 9 （ 4 ） n-3 n （ n-3 ） 2 7. 解 ： （ 1 ） 观察图形 ， 可得 S＝3 ， N＝1 ， L＝6. 故 答案为 3 ， 1 ， 6. （ 2 ） 由图知 ， 图中格点三角形 ABC 的面积为 1 ， 格点四边形 DEFG 的面积为 3 ， ∵ 格点多 边形的面积 S＝N+aL+b ， ∴ 结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 可得 4a+b=1 ， 1+6a+b=3 3 ， ∴ a= 1 2 ， b=-1 1 & & & % & & & ' ， ∴S＝ N+ 1 2 L-1. 将 N＝82 ， L＝38 代入 ， 得 S＝82+ 1 2 ×38-1＝ 100. 11.3.2 多边形的内角和 【 知识点 1 】 （ n-2 ） ×180° 1. B 2. C 【 知识点 2 】 360° 1. B 2. 45° 【 例 1 】 解 ： （ 1 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝ 360°×4 ， 解得 n＝10. （ 2 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝135°n ， 解得 n＝8. 【 例 2 】 解 ： ∵AB∥CD ， ∴∠B+∠C＝180°. ∵ 五边形 ABCDE 内角和为 540° ， ∴x＝540°- （ ∠A+ ∠D ） - （ ∠B+∠C ）， x＝540°- （ 140°+140° ） -180° ， x＝540°-280°-180° ， x＝80°. 答 ： x 的度数为 80°. 1. B 2. D 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 当 n＝5 时 ， （ 5-2 ） ×180°＝540° ， ∴ 这个 多边形的内角和为 540°. （ 2 ） 由题意 ， 得 1 4 × （ n-2 ） ×180°-360°=90° ， 解得 n＝12. ∴n 的值为 12. 5. 解 ： ∵ 正八边形的一个内角 ∠DAC 的度数是 （ 8-2 ） ×180° 8 ＝ 6×180° 8 ＝135° ， 正方形的一个内角 ∠BAD 为 90° ， ∴∠BAC＝360°-∠DAC-∠BAD＝360°-135°-90° ＝135°. 6. 解 ： （ 1 ） 设少加的那个内角度数为 x ， 这个多 边形的边数为 n. 根据题意 ， 得 （ n-2 ）· 180°＝x+765° ， 则 x＝180n-1 125. 因为 0＜x＜180 ， 所以 0＜180n-1 125＜180. 解得 6.25＜n＜7.25. ∵n 为整数 ， ∴n＝7 ， ∴ 明明求的是七 边形的内角和 . （ 2 ） 当 n＝7 时 ， x＝180°×7-1 125°＝ 135°. ∴ 少加的那个内角为 135°. 7. B 8. A 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 【 知识点 1 】 完全重合 完全重合 ≌ 全等 于 1. D 2. C 【 知识点 2 】 相等 相等 1. CE AE ∠A ∠AEC 2. 7 3. 45° 【 例 1 】 ②④ 解析 ： △ABC≌△CDA ， ∠BAC＝ ∠DCA ， ∠B＝∠D. ①AB 与 CD 是对应边 ， 故 ① 不符合题意 ； ②AC 与 CA 是对应边 ， 故 ② 符合题 意 ； ③∠BAC 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ③ 不符合题 意 ； ④∠CAB 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ④ 符合题 意 . 综上所述 ， 正确的结论是 ②④. 【 例 2 】 解 ： ∵△ABC≌△DBE ， ∠ABC＝80° ， ∴∠DBE＝∠ABC＝80° . ∵∠D＝65° ， ∴∠C＝180°- ∠DBE-∠D＝35°. 45 八年级上册 （ 人教版 ）数学 1. B 2. C 3. 49° 4. （ 1 ） 证 明 ： ∵△ABC≌ △ADE ， ∴∠BAC ＝ ∠DAE ， ∴∠BAC-∠BAE＝∠DAE-∠BAE ， ∴∠CAE＝ ∠BAD. （ 2 ） 解 ： ∵△ABC≌△ADE ， ∴∠D＝∠B. ∵ ∠AFD ＝∠EFB ， ∠D +∠BAD +∠AFD ＝180° ， ∠B + ∠EFB+∠BED＝180° ， ∴∠BED＝∠BAD. ∵∠BAD＝35° ， ∴∠BED＝35°. 5. （ 1 ） 解 ： DE＝CE+BC. 理由 ： ∵△ABC≌△DAE ， ∴AE＝BC ， DE＝AC. ∵A ， E ， C 三点在同一直线上 ， ∴AC＝AE+CE ， ∴DE＝CE+BC. （ 2 ） 当 △ADE 满足 ∠AED＝90° 时 ， DE∥BC. 证明 ： ∵△ABC≌△DAE ， ∠AED＝90° ， ∴∠C＝∠AED＝90° ， ∠DEC＝180°-∠AED＝ 90° ， ∴∠C＝∠DEC ， ∴DE∥BC. 即当 △ADE 满足 ∠AED＝ 90° 时 ， DE∥BC. 6. B 7. B 12.2 三角形全等的判定 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 全等 SSS 1. D 2. C 【 知识点 2 】 1. C 2. 80° 3. 证明 ： ∵BE＝CF ， ∴BC＝EF. 在 △ABC 与 △DEF 中 ， AB=DE ， AC=DF ， BC=EF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABC≌△DEF （ SSS ）， ∴∠ABC＝∠DEF ， ∴AB∥DE. 【 例 】 证明 ： ∵AF＝CD ， ∴AF+CF＝CD+CF ， 即 AC ＝DF. 在 △ABC 和 △DEF 中 ， AB=DE ， BC=EF ， AC=DF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ABC≌△DEF （ SSS ） . ∴∠ACB＝∠DFE. 1. 127° 2. D 3. D 4. 证明 ： ∵AD＝BF ， ∴AD+DB＝BF+DB ， ∴AB＝DF. 在 △ACB 和 △FED 中 ， AB=DF ， AC=EF ， CB=DE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ACB≌△FED （ SSS ） . ∴∠A＝∠F. ∴AC∥EF. 5. 证 明 ： 连 接 BC ， 在 △ABC 和 △DCB 中 ， AB=DC ， AC=DB ， BC=CB F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABC≌△DCB （ SSS ） . ∴∠A ＝∠D. ∵ ∠AOB＝∠DOC ， ∴∠ABO＝∠DCO. 6. （ 1 ） 解 ： ∵ 在 △ABC 和 △ADE 中 ， BC=DE ， AB=AD ， AC=AE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ABC≌△ADE （ SSS ） . （ 2 ） 证明 ： ∵△ABC≌ △ADE ， ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC-∠DAC＝∠DAE- ∠DAC. ∴∠BAD＝∠EAC. ∵△ABC≌△ADE ， ∴∠E＝ ∠C. ∵∠AOE ＝∠DOC ， ∠E +∠AOE +∠EAC ＝180° ， ∠C+∠DOC+∠CDE＝180° ， ∴∠CDE＝∠EAC. ∵∠BAD＝ ∠EAC ， ∴∠CDE＝∠BAD. 7. 解 ： （ 1 ） ∵ 在 △ADE 和 △CBF 中 ， AE=CF ， AD=BC ， DE=BF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ADE≌△CBF （ SSS ）， ∴∠D＝∠B. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， △ADE≌ △CBF. ∴ ∠AED ＝ ∠CFB. ∵ ∠AED + ∠AEO＝180° ， ∠CFB+∠CFO＝180° ， ∴∠AEO＝∠CFO ， ∴AE∥CF. 12.2 三角形全等的判定 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 全等 SAS 1. DE＝BE 2. D 【 知识点 2 】 1. 30° 2. C 3. 证明 ： ∵∠1＝∠2 ， ∴∠1+∠DAC＝∠2+ ∠DAC ， ∴∠BAC＝∠DAE ， 在 △BAC 和 △DAE 中 ， AB=AD ， ∠BAC=∠DAE ， AC=AE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△BAC≌△DAE （ SAS ）， ∴BC＝DE. 【 例 】 证明 ： ∵DE⊥AB ， CF⊥AB ， ∴∠DEB＝ ∠AFC ＝90° . ∵AE ＝BF ， ∴AF ＝BE. 在 △DEB 和 △CFA 中 ， DE=CF ， ∠DEB=∠AFC ， BE=AF F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△DEB≌△CFA （ SAS ） . ∴∠A＝∠B ， ∴AC∥DB. 1. B 2. D 3. 56° 4. 解 ： ∵ ∠DAB ＝ ∠EAC ， ∴ ∠DAB - ∠DAC ＝ ∠EAC-∠DAC ， 即 ∠EAD＝∠CAB. 在 △ACB 和 △AED 中 ， AB=AD ， ∠CAB=∠EAD ， AC=AE F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ACB ≌ △AED （ SAS ） . ∴BC＝DE. 5. 证明 ： ∵BE＝FC ， ∴BE+EF＝CF+EF ， 即 BF＝CE. 在 △ABF 和 △DCE 中 ， BF=CE ， ∠B=∠C ， AB=DC F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABF≌△DCE （ SAS ）， ∴∠A＝∠D. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵∠ACB＝∠DCE＝90° ， ∴∠ACB+ ∠BCE＝∠DCE+∠BCE ， 即 ∠ACE＝∠BCD. ∴ 在 △ACE 和 △BCD 中 ， AC=BC ， ∠ACE=∠BCD ， CE=CD F ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ △ACE ≌ △BCD 46