11.2.1 三角形的内角(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 三角形的内角和定理 ◎ 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 1. 如图 11.2-1 ， 在 △ABC 中， ∠A＝84° ， ∠B＝60° ， 则 ∠C＝ （ ） A. 36° B. 40° C. 46° D. 54° 2. 如图 11.2-2 ， C 处在 B 处的北偏西 40° 方向， C 处在 A 处的北 偏西 75° 方向， 则 ∠ACB 的度数为 （ ） A. 35° B. 38° C. 40° D. 45° 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 11.2-3 ， 在 △ABC 中， CD 平分 ∠ACB ， CD 交边 AB 于点 E ， 在边 AE 上取点 F ， 连接 DF ， 使 ∠1＝∠D. （ 1 ） 求证： DF∥BC ； （ 2 ） 当 ∠A＝36° ， ∠DFE＝34° 时， 求 ∠2 的度数 . 【点拨】 （ 1 ） 要关注相等的角， 进行角的转移， 最后推得相关的 内错角相等， 从而得到平行结论； （ 2 ） 通过三角形内角和定理， 根据已知两个角可以求第 三个角， 逐步寻找相关角的度数求解 . 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 （第一课时） A C B 图 11.2-1 北 北 A B C 图 11.2-2 A F D E C B 1 2 图 11.2-3 10 三 角 形 第十一章 【例 2 】 如图 11.2-4 ， 在 △ABC 中， ∠A＝80° ， BE ， CF 交于点 O ， ∠ACF＝30° ， ∠ABE＝20° ， 求 ∠BOC 的度数 . 【点拨】 欲求 ∠BOC ， 则需要求出 ∠OCB 和 ∠OBC ， 或者直接求 这两角的和， 而根据已知条件， 无法直接求出这两个角， 因此考虑能 否整体求出这两个角的和， 进而考虑求 ∠ACB+∠ABC 的值， 再减去 ∠ACF 与 ∠ABE 的和即可求解 . 夯实四基 达标闯关 1. 在 △ABC 中， 若 ∠A＝60° ， ∠B＝∠C ， 则 ∠C 的度数为 （ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 2. 在 △ABC 中， 若 ∠A ∶∠B ∶∠C＝1 ∶ 2 ∶ 3 ， 则 △ABC 三个内角的度数分别是 （ ） A. 30° ， 60° ， 90° B. 45° ， 45° ， 90° C. 20° ， 40° ， 60° D. 36° ， 72° ， 108° 3. 如图是由一副三角板拼凑得到的， ∠D＝∠ACB＝90° ， ∠A＝ 30° ， ∠F＝45° ， A ， E ， B ， D 四点共线， E ， F 过点 C ， 则 ∠ECB 的度数为 （ ） A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 4. 如图， 在 △ABC 中， DE∥BC ， ∠A＝50° ， ∠C＝70° ， 则 ∠ADE 的度 数是 . 5. 如图， 在 △ABC 中， ∠CAE＝20° ， ∠C＝40° ， ∠CBD＝30° ， 求 ∠AFB 的度数 . 图 11.2-4 B F A E O C A E C B D 第 4 题图 A E D F B C 第 5 题图 F D A E B C 第 3 题图 11 八年级上册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 6. 在 △ABC 中， ∠BAC＝60° ， ∠ACB＝2∠B ， AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D. （ 1 ） 求 ∠B 的度数 . （ 2 ） 如图 1 ， 若 CE⊥AD 于点 F ， 交 AB 于点 E ， 求 ∠ECD 的度数 . （ 3 ） 如图 2 ， 若 CE 平分 ∠ACB 交 AB 于点 E ， 交 AD 于点 F ， 求 ∠AFC 的度数 . 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·聊城） 如图， 分别过 △ABC 的顶点 A ， B 作 AD∥BE. 若 ∠CAD＝25° ， ∠EBC＝ 80° ， 则 ∠ACB 的度数为 （ ） A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° 8. （ 2023 ·十堰 ） 一副三角板按如图所示放置 ， 点 A 在 DE 上 ， 点 F 在 BC 上 ， 若 ∠EAB＝35° ， 则 ∠DFC＝ . 9. （ 2023 ·徐州 ） 如图 ， 在 △ABC 中 ， 若 DE∥BC ， FG∥AC ， ∠BDE＝120° ， ∠DFG＝ 115° ， 则 ∠C＝ . A C E F D B A C E F D B 图 1 图 2 第 6 题图 E C D B A 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 A E D G C F B D A C E F B 12 八年级上册 （ 人教版 ）数学 5. （ 1 ） 三角形的稳定性 （ 2 ） 一 （ 3 ） 不能 （ 4 ） 方法一 （ 5 ） （ n-3 ） 6. 7. 三角形具有稳定性 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 180° 1. A 2. A 【 例 1 】 （ 1 ） 证明 ： ∵CD 平分 ∠ACB ， ∴ ∠DCB＝∠1. ∵∠1＝∠D ， ∴∠DCB＝∠D ， ∴DF∥ BC. （ 2 ） 解 ： ∵DF∥BC ， ∠DFE＝34° ， ∴∠B＝ ∠DFE＝34°. 在 △ABC 中 ， ∠A＝36° ， ∠B＝34° ， ∴ ∠ACB ＝180° -36° -34° ＝110° . ∵CD 平 分 ∠ACB ， ∠1= 1 2 ∠ACB=55° ， ∴∠2＝180°-36°-55°＝89°. 【 例 2 】 解 ： ∵∠A＝80° ， ∴∠ACB+∠ABC＝ 100° . ∵∠ACF ＝30° ， ∠ABE ＝20° ， ∴∠OCB + ∠OBC＝∠ACB+∠ABC- （ ∠ACF+∠ABE ） ＝50° ， ∴ ∠BOC＝180°- （ ∠OCB+∠OBC ） ＝130°. 1. B 2. A 3. B 4. 60° 5. 解 ： ∵∠ABC +∠BAC =180° -∠C =180° -40° = 140° ， ∴ ∠AFB =180° - （ ∠FAB + ∠FBA ） =180° - ［（ ∠ABC +∠BAC ） - （ ∠CAE +∠DBC ）］ =180° - ［ 140° - （ 20°+30° ）］ =90°. 6. 解 ： （ 1 ） 在 △ABC 中 ， ∠BAC＝60° ， ∴∠B+ ∠ACB＝180° -∠BAC＝180° -60° ＝120° ， 又 ∵∠ACB ＝ 2∠B ， ∴∠B ＝ 120° 3 ＝40° . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， ∠ACB＝2∠B＝2×40°＝80°. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠CAD＝ 1 2 ∠BAC＝ 1 2 ×60°＝30° . ∵CE⊥AD ， ∴∠AFC＝90° ， ∴ ∠ACF＝90°-∠CAD＝90°-30°＝60° ， ∴∠ECD＝∠ACB- ∠ACF ＝80° -60° ＝20° . （ 3 ） ∵CE 平 分 ∠ACB ， ∴ ∠ACF＝ 1 2 ∠ACB＝ 1 2 ×80°＝40°. 在 △ACF 中 ， ∠CAF＝ 30° ， ∠ACF＝40° ， ∴∠AFC＝180°-∠CAF-∠ACF＝180°- 30°-40°＝110°. 7. B 8. 100° 9. 55° 11.2.1 三角形的内角 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 互余 1. C 2. C 【 知识点 2 】 直角 1. B 2. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠B＝40° ， ∠C＝68° ， ∴∠BAC＝ 180°-∠B-∠C＝72°. ∵AE 是角平分线 ， ∴∠EAC＝ 1 2 ∠BAC＝36°. ∵AD 是高 ， ∠C＝68° ， ∴∠DAC＝ 90°-∠C＝22° ， ∴∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝36°-22° ＝14° ， ∠AEC＝90°-14°＝76°. 【 例 2 】 证明 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， CD⊥AB 于 D ， ∴∠ACD+∠BCD＝90° ， ∠B+∠BCD＝90° ， ∴∠ACD＝∠B. （ 2 ） 在 Rt△AFC 中 ， ∠CFA＝ 90°-∠CAF ， 同理在 Rt△AED 中 ， ∠AED＝90°- ∠DAE. 又 ∵AF 平分 ∠CAB ， ∴∠CAF＝∠DAE ， ∴∠AED＝∠CFE ， 又 ∵∠CEF＝∠AED ， ∴∠CEF＝ ∠CFE. 1. A 2. C 3. B 4. 35° 5. 解 ： ∵CD 是 △ABC 的 AB 边上的高 ， ∴∠1+ ∠A＝90°. ∵∠1＝∠B ， ∴∠A+∠B＝90° ， ∴∠ACB＝90° ， 即 △ABC 是直角三角形 . 6. 解 ： ∵CE⊥AF ， ∴∠DEF=90° ， ∴∠EDF=90°- ∠F=90°-40°=50° . 由三角形的内角和定理得 ， ∠C+ ∠DBC=∠F+∠DEF ， ∴30°+∠DBC=40°+90° ， ∴∠DBC= 100°. 7. 解 ： （ 1 ） ∵BE⊥AC ， ∠ACB=70° ， ∴∠EBC= 90°-70°=20° . ∵CD⊥AB ， ∠ABC=40° ， ∴∠DCB=90°- 40°=50° ， ∴∠BHC=180°-20°-50°=110°. （ 2 ） ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∠ABC =40° ， ∴ ∠EBC =20° . ∵DC 平 分 ∠ACB ， ∠ACB=70° ， ∴∠DCB=35° ， ∴∠BHC=180°- 20°-35°=125°. 11.2.2 三角形的外角 【 知识点 】 ① 另一边的延长线 ② 和 1. D 2. C 3. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠1＝∠2＝36° ， ∴∠3＝∠4＝∠1+ ∠2＝72°. 在 △ACD 中 ， ∠DAC＝180°- （ ∠3+∠4 ） ＝ 180°-2×72°＝36°. ∴∠DAC＝36°. 答 ： ∠DAC 的度 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 第 6 题答图 A E C H D B 第 7 题答图 44