11.2.1 三角形的内角(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

三 角 形 第十一章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 直角三角形两锐角关系 ◎ 直角三角形的两个锐角 . 1. 在 Rt△ABC 中， 若一个锐角等于 40° ， 则另一个锐角的度数为 （ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 2. 如图 11.2-5 ， 两根竹竿 AB 和 BD 斜靠在墙上， 量得 ∠CAB ， ∠CDB 的度数分别为 38° 和 26° ， 那么 ∠ABD 的度数为 （ ） A. 10° B. 11° C. 12° D. 13° 【知识点 2 】 直角三角形判定 ◎有两个角互余的三角形是 三角形. 1. 在 △ABC 中， ∠A＝56° ， ∠B＝34° ， 则 △ABC 是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 2. 如图 11.2-6 ， 点 E 是 △ABC 中 AC 边上的一点， 过 E 作 ED⊥ AB ， 垂足为 D ， 若 ∠1＝∠2 ， 则 △ABC 是 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 11.2-7 ， 在 △ABC 中， AD 是边 BC 上的高， AE 平分 ∠BAC ， ∠B＝40° ， ∠C＝68° ， 求 ∠AEC 和 ∠DAE 的度数 . 【点拨】 显然根据条件由三角形内角和定理可求得 ∠BAC 的度数， 由角平分线条件可求 ∠EAC ， 在 Rt△ADC 中， 可求得 ∠DAC 的度数， 故 由 ∠EAD＝∠EAC-∠DAC 可求 . 11.2.1 三角形的内角 （第二课时） B D A C 图 11.2-5 图 11.2-6 C D E B A 图 11.2-7 B C E A 1 2 D 13 八年级上册 （人教版）数学 A E C P D B 【例 2 】 如图 11.2-8 ， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， CD⊥AB 于点 D. （ 1 ） 求证： ∠ACD＝∠B ； （ 2 ） 若 AF 平分 ∠CAB 且分别交 CD ， BC 于点 E ， F ， 求证 ： ∠CEF＝∠CFE. 【点拨】 本题解题的关键是要在两个直角三角形中， 利用两个锐 角互余证明 ∠AED＝∠CFE ， 再进一步通过角的转移得出结果 . 夯实四基 达标闯关 1. 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A＝2∠B ， 则 ∠A＝ （ ） A. 60° B. 30° C. 45° D. 90° 2. 如图所示， 在 △ABC 中， CD ， BE 分别是 AB ， AC 边上的高， 并且 CD ， BE 交于点 P ， 若 ∠A＝50° ， 则 ∠BPC 等于 （ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 160° 3. 下列条件： ①∠A+∠B＝∠C ； ②∠A ∶∠B ∶∠C＝1 ∶ 2 ∶ 3 ； ③∠A＝∠B＝∠C ； ④∠A＝90° -∠B. 其中能确定 △ABC 是直角三角形的有 （ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④ 4. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， ∠A＝20° ， BE 平分 ∠ABC ， 那么 ∠ABE 的度数为 . 5. 如图所示， CD 是 △ABC 的 AB 边上的高， 若 ∠B＝∠1 ， 那么 △ABC 是直角三角形吗？ 请说明理由 . C F B E D A 图 11.2-8 E C B A 第 2 题图 第 4 题图 B D C A 1 第 5 题图 14 三 角 形 第十一章 6. 如图， CE⊥AF ， 垂足为 E ， CE 与 BF 相交于点 D ， ∠F＝40° ， ∠C＝30° ， 求 ∠EDF ， ∠DBC 的度数 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 在锐角 △ABC 中， 若 ∠ABC＝40° ， ∠ACB＝70° ， 点 D ， E 在边 AB ， AC 上， CD 与 BE 交于点 H. （ 1 ） 若 BE⊥AC ， CD⊥AB ， 求 ∠BHC 的度数 ． （ 2 ） 若 BE ， CD 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ， 求 ∠BHC 的度数 ． F D C B A E 第 6 题图 A E C H D B 第 7 题图 15 八年级上册 （ 人教版 ）数学 5. （ 1 ） 三角形的稳定性 （ 2 ） 一 （ 3 ） 不能 （ 4 ） 方法一 （ 5 ） （ n-3 ） 6. 7. 三角形具有稳定性 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 180° 1. A 2. A 【 例 1 】 （ 1 ） 证明 ： ∵CD 平分 ∠ACB ， ∴ ∠DCB＝∠1. ∵∠1＝∠D ， ∴∠DCB＝∠D ， ∴DF∥ BC. （ 2 ） 解 ： ∵DF∥BC ， ∠DFE＝34° ， ∴∠B＝ ∠DFE＝34°. 在 △ABC 中 ， ∠A＝36° ， ∠B＝34° ， ∴ ∠ACB ＝180° -36° -34° ＝110° . ∵CD 平 分 ∠ACB ， ∠1= 1 2 ∠ACB=55° ， ∴∠2＝180°-36°-55°＝89°. 【 例 2 】 解 ： ∵∠A＝80° ， ∴∠ACB+∠ABC＝ 100° . ∵∠ACF ＝30° ， ∠ABE ＝20° ， ∴∠OCB + ∠OBC＝∠ACB+∠ABC- （ ∠ACF+∠ABE ） ＝50° ， ∴ ∠BOC＝180°- （ ∠OCB+∠OBC ） ＝130°. 1. B 2. A 3. B 4. 60° 5. 解 ： ∵∠ABC +∠BAC =180° -∠C =180° -40° = 140° ， ∴ ∠AFB =180° - （ ∠FAB + ∠FBA ） =180° - ［（ ∠ABC +∠BAC ） - （ ∠CAE +∠DBC ）］ =180° - ［ 140° - （ 20°+30° ）］ =90°. 6. 解 ： （ 1 ） 在 △ABC 中 ， ∠BAC＝60° ， ∴∠B+ ∠ACB＝180° -∠BAC＝180° -60° ＝120° ， 又 ∵∠ACB ＝ 2∠B ， ∴∠B ＝ 120° 3 ＝40° . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， ∠ACB＝2∠B＝2×40°＝80°. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠CAD＝ 1 2 ∠BAC＝ 1 2 ×60°＝30° . ∵CE⊥AD ， ∴∠AFC＝90° ， ∴ ∠ACF＝90°-∠CAD＝90°-30°＝60° ， ∴∠ECD＝∠ACB- ∠ACF ＝80° -60° ＝20° . （ 3 ） ∵CE 平 分 ∠ACB ， ∴ ∠ACF＝ 1 2 ∠ACB＝ 1 2 ×80°＝40°. 在 △ACF 中 ， ∠CAF＝ 30° ， ∠ACF＝40° ， ∴∠AFC＝180°-∠CAF-∠ACF＝180°- 30°-40°＝110°. 7. B 8. 100° 9. 55° 11.2.1 三角形的内角 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 互余 1. C 2. C 【 知识点 2 】 直角 1. B 2. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠B＝40° ， ∠C＝68° ， ∴∠BAC＝ 180°-∠B-∠C＝72°. ∵AE 是角平分线 ， ∴∠EAC＝ 1 2 ∠BAC＝36°. ∵AD 是高 ， ∠C＝68° ， ∴∠DAC＝ 90°-∠C＝22° ， ∴∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝36°-22° ＝14° ， ∠AEC＝90°-14°＝76°. 【 例 2 】 证明 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， CD⊥AB 于 D ， ∴∠ACD+∠BCD＝90° ， ∠B+∠BCD＝90° ， ∴∠ACD＝∠B. （ 2 ） 在 Rt△AFC 中 ， ∠CFA＝ 90°-∠CAF ， 同理在 Rt△AED 中 ， ∠AED＝90°- ∠DAE. 又 ∵AF 平分 ∠CAB ， ∴∠CAF＝∠DAE ， ∴∠AED＝∠CFE ， 又 ∵∠CEF＝∠AED ， ∴∠CEF＝ ∠CFE. 1. A 2. C 3. B 4. 35° 5. 解 ： ∵CD 是 △ABC 的 AB 边上的高 ， ∴∠1+ ∠A＝90°. ∵∠1＝∠B ， ∴∠A+∠B＝90° ， ∴∠ACB＝90° ， 即 △ABC 是直角三角形 . 6. 解 ： ∵CE⊥AF ， ∴∠DEF=90° ， ∴∠EDF=90°- ∠F=90°-40°=50° . 由三角形的内角和定理得 ， ∠C+ ∠DBC=∠F+∠DEF ， ∴30°+∠DBC=40°+90° ， ∴∠DBC= 100°. 7. 解 ： （ 1 ） ∵BE⊥AC ， ∠ACB=70° ， ∴∠EBC= 90°-70°=20° . ∵CD⊥AB ， ∠ABC=40° ， ∴∠DCB=90°- 40°=50° ， ∴∠BHC=180°-20°-50°=110°. （ 2 ） ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∠ABC =40° ， ∴ ∠EBC =20° . ∵DC 平 分 ∠ACB ， ∠ACB=70° ， ∴∠DCB=35° ， ∴∠BHC=180°- 20°-35°=125°. 11.2.2 三角形的外角 【 知识点 】 ① 另一边的延长线 ② 和 1. D 2. C 3. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠1＝∠2＝36° ， ∴∠3＝∠4＝∠1+ ∠2＝72°. 在 △ACD 中 ， ∠DAC＝180°- （ ∠3+∠4 ） ＝ 180°-2×72°＝36°. ∴∠DAC＝36°. 答 ： ∠DAC 的度 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 第 6 题答图 A E C H D B 第 7 题答图 44