11.1.3 三角形的稳定性-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 三角形的稳定性 ◎ 三角形是具有 性的图形. 1. 如图 11.1-9 ， 为了使一扇旧木门不变形， 木工师傅在木门的背面加钉了 一根木条， 这样做的道理是 （ ） A. 两点之间， 线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行， 内错角相等 2. 安装空调一般会采用如图 11.1-10 的方法固定， 其根据的几何原理是 （ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间， 线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 例题点拨 素养导向 【例】 图 1 是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架， 拉动木架， 观察图 2 中的变动 情况， 说一说， 其中所蕴含的数学原理是 . 【点拨】 说明理由要注意审题， 既要注意三角形没变形， 同时要关注四边形变形了， 从 而在解答时才能完整 . 夯实四基 达标闯关 1. 下列哪个图形具有稳定性 （ ） 2. 如图， 一扇窗户打开后， 用窗钩 BC 可将其固定， 这里所运用的数 学原理是 （ ） 11.1.3 三角形的稳定性 图 11.1-9 空调 三角形支架 图 11.1-10 图 1 图 2 图 11.1-11 A B C D B C 第 2 题图 8 三 角 形 第十一章 A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间， 线段最短 D. 三角形的两边之和大于第三边 3. 如图， 工具房有一个方形框架， 小王发现它很容易变形， 以下加固方案最好的是 （ ） 4. 如图， 要使一个六边形木架在同一平面内不变形， 至少还要钉上 木条的根数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 5. （ 1 ） 工程建筑中经常采用三角形的结构， 如屋顶的钢架、 输电 线的支架等， 这里运用的三角形的性质是 . （ 2 ） 下列图形具有稳定性的有 个： 正方形、 长方形、 直角三角形、 平行四边形 （ 3 ） 已知四边形的四边长分别为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 这个四边形的四个内角的大小 确定 . （ 4 ） 要使五边形木架 （用 5 根木条钉成） 不变形， 工人准 备再钉上两根木条， 如图的两种钉法中正确的是 . （ 5 ） 要使四边形木架 （用 4 根木条钉成） 不变形， 至少需 要加 1 根木条固定， 要使五边形木架不变形， 至少需要加 2 根 木条固定， 要使六边形木架不变形， 至少需要加 3 根木条固 定， …， 如果要使一个 n 边形木架不变形， 至少需要加 根木条固定 . 能力提升 综合拓展 6. 如图， 由 6 根钢管铰接而成的六边形是不稳定的， 请你再用三根钢管连接使之稳固 . （方法很多， 请提供四种不同的连接方法） 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·吉林） 如图， 钢架桥的设计中采用了三角形的结构， 其数 学道理是 . 第 3 题图 A B C D 第 4 题图 方法 1 方法 2 第 5 题图 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 第 6 题图 钢架桥 第 7 题图 9 参 考 答 案 参 考 答 案 第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 【 知识点 1 】 不在同一直线上 首尾顺次相接 1. C 2. C 【 知识点 2 】 三条边 两条边 相等的两边 两条腰 腰和底边 1. 8 2. D 【 知识点 3 】 大于 小于 1. D 2. 4＜a＜10 【 例 1 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ， BC-AB＜AC＜BC+AB ， ∴7＜AC＜9. ∵AC 是整数 ， ∴AC＝8. （ 2 ） ∵BD 是 △ABC 的中线 ， ∴AD＝CD ， ∴△ABD 的周长 为 17 ， ∴AB +AD +BD ＝17. ∵AB ＝1 ， ∴AD+BD＝16 ， ∴△BCD 的周长 ＝BC+ BD+CD＝BC+AD+BD＝8+16＝24. 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） 设等腰三角形的底边长为 x cm ， 则腰长为 2x cm ， 由题意得 x+2x+2x＝24 ， 解得 x＝ 24 5 ， 当 x＝ 24 5 时 ， 2x＝ 48 5 ， ∴ 等腰三角形 的各边长分别为 48 5 cm ， 48 5 cm ， 24 5 cm. （ 2 ） 能围成有一边的长是 5 cm 的等腰三角 形 . 理由如下 ： 分两种情况 ： ① 当等腰三角形的 腰长为 5 cm 时 ， ∵ 等腰三角形的周长为 24 cm ， ∴ 等腰三角形的底边长 ＝24-5-5＝14 （ cm ） . ∵5+ 5＝10＜14 ， ∴ 不能组成三角形 ； ② 当等腰三角形 的底边长为 5 cm 时 ， ∵ 等腰三角形的周长为 24 cm ， ∴ 等腰三角形的腰长 ＝ 24-5 2 ＝ 19 2 （ cm ）， ∴ 等腰三角形的各边长分别为 19 2 cm ， 19 2 cm ， 5 cm. 综上所述 ， 能围成有一边的长是 5 cm 的等 腰三角形 . 1. A 2. C 3. AB AD 4. 9 5. 解 ： （ 1 ） ∵ 第一条边长为 n m ， 第二条边长只 能比第一条边长的 2 倍少 3 m ， ∴ 第二条边长为 （ 2n- 3 ） m ， ∴32-n- （ 2n-3 ） ＝ （ 35-3n ） m ， ∴ 第三条边长为 （ 35-3n ） m. （ 2 ） 不能 ， 因为当 n＝10 时 ， 三边长分 别为 10 ， 17 ， 5 ， 由于 10+5＜17 ， 所以不能构成三角 形 ， 即第一条边长不能为 10 m. 6. 解 （ 1 ） ∵a ， b ， c 是三角形的三边长 ， ∴a-b+c＞ 0 ， b-a+c＞0 ， c-a-b＜0 ， |a-b+c|+|b-a+c|+|c-a-b|＝a-b+ c+b-a+c+a+b-c＝a+b+c. （ 2 ） 当 a＝5 ， b＝4 ， c＝3 时 ， 原式 ＝a+b+c＝5+4+3＝12. 7. B 8. C 11.1.2 三角形的高 、 中线与角平分线 【 知识点 】 BC 直线 高 BC 中线 平分 线 1. C 2. 6 1 2 ∠BAC 53° 直角 【 例 1 】 12 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， CD 是边 AB 上的高 ， ∴ 1 2 AC · BC＝ 1 2 AB · CD ， ∴CD＝ AC · BC AB ＝ 7×24 25 ＝ 168 25 （ cm ） . （ 2 ） ∵CE 为 AB 边上的中 线 ， ∴AE＝BE ， ∴△BCE 的周长与 △ACE 的周长 的差为 （ BC+CE+BE ） - （ AC+CE+AE ） ＝BC-AC＝24- 7＝17 （ cm ） . 1. D 2. D 3. C 4. B 5. 8 6. 解 ： ∵BD 是 AC 边上的中线 ， ∴AD＝CD. ∵AC＝ 12 ， ∴ CD=AD= 1 2 AC=6. 又 ∵DE＝2 ， ∴CE＝CD-DE＝6- 2＝4. 7. 解 ： （ 1 ） 由图可知 △BDE 的周长 ＝BE+BD+DE ， 四边形 ACDE 的周长 ＝AE+AC+DC+DE ， 又 △BDE 的周 长与四边形 ACDE 的周长相等 ， D 为 BC 的中点 ， ∴BD＝DC ， BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE ， 即 BE＝AE+ AC. ∵AB＝10 cm ， AC＝6 cm ， ∴10-AE＝AE+6 ， ∴AE＝ 2 cm. （ 2 ） 由 △ABC 的周长被 DE 分成的两部分的 差是 2 ， 可得方程 BE＝AE+AC+2 或 BE＝AE+AC-2. 解 得 AE＝1 cm 或 AE＝3 cm. 故 AE 长为 1 cm 或 3 cm. 8. D 9. C 10. 5 cm 40° 10° 11.1.3 三角形的稳定性 【 知识点 】 稳定 1. C 2. A 【 例 】 C 解析 ： 由图示知 ， 四边形变形了 ， 而三角形没有变形 ， 其中所蕴含的数学原理是三 角形具有稳定性 ， 四边形没有稳定性 . 故答案为 ： 三角形具有稳定性 ， 四边形没有稳定性 . 1. D 2. A 3. D 4. D D BA C 例 1 答图 43 八年级上册 （ 人教版 ）数学 5. （ 1 ） 三角形的稳定性 （ 2 ） 一 （ 3 ） 不能 （ 4 ） 方法一 （ 5 ） （ n-3 ） 6. 7. 三角形具有稳定性 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 180° 1. A 2. A 【 例 1 】 （ 1 ） 证明 ： ∵CD 平分 ∠ACB ， ∴ ∠DCB＝∠1. ∵∠1＝∠D ， ∴∠DCB＝∠D ， ∴DF∥ BC. （ 2 ） 解 ： ∵DF∥BC ， ∠DFE＝34° ， ∴∠B＝ ∠DFE＝34°. 在 △ABC 中 ， ∠A＝36° ， ∠B＝34° ， ∴ ∠ACB ＝180° -36° -34° ＝110° . ∵CD 平 分 ∠ACB ， ∠1= 1 2 ∠ACB=55° ， ∴∠2＝180°-36°-55°＝89°. 【 例 2 】 解 ： ∵∠A＝80° ， ∴∠ACB+∠ABC＝ 100° . ∵∠ACF ＝30° ， ∠ABE ＝20° ， ∴∠OCB + ∠OBC＝∠ACB+∠ABC- （ ∠ACF+∠ABE ） ＝50° ， ∴ ∠BOC＝180°- （ ∠OCB+∠OBC ） ＝130°. 1. B 2. A 3. B 4. 60° 5. 解 ： ∵∠ABC +∠BAC =180° -∠C =180° -40° = 140° ， ∴ ∠AFB =180° - （ ∠FAB + ∠FBA ） =180° - ［（ ∠ABC +∠BAC ） - （ ∠CAE +∠DBC ）］ =180° - ［ 140° - （ 20°+30° ）］ =90°. 6. 解 ： （ 1 ） 在 △ABC 中 ， ∠BAC＝60° ， ∴∠B+ ∠ACB＝180° -∠BAC＝180° -60° ＝120° ， 又 ∵∠ACB ＝ 2∠B ， ∴∠B ＝ 120° 3 ＝40° . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， ∠ACB＝2∠B＝2×40°＝80°. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠CAD＝ 1 2 ∠BAC＝ 1 2 ×60°＝30° . ∵CE⊥AD ， ∴∠AFC＝90° ， ∴ ∠ACF＝90°-∠CAD＝90°-30°＝60° ， ∴∠ECD＝∠ACB- ∠ACF ＝80° -60° ＝20° . （ 3 ） ∵CE 平 分 ∠ACB ， ∴ ∠ACF＝ 1 2 ∠ACB＝ 1 2 ×80°＝40°. 在 △ACF 中 ， ∠CAF＝ 30° ， ∠ACF＝40° ， ∴∠AFC＝180°-∠CAF-∠ACF＝180°- 30°-40°＝110°. 7. B 8. 100° 9. 55° 11.2.1 三角形的内角 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 互余 1. C 2. C 【 知识点 2 】 直角 1. B 2. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠B＝40° ， ∠C＝68° ， ∴∠BAC＝ 180°-∠B-∠C＝72°. ∵AE 是角平分线 ， ∴∠EAC＝ 1 2 ∠BAC＝36°. ∵AD 是高 ， ∠C＝68° ， ∴∠DAC＝ 90°-∠C＝22° ， ∴∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝36°-22° ＝14° ， ∠AEC＝90°-14°＝76°. 【 例 2 】 证明 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， CD⊥AB 于 D ， ∴∠ACD+∠BCD＝90° ， ∠B+∠BCD＝90° ， ∴∠ACD＝∠B. （ 2 ） 在 Rt△AFC 中 ， ∠CFA＝ 90°-∠CAF ， 同理在 Rt△AED 中 ， ∠AED＝90°- ∠DAE. 又 ∵AF 平分 ∠CAB ， ∴∠CAF＝∠DAE ， ∴∠AED＝∠CFE ， 又 ∵∠CEF＝∠AED ， ∴∠CEF＝ ∠CFE. 1. A 2. C 3. B 4. 35° 5. 解 ： ∵CD 是 △ABC 的 AB 边上的高 ， ∴∠1+ ∠A＝90°. ∵∠1＝∠B ， ∴∠A+∠B＝90° ， ∴∠ACB＝90° ， 即 △ABC 是直角三角形 . 6. 解 ： ∵CE⊥AF ， ∴∠DEF=90° ， ∴∠EDF=90°- ∠F=90°-40°=50° . 由三角形的内角和定理得 ， ∠C+ ∠DBC=∠F+∠DEF ， ∴30°+∠DBC=40°+90° ， ∴∠DBC= 100°. 7. 解 ： （ 1 ） ∵BE⊥AC ， ∠ACB=70° ， ∴∠EBC= 90°-70°=20° . ∵CD⊥AB ， ∠ABC=40° ， ∴∠DCB=90°- 40°=50° ， ∴∠BHC=180°-20°-50°=110°. （ 2 ） ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∠ABC =40° ， ∴ ∠EBC =20° . ∵DC 平 分 ∠ACB ， ∠ACB=70° ， ∴∠DCB=35° ， ∴∠BHC=180°- 20°-35°=125°. 11.2.2 三角形的外角 【 知识点 】 ① 另一边的延长线 ② 和 1. D 2. C 3. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠1＝∠2＝36° ， ∴∠3＝∠4＝∠1+ ∠2＝72°. 在 △ACD 中 ， ∠DAC＝180°- （ ∠3+∠4 ） ＝ 180°-2×72°＝36°. ∴∠DAC＝36°. 答 ： ∠DAC 的度 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 第 6 题答图 A E C H D B 第 7 题答图 44