11.1.2 三角形的高、中线与角平分线-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

三 角 形 第十一章 知识梳理 形成联系 【知识点】 三角形的高线、 中线和角平分线的概念 ◎ 如图11.1-3，从 △ABC 的顶点 A 向它所对的边 所在 画垂线，垂足 为 D ，所得线段 AD 叫做 △ABC 的边 BC 上的 . ◎ 如图11.1-4，连接△ ABC 的顶点 A 和它所对的边 的中点 D ，所得线段 AD 叫 做 △ABC 的边 BC 上的中线；三角形的三条中线相交于一点，三角形三条 的交点叫 做三角形的重心. ◎ 如图11.1-5，画∠ A 的 AD ，交 ∠A 所对的边 BC 于点 D ，所得线段 AD 叫做 △ABC 的角平分线. 1. 下列四个图形中， 线段 BD 是 △ABC 的高的是 （ ） 2. 如图 11.1-6 ， 若 AM 是 △ABC 的中线， BC＝12 cm ， 则 BM＝ CM＝ cm ； 若 AD 是 △ABC 的角平分线， 则 ∠BAD＝∠DAC＝ ； 若 ∠BAC＝106° ， 则 ∠DAC＝ ； 若 AH 是 △ABC 的高， 则 △ABH 是 三角形 . 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 11.1-7 ， 已知 AD 是 △ABC 的中线， AB＝7 cm ， AD＝ 5 cm ， △ABD 的周长是 18 cm ， 则 BC 的长为 cm. 【点拨】 求 BC 的长， 考虑有 BC 边中线， 所以可以考虑求 BD 或 CD ， 而已知条件给出了 △ABD 的相关条件， 显然可以先求 BD. 11.1.2 三角形的高、 中线与角平分线 A B D C A C D B A B D C 图 11.1-3 图 11.1-4 图 11.1-5 B C D A DC A B C B D A A B C D A M D H B C 图 11.1-6 A D C B 图 11.1-7 B D A C 5 八年级上册 （人教版）数学 【例 2 】 如图 11.1-8 ， CD ， CE 分别是 △ABC 的高和中线， 若 AC＝7 cm ， BC＝24 cm ， AB＝25 cm ， ∠ACB＝90°. 求： （ 1 ） CD 的长； （ 2 ） △BCE 与 △ACE 的周长差 . 【点拨】 （ 1 ） 所求 CD 为直角三角形斜边的高线， 而已知给出三边长， 用等积法比较 合适 . （ 2 ） △BCE 与 △ACE 有两组边对应相等， 所以它们的周长差转化为 AC 与 BC 的差求 解即可 . 夯实四基 达标闯关 1. 用一块含 30° 角的透明直角三角板画已知 △ABC 的边 BC 上的高， 下列三角板的摆放 位置正确的是 （ ） 2. 如图， AD ， AE ， AF 分别是 △ABC 的中线、 角平分线、 高线， 下列结论中错误的是 （ ） A. CD＝ 1 2 BC B. 2∠BAE＝∠BAC C. ∠C+∠CAF＝90° D. AE＝AC 3. 如图， △ABC 的角平分线 AD ， 中线 BE 交于点 O ， 则结论： ①AO 是 △ABE 的角平分线； ②BO 是 △ABD 的中线 . 其中 （ ） A. ①② 都正确 B. ①② 都不正确 C. ① 正确， ② 不正确 D. ① 不正确， ② 正确 4. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子， 则 图中他所作的线段 AD 应该是 △ABC 的 （ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 A D E C B 图 11.1-8 A C B A C B A C B A C B A B C D A C FE DB 第 2 题图 A B O E C D 第 3 题图 A C D B 第 4 题图 6 三 角 形 第十一章 5. 如图 ， 已知 AE 是 △ABC 的边 BC 上的中线 ， 若 AC＝10 cm ， △ABE 的周长比 △ACE 的周长少 2 cm ， 则 AB＝ cm. 6. 如图， 在 △ABC 中， AB＝15 ， BC＝9 ， AC＝12 ， BD 是 AC 边上的中 线， 点 E 是 CD 上一点 . 若 DE＝2 ， 求 CE 的长 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 在 △ABC 中， AB＝10 cm ， AC＝6 cm ， D 是 BC 的中点， E 点在边 AB 上 . （ 1 ） 若 △BDE 的周长与四边形 ACDE 的周长相等， 求线段 AE 的长 . （ 2 ） 若 △ABC 的周长被 DE 分成的两部分的差是 2 cm ， 求线段 AE 的长 . 中考链接 真题演练 8. △ABC 的三条高如图所示， AC 边上的高是 （ ） A. AE B. AD C. CE D. BF 9. 如图所示， AD 是 △ABC 的中线， AB＝12 ， AC＝10 ， △ABD 的周长和 △ACD 的周长差 为 （ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 不确定 10. 如图， 在 △ABC 中， AD 是角平分线， AE 是中线， AF 是高 . 如果 BC＝10 cm ， 那么 BE＝ ； ∠ABC＝40° ， ∠ACB＝60° ， 那么 ∠BAD＝ ， ∠DAF＝ . E C D A B 第 6 题图 第 7 题图 A E C D B A B E C 第 5 题图 E A F D C B 第 8 题图 A D C B 第 9 题图 A E D F C B 第 10 题图 7 参 考 答 案 参 考 答 案 第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 【 知识点 1 】 不在同一直线上 首尾顺次相接 1. C 2. C 【 知识点 2 】 三条边 两条边 相等的两边 两条腰 腰和底边 1. 8 2. D 【 知识点 3 】 大于 小于 1. D 2. 4＜a＜10 【 例 1 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ， BC-AB＜AC＜BC+AB ， ∴7＜AC＜9. ∵AC 是整数 ， ∴AC＝8. （ 2 ） ∵BD 是 △ABC 的中线 ， ∴AD＝CD ， ∴△ABD 的周长 为 17 ， ∴AB +AD +BD ＝17. ∵AB ＝1 ， ∴AD+BD＝16 ， ∴△BCD 的周长 ＝BC+ BD+CD＝BC+AD+BD＝8+16＝24. 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） 设等腰三角形的底边长为 x cm ， 则腰长为 2x cm ， 由题意得 x+2x+2x＝24 ， 解得 x＝ 24 5 ， 当 x＝ 24 5 时 ， 2x＝ 48 5 ， ∴ 等腰三角形 的各边长分别为 48 5 cm ， 48 5 cm ， 24 5 cm. （ 2 ） 能围成有一边的长是 5 cm 的等腰三角 形 . 理由如下 ： 分两种情况 ： ① 当等腰三角形的 腰长为 5 cm 时 ， ∵ 等腰三角形的周长为 24 cm ， ∴ 等腰三角形的底边长 ＝24-5-5＝14 （ cm ） . ∵5+ 5＝10＜14 ， ∴ 不能组成三角形 ； ② 当等腰三角形 的底边长为 5 cm 时 ， ∵ 等腰三角形的周长为 24 cm ， ∴ 等腰三角形的腰长 ＝ 24-5 2 ＝ 19 2 （ cm ）， ∴ 等腰三角形的各边长分别为 19 2 cm ， 19 2 cm ， 5 cm. 综上所述 ， 能围成有一边的长是 5 cm 的等 腰三角形 . 1. A 2. C 3. AB AD 4. 9 5. 解 ： （ 1 ） ∵ 第一条边长为 n m ， 第二条边长只 能比第一条边长的 2 倍少 3 m ， ∴ 第二条边长为 （ 2n- 3 ） m ， ∴32-n- （ 2n-3 ） ＝ （ 35-3n ） m ， ∴ 第三条边长为 （ 35-3n ） m. （ 2 ） 不能 ， 因为当 n＝10 时 ， 三边长分 别为 10 ， 17 ， 5 ， 由于 10+5＜17 ， 所以不能构成三角 形 ， 即第一条边长不能为 10 m. 6. 解 （ 1 ） ∵a ， b ， c 是三角形的三边长 ， ∴a-b+c＞ 0 ， b-a+c＞0 ， c-a-b＜0 ， |a-b+c|+|b-a+c|+|c-a-b|＝a-b+ c+b-a+c+a+b-c＝a+b+c. （ 2 ） 当 a＝5 ， b＝4 ， c＝3 时 ， 原式 ＝a+b+c＝5+4+3＝12. 7. B 8. C 11.1.2 三角形的高 、 中线与角平分线 【 知识点 】 BC 直线 高 BC 中线 平分 线 1. C 2. 6 1 2 ∠BAC 53° 直角 【 例 1 】 12 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， CD 是边 AB 上的高 ， ∴ 1 2 AC · BC＝ 1 2 AB · CD ， ∴CD＝ AC · BC AB ＝ 7×24 25 ＝ 168 25 （ cm ） . （ 2 ） ∵CE 为 AB 边上的中 线 ， ∴AE＝BE ， ∴△BCE 的周长与 △ACE 的周长 的差为 （ BC+CE+BE ） - （ AC+CE+AE ） ＝BC-AC＝24- 7＝17 （ cm ） . 1. D 2. D 3. C 4. B 5. 8 6. 解 ： ∵BD 是 AC 边上的中线 ， ∴AD＝CD. ∵AC＝ 12 ， ∴ CD=AD= 1 2 AC=6. 又 ∵DE＝2 ， ∴CE＝CD-DE＝6- 2＝4. 7. 解 ： （ 1 ） 由图可知 △BDE 的周长 ＝BE+BD+DE ， 四边形 ACDE 的周长 ＝AE+AC+DC+DE ， 又 △BDE 的周 长与四边形 ACDE 的周长相等 ， D 为 BC 的中点 ， ∴BD＝DC ， BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE ， 即 BE＝AE+ AC. ∵AB＝10 cm ， AC＝6 cm ， ∴10-AE＝AE+6 ， ∴AE＝ 2 cm. （ 2 ） 由 △ABC 的周长被 DE 分成的两部分的 差是 2 ， 可得方程 BE＝AE+AC+2 或 BE＝AE+AC-2. 解 得 AE＝1 cm 或 AE＝3 cm. 故 AE 长为 1 cm 或 3 cm. 8. D 9. C 10. 5 cm 40° 10° 11.1.3 三角形的稳定性 【 知识点 】 稳定 1. C 2. A 【 例 】 C 解析 ： 由图示知 ， 四边形变形了 ， 而三角形没有变形 ， 其中所蕴含的数学原理是三 角形具有稳定性 ， 四边形没有稳定性 . 故答案为 ： 三角形具有稳定性 ， 四边形没有稳定性 . 1. D 2. A 3. D 4. D D BA C 例 1 答图 43