11.1.1 三角形的边-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

三 角 形 第十一章 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 三角形的概念 ◎ 由 的三条线段 所组成的图形叫做三角形. 1. 下面是小强用三根火柴组成的图形， 其中符合三角形概念的是 （ ） 2. 课堂上， 老师把教学用的两块三角板叠放在一起， 得到如图 11.1-1 所示的图形， 其中三角形的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【知识点 2 】 三角形按边分类 ◎ 都相等的三角形叫做等边三角形；有 相等的三角形叫做等腰三角 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 第十一章 三 角 形 三角形 与三角形有关的线段 三角形的边 高 中线 角平分线 三角形的内角和 多边形的内角和 三角形的外角和 多边形的外角和 A B C D 图 11.1-1 1 八年级上册 （人教版）数学 形.在等腰三角形中， 都叫做腰，另一边叫做底边； 夹角叫做顶角， 的夹角叫做底角. ◎三角形 ! # # # # " # # # # $ 1. 等腰三角形腰长为 3 ， 底边长为 2 ， 则周长为 . 2. 三角形按边分类可以用集合来表示， 如图 11.1-2 所示， 图 中小椭圆里的 A 表示 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【知识点 3 】 三角形三边关系 ◎ 三角形两边的和 第三边，三角形两边的差 第三边. 1. 下列三条线段中， 不能构成三角形的是 （ ） A. 3 ， 4 ， 5 B. 4 ， 6 ， 8 C. 5 ， 5 ， 8 D. 1 ， 2 ， 3 2. 已知三角形的三边长为 3 ， 7 ， a ， 则 a 的取值范围是 . 例题点拨 素养导向 【例 1 】 在 △ABC 中， BC＝8 ， AB＝1. （ 1 ） 若 AC 是整数， 求 AC 的长； （ 2 ） 已知 BD 是 △ABC 的中线， 若 △ABD 的周长为 17 ， 求 △BCD 的周长 . 【点拨】 第 （ 1 ） 求边的长度， 由于这条边本身是不确定的， 因此要注意通过条件的限制 确定其值， 根据三边关系确定其取值范围是一个限定条件， 再利用取值范围内取整数值最终 确定边长； （ 2 ） 是利用中线条件确定 △ABD 与 △BCD 中有两条边分别相等， 因此两个三角 形的周长差实际上就是不等的两条边长的差， 从而可求 . 三边都不相等的三角形 等腰三角形 . 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 A 等腰三角形 不等边三角形 图 11.1-2 2 三 角 形 第十一章 【例 2 】 用一条长为 24 cm 的细绳围成一个等腰三角形 . （ 1 ） 如果腰长是底边长的 2 倍， 那么各边的长是多少？ （ 2 ） 能围成有一边的长是 5 cm 的等腰三角形吗？ 为什么？ 【点拨】 （ 1 ） 利用腰长与底边的倍数关系， 设出未知数， 通过列方程求解； （ 2 ） 5 cm 边长可能是腰， 也可能是底边， 因此分情况讨论出结果， 再利用三边关系取舍相关的结果 . 夯实四基 达标闯关 1. 用一根小木棒与两根长分别为 3 cm ， 6 cm 的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长 度可以为 （ ） A. 5 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 2. 下列说法正确的是 （ ） ① 等边三角形是等腰三角形； ② 三角形按边可分为等腰三角形、 等边三角形和不等边三角形； ③ 等腰三角形至少有两边相等； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 3. 如图， D 是 △ABC 的边 BC 上的一点， 则在 △ABC 中， ∠C 所对的 边是 ； 在 △ACD 中， ∠C 所对的边是 . 4. 已知三条线段的长分别是 5 ， 5 ， m ， 它们能构成三角形， 则整数 m 的最大值是 . A B D C 第 3 题图 3 八年级上册 （人教版）数学 5. 小刚准备用一段长 32 m 的篱笆围成一个三角形形状的场地， 用于饲养鸡， 已知第一 条边长为 n m ， 由于条件限制， 第二条边长只能比第一条边长的 2 倍少 3 m. （ 1 ） 请用含 n 的式子表示第三条边长； （ 2 ） 第一条边长能否为 10 m ？ 为什么？ 能力提升 综合拓展 6. 已知 a ， b ， c 是三角形三边的长 . （ 1 ） 化简 |a-b+c|+|b-a+c|+|c-a-b|. （ 2 ） 若 a＝5 ， b＝4 ， c＝3 ， 求 （ 1 ） 中式子的值 . 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·福建） 若某三角形的三边长分别为 3 ， 4 ， m ， 则 m 的值可以是 （ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 8. （ 2023 ·金华） 在下列长度的四条线段中， 能与长 6 cm ， 8 cm 的两条线段围成一个三 角形的是 （ ） A. 1 cm B. 2 cm C. 13 cm D. 14 cm 4 参 考 答 案 参 考 答 案 第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 【 知识点 1 】 不在同一直线上 首尾顺次相接 1. C 2. C 【 知识点 2 】 三条边 两条边 相等的两边 两条腰 腰和底边 1. 8 2. D 【 知识点 3 】 大于 小于 1. D 2. 4＜a＜10 【 例 1 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ， BC-AB＜AC＜BC+AB ， ∴7＜AC＜9. ∵AC 是整数 ， ∴AC＝8. （ 2 ） ∵BD 是 △ABC 的中线 ， ∴AD＝CD ， ∴△ABD 的周长 为 17 ， ∴AB +AD +BD ＝17. ∵AB ＝1 ， ∴AD+BD＝16 ， ∴△BCD 的周长 ＝BC+ BD+CD＝BC+AD+BD＝8+16＝24. 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） 设等腰三角形的底边长为 x cm ， 则腰长为 2x cm ， 由题意得 x+2x+2x＝24 ， 解得 x＝ 24 5 ， 当 x＝ 24 5 时 ， 2x＝ 48 5 ， ∴ 等腰三角形 的各边长分别为 48 5 cm ， 48 5 cm ， 24 5 cm. （ 2 ） 能围成有一边的长是 5 cm 的等腰三角 形 . 理由如下 ： 分两种情况 ： ① 当等腰三角形的 腰长为 5 cm 时 ， ∵ 等腰三角形的周长为 24 cm ， ∴ 等腰三角形的底边长 ＝24-5-5＝14 （ cm ） . ∵5+ 5＝10＜14 ， ∴ 不能组成三角形 ； ② 当等腰三角形 的底边长为 5 cm 时 ， ∵ 等腰三角形的周长为 24 cm ， ∴ 等腰三角形的腰长 ＝ 24-5 2 ＝ 19 2 （ cm ）， ∴ 等腰三角形的各边长分别为 19 2 cm ， 19 2 cm ， 5 cm. 综上所述 ， 能围成有一边的长是 5 cm 的等 腰三角形 . 1. A 2. C 3. AB AD 4. 9 5. 解 ： （ 1 ） ∵ 第一条边长为 n m ， 第二条边长只 能比第一条边长的 2 倍少 3 m ， ∴ 第二条边长为 （ 2n- 3 ） m ， ∴32-n- （ 2n-3 ） ＝ （ 35-3n ） m ， ∴ 第三条边长为 （ 35-3n ） m. （ 2 ） 不能 ， 因为当 n＝10 时 ， 三边长分 别为 10 ， 17 ， 5 ， 由于 10+5＜17 ， 所以不能构成三角 形 ， 即第一条边长不能为 10 m. 6. 解 （ 1 ） ∵a ， b ， c 是三角形的三边长 ， ∴a-b+c＞ 0 ， b-a+c＞0 ， c-a-b＜0 ， |a-b+c|+|b-a+c|+|c-a-b|＝a-b+ c+b-a+c+a+b-c＝a+b+c. （ 2 ） 当 a＝5 ， b＝4 ， c＝3 时 ， 原式 ＝a+b+c＝5+4+3＝12. 7. B 8. C 11.1.2 三角形的高 、 中线与角平分线 【 知识点 】 BC 直线 高 BC 中线 平分 线 1. C 2. 6 1 2 ∠BAC 53° 直角 【 例 1 】 12 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， CD 是边 AB 上的高 ， ∴ 1 2 AC · BC＝ 1 2 AB · CD ， ∴CD＝ AC · BC AB ＝ 7×24 25 ＝ 168 25 （ cm ） . （ 2 ） ∵CE 为 AB 边上的中 线 ， ∴AE＝BE ， ∴△BCE 的周长与 △ACE 的周长 的差为 （ BC+CE+BE ） - （ AC+CE+AE ） ＝BC-AC＝24- 7＝17 （ cm ） . 1. D 2. D 3. C 4. B 5. 8 6. 解 ： ∵BD 是 AC 边上的中线 ， ∴AD＝CD. ∵AC＝ 12 ， ∴ CD=AD= 1 2 AC=6. 又 ∵DE＝2 ， ∴CE＝CD-DE＝6- 2＝4. 7. 解 ： （ 1 ） 由图可知 △BDE 的周长 ＝BE+BD+DE ， 四边形 ACDE 的周长 ＝AE+AC+DC+DE ， 又 △BDE 的周 长与四边形 ACDE 的周长相等 ， D 为 BC 的中点 ， ∴BD＝DC ， BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE ， 即 BE＝AE+ AC. ∵AB＝10 cm ， AC＝6 cm ， ∴10-AE＝AE+6 ， ∴AE＝ 2 cm. （ 2 ） 由 △ABC 的周长被 DE 分成的两部分的 差是 2 ， 可得方程 BE＝AE+AC+2 或 BE＝AE+AC-2. 解 得 AE＝1 cm 或 AE＝3 cm. 故 AE 长为 1 cm 或 3 cm. 8. D 9. C 10. 5 cm 40° 10° 11.1.3 三角形的稳定性 【 知识点 】 稳定 1. C 2. A 【 例 】 C 解析 ： 由图示知 ， 四边形变形了 ， 而三角形没有变形 ， 其中所蕴含的数学原理是三 角形具有稳定性 ， 四边形没有稳定性 . 故答案为 ： 三角形具有稳定性 ， 四边形没有稳定性 . 1. D 2. A 3. D 4. D D BA C 例 1 答图 43