专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题02.三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（双外角） 11 17 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 例2．（2023秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 例3．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角． 试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)； 探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系； 探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 例4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2023·吉林长春·八年级上校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 例2．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】（2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 例3．（2023春·山东泰安·八年级上校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 例2．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 例4．（2023·重庆·八年级上专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线 ∴， ∴ ∴ （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） （4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度． 1．（2023秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级上校考期中）如图，的角平分线交于点O，若，．则（    ） A． B． C． D． 3.（2023秋·广东八年级课时练习）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 4．（2023春·广东·八年级上专题练习）如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（   ） A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180° C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O 5．（2023春·山东·八年级上专题练习）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．（2023·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．52° B．60° C．64° D．68° 8.（2023.广东八年级上期中）在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ． 10．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在中，和的平分线交于点.和的平分线相交于点.若，求与的度数. 11．（2023·江西景德镇·八年级上统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．(1)当∠ABC＝60°，∠P＝______；当∠ABC＝50°，∠P＝______；当∠ABC＝40°，∠P＝______；(2)当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化请求出这个确定的度数． 12．（2023·江苏扬州·八年级上校联考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+ （2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 13．（2023春·重庆八年级上月考）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 14．（2023春·河南驻马店·八年级上统考阶段练习）探究与发现： (1)如图1，在中，，分别平分和． ①若，则______；②若，用含有的式子表示的度数为______； (2)如图2，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系． 15．（2022春·湖北十堰·八年级上统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识． 如图1，中，分别平分，且相交于点“勤奋小组”的同学发现:．证明过程如下:    证明:如图2，连接并延长，    则 (依据1) 与分别平分 又，(依据2) ． 依据1是 ___，依据2是 __；如图3，在图1的基础上，作的角平分线交于点试探究与之间的数量关系．    16．（2023·山西晋城·八年级上统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α． （1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D． ①当α＝70°时，∠BDC度数＝　 　度（直接写出结果）； ②∠BDC的度数为　 　（用含α的代数式表示）； （2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）． 17．（2023春·江苏连云港·八年级上统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有．请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为， 又因为在中，， 所以． 所以______．（理由是：等式性质） 同理可得：______． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，______．所以． 即（）．所以． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数；②直接写出与的关系． 18．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．(1)如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． (3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 19．（2023秋·山西朔州·八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1，，分别是的内角，的平分线，说明的理由． （2）【深入探究】①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是_________； ②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线．，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，．M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是________． 20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ；③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02.三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（双外角） 11 17 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 【答案】100 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，连接并延长交于，根据角平分线定义可得，根据三角形内角和可得，根据三角形内角和即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于P， 平分，，平分，，， ，， ，，故答案为：100． 例2．（2023秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 【答案】(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x° 【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm． （2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC． 【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm∴1＜BC＜7∴BC=6 cm ∴三角形的周长为：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm （2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=×135°=67.5° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)=180°−67.5°=112.5° b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=×(180°− x°)=90°−x° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−x°)=90°＋x° 【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． 例3．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角． 试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)； 探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系； 探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？ 即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 【答案】探究一：；探究二：；探究三： 【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解； 探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解 探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可． 【详解】解：探究一：∵，， ∴；故答案为：； 探究二：∵分别平分和，∴，， ∴ ； 探究三：∵分别平分和，∴，， ∴ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题． 例4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2023·吉林长春·八年级上校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 【答案】25° 【分析】根据角平分线的定义得到∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE， ∴∠D=∠DBE-∠DAE=（∠CBE-∠CAE）=∠C=25°，故答案为：25°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】（2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了双角平分线模型，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线性质，推理出各个角之间的关系是本题的关键．（1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度； （2）同（1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度的关系； （3）利用三角形外角的性质和角平分线性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，   ∴， ∵角平分线、分别平分、，∴，， ∴， 在中，．故答案为：， （2）∵，∴， ∵角平分线、分别平分、，∴，， ∴， ∴． （3） ∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∵ ，∴， ∵，∴． 例3．（2023春·山东泰安·八年级上校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点∴ ∵∴ ∵ ∴同理，得； ；；… ∴故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 【答案】67°． 【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，后再用三角形内角和计算∠AEC的度数． 【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°， ∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°， ∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA， ∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键． 例2．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析； 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）根据外角的性质，可得，结合角平分线的定义可得，，，然后由求解即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，由三角形内角和定理可得，即有，然后结合，即可证明结论． 【详解】如图所示： 解：（1）根据外角的性质得， 平分，平分，，， ，； （2）、是两外角的平分线，，， 而，，，， ，， 即，，． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题考查了与平行线有关的角平分线的计算，涉及了三角形的外角定理，根据，即可判断①；根据即可判断②；根据，、，即可判断③； 【详解】解：∵，    ，平分 ∴∴，故①正确； ∵∴ ∵平分，平分∴∴ ∵∴，故②正确； ∵，∴， ∵，∴， ∵∴，故③错误；故答案为：①② 例4．（2023·重庆·八年级上专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线 ∴， ∴ ∴ （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） （4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度． 【答案】（1）∠BOC=；（2）∠BOC=90°－；（3）；（4）95 【分析】（1）根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可； （2）根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可； （3）由角平分线的性质、四 边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系； （4）由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC= 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线 ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∵∠2是△BOC的一个外角 （2）探究3结论：∠BOC=90°－ ∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线 ∴ ∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A 两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A 即∴整理得：∠BOC=90°－ （3）拓展结论： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠BCD的角平分线∴ ∴∠OBC+∠OCB 在△BOC中， ∴∴ （4）运用：∵CP和DP分别是∠DCF和∠GDC的角平分线∴ ∴∴ ∵∴ 在△CPD中，故答案为：95 【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键． 1．（2023秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在内，且到三边的距离相等，可知是角平分线的交点，则，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等， ∴是角平分线的交点，∴，， ∵，∴，即， ∵，∴，故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级上校考期中）如图，的角平分线交于点O，若，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分的定义求出，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵，，∴， ∵的角平分线交于点O， ∴， ∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了三角内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 3.（2023秋·广东八年级课时练习）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）． 又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC）， ∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故选A． 4．（2023春·广东·八年级上专题练习）如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（   ） A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180° C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O 【答案】D 【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论． 【详解】解：连接AO并延长，交BC于点D， ∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角， ∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②， ①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 5．（2023春·山东·八年级上专题练习）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算． 【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB ∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） ∴∠P=90°+∠A；故（1）的结论正确； （2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC） ∠P=∠PCE-∠PBC∴2∠P=∠A故（2）的结论是错误． （3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠FBC+∠ECB） =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-（∠A+180°）=90°-∠A．故（3）的结论正确． 正确的为：（1）（3）．故选C 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可得出，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， 平分，， 平分，， ，故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出，本题属于基础题，难度不大，解决该题目时，熟练运用三角形内角和解决问题是关键． 7．（2023·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．52° B．60° C．64° D．68° 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=128°．∵BD和CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=64°．故选C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 8.（2023.广东八年级上期中）在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，故选：． 【点睛】本题主要考查四边形的内角和定理，角平分线的性质，三角形的内角和定理的综合运用，掌握以上知识及角度的计算方法是解题的关键． 9．（2023·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD．又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1．∴∠A1=∠A．∵∠A=，∴∠A1=． （2）同理可得∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，···，∴∠An=． 10．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在中，和的平分线交于点.和的平分线相交于点.若，求与的度数. 【答案】，. 【分析】先利用三角形外角的性质得到,,再根据角平分线的性质即可得到,即可求出的度数,再根据平角及角平分线的性质即可求出的度数. 【详解】解:∵PB平分,PC平分,∴, ∵,,∴, ∴, ∵PC平分, OC平分,∴, ∴, ∵, ∴. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键. 11．（2023·江西景德镇·八年级上统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．(1)当∠ABC＝60°，∠P＝______；当∠ABC＝50°，∠P＝______；当∠ABC＝40°，∠P＝______；(2)当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化请求出这个确定的度数． 【答案】(1)，，(2)不会发生变化，45° 【分析】(1)由三角形外角的性质求解的度数，再利用角平分线的定义可求解，的度数，即可求得的度数；(2)根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角的性质证明即可． 【详解】（1），，， ，，，， ，，当时，， 当时，，所以答案为：，，． （2）∠P的度数不会发生变化．设∠ABC＝．则∠PBC＝，∠ACD＝， ∴∠PCD＝＝，∵∠PCD＝∠PBC＋∠P，∴∠P＝． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．（2023·江苏扬州·八年级上校联考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+ （2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【答案】（1）见解析；（2）∠BOC=，理由见解析；（3）∠BOC=90°－ 【分析】（1）利用△ABC和△BOC的内角和为180°进行角度转化可得结论； （2）设∠ABO=x，∠ACO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得；（3）设∠DBO=x，∠ECO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得． 【详解】（1）∵OB、OC分别时∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2 在△ABC中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化简得：∠A+2(∠1+∠2)=180° 在△BOC中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化简得：∠1+∠2=180°－∠BOC，代入上式得： ∠A+2(180°－∠BOC)=180°化简得：∠BOC=90°+ （2）设∠ABO=x，∠ACO=y ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点 ∴∠OBC=∠OBA=x，∠OCD=∠OCA=y，∠ACB=180°－2y ∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化简得：∠A=2(y－x) 在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化简得：∠BOC=(y－x) ∴∠BOC= （3）设∠DBO=x，∠ECO=y同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y ∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化简得：2(x+y)－∠A=180° 在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化简得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得： ∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用方程思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解． 13．（2023春·重庆八年级上月考）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α； （3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC， ∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC， ∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC， ∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°； （2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF， ∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°， ∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α； （3）如图， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β， ∴∠ADB=∠ACB=β．故答案为：β． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 14．（2023春·河南驻马店·八年级上统考阶段练习）探究与发现： (1)如图1，在中，，分别平分和． ①若，则______；②若，用含有的式子表示的度数为______； (2)如图2，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）利用三角形内角和，可求得与度数之和，根据角平分线的定义，可求得与的度数之和，进而可求得．（2）利用四边形内角和，可求得与度数之和，根据角平分线的定义，可求得与的度数之和，进而可求得．（2）利用六边形内角和，可求得与度数之和，根据角平分线的定义，可求得与的度数之和，进而可求得． 【详解】（1）解①， ． ，分别平分和，，． ．． ②， ． ，分别平分和，，． ． ．故答案为：①；②； （2）解：，理由如下：根据题意，得． ，分别平分和，，． ． ； （3）解：． 理由如下：根据题意，得． ，分别平分和，，． ． ∴． 【点睛】本题主要考查多边形内角和以及角平分线的定义，熟记多边形内角和公式，即边形内角和等于，及角平分线的定义是解题的关键． 15．（2022春·湖北十堰·八年级上统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识． 如图1，中，分别平分，且相交于点“勤奋小组”的同学发现:．证明过程如下:    证明:如图2，连接并延长，    则 (依据1) 与分别平分 又，(依据2) ． 依据1是 ___，依据2是 __；如图3，在图1的基础上，作的角平分线交于点试探究与之间的数量关系．    【答案】（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和等于；（2） 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可得出结论； （2）连接并延长，交于点根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得， ，然后根据、等量代换和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得； 由三角形的内角和等于可得 故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和等于； （2）如图，连接并延长，交于点    是的平分线， 同理 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义是解决此题的关键． 16．（2023·山西晋城·八年级上统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α． （1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D． ①当α＝70°时，∠BDC度数＝　 　度（直接写出结果）； ②∠BDC的度数为　 　（用含α的代数式表示）； （2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）（1）①125°；②，（2）；（3） 【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解； （2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解； （3）由折叠的对称性得，结合（1）②的结论可得答案． 【详解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125° ②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分别为125°，90°+α． （2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴，， ∴＝即． （3）由轴对称性质知：， 由（1）②可得，∴． 【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键． 17．（2023春·江苏连云港·八年级上统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有．请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为， 又因为在中，， 所以． 所以______．（理由是：等式性质） 同理可得：______． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，______． 所以． 即（）． 所以． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数；②直接写出与的关系． 【答案】（1）ECB，ACB，ECB；（2）70°；（3）①205°；②=（）+90° 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推出∠AEC=∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解； （3）①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=∠M，进而即可求解；②根据∠N=∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】解：（1）因为， 又因为在中，， 所以． 所以ECB．（理由是：等式性质） 同理可得：_ACB_． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，__ECB____．所以． 即（）．所以． 故答案是：ECB，ACB，ECB； （2）∵，∴∠AEC=∠ABC=20°， ∵、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、， ∴∠EAC+∠FAC=∠ABC+=(∠ABC+)=×180°=90°， ∴∠F=180°-90°-20°=70°； （3）①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N， ∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=∠M， ∵，，∴∠M=180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°， ∴∠N=25°，∴=360°-（180°-25°）=205°； ②∵=360°-（180°-∠N）=180°+∠N，+=180°+∠M， 又∵∠N=∠M，∴-180°=（+-180°）， 即：=（）+90°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键． 18．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．(1)如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC． (3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 【答案】(1)115°(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答；（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE=OF即可解答；（3）根据角平分的定义，角的和差转化即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°； （2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC， ∴OD=OE，OD=OF，∴OE=OF，∴OA平分∠BAC； （3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，∴∠ACO=∠ACB，∠ACP=∠ACD， ∴∠OCP=∠ACO+∠ACP=∠ACB+∠ACD=∠BCD=×180°=90°，∴OC⊥CP． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键． 19．（2023秋·山西朔州·八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1，，分别是的内角，的平分线，说明的理由． （2）【深入探究】①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是_________； ②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线．，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，．M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是________． 【答案】（1）见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【分析】（1）根据，分别是，的平分线，可得，再由三角形内角和定理，即可求解； （2）①根据，分别是的两个外角，的平分线，可得．再由三角形内角和定理，即可求解；②根据，分别是的一个内角和一个外角的平分线以及三角形外角的性质，即可求解； （3）由（1）可得，由三角形内角和定理，可得，再由，分别平分，，可得，再由（2）②可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵，分别是，的平分线， ∴，，∴， ∵，， ∴，∴； （2）①与之间的考量关系是：， 理由如下：∵，分别是的两个外角，的平分线， ∴，． ∴，， ，， ∴，∴． ∵，∴． ∴，∴．故答案为：； ②与之间的等量关系是：，理由如下： ∵，分别是的一个内角和一个外角的平分线， ，， ∴，∴，∴． （3）由（1）得：，∵，∴，∴， ∴，∵，分别平分，， ∴，∴， 由（2）②得：，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，有关角平分线的证明，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理． 20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ；③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 【答案】（1）①130°，②10，③，（2）∠Q＝90°﹣∠A；（3）60°或120°或45°或135°． 【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；②根据平行和角平分线，判断△GPB和△CPH是等腰三角形，把△AGH的周长转化为AB+AC即可；③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，根据角平分线的性质，可知PD=PR=PF，△ABC的面积就等于周长乘以PD，根据30°角，求出PD即可； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°， ②∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP， ∵GH∥BC，∴∠GPB =∠CBP，∴∠ABP=∠GPB，∴BG=GP，同理，CH=PH，GH=BG+HC， △AGH的周长为：AG+GH+AH=AG+BG+AH+HC=AB+AC， △ABC的周长为15，BC=5，15-5=10，∴△AGH的周长为10； 故答案为：10， ③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，连接AP， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴PD=PR，PD=PF， ∵∠ABC=60°，∴∠PBD=30°∵BP=3，∴PD=1.5，∴PR=PF=1.5， ，， ，， ，， ，故答案为：； （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB） ＝[360°﹣(180°-∠A）]＝（180°+∠A）＝90°+∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A； （3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°． 综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定等知识；灵活运用所涉及的知识进行分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$