第09讲 圆的方程（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第09讲 圆的方程 学习目标： 1．掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 2．理解圆的一般方程及其特点，掌握圆的一般方程和标准方程的互化. 3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 4．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程 重点难点： 重点：根据已知条件求出圆的标准方程和一般方程 难点：①运用几何法和待定系数法求圆的标准方程； ②如何选择两种方程，要学会分析问题 知识点一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点三、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 知识点四、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 考点01 标准方程 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 2．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 3．下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 4．已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ． 5．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 6．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 考点02 一般方程 7．圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （    ） A． B． C． D． 10．若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ． 11．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 12．从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 考点03 二元二次曲线与圆的关系 13．若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 15．（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 16．判断与是否是圆的方程，并说明原因. 考点04 点与圆的位置关系 17．已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 18．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 19．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 20．若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 考点05 圆过定点问题 21．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 22．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 23．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 24．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 25．在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 26．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C． (1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)求证：过A，B，C三点的圆过定点． 考点06 点到圆的最值问题 27．已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 28．直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 29．（多选）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 30．若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 31．已知是以点为圆心，为半径的圆上的点，则点到原点的最小距离为 . 考点07 轨迹问题 32．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 33．点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 34．已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 35．已知，点依次满足，则点的轨迹方程为 . 36．在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程． 基础试炼 1．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 6．（多选）若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．0.6 B．2 C．3.41 D．3.42 7．已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 8．已知等腰的腰AC上的中线BD的长为3，则的面积的最大值为 ． 9．已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 10．已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 11．已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 12．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 高阶突破 1．已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 4．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 5．设圆，都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆的圆心距等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．1 6．已知点，其中一点在圆内，一点在圆上，一点在圆外，则圆的方程可能是 ．（答案不唯一，写出一个正确答案即可） 7．已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为 ． 8．已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第09讲 圆的方程 学习目标： 1．掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 2．理解圆的一般方程及其特点，掌握圆的一般方程和标准方程的互化. 3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 4．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程 重点难点： 重点：根据已知条件求出圆的标准方程和一般方程 难点：①运用几何法和待定系数法求圆的标准方程； ②如何选择两种方程，要学会分析问题 知识点一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点三、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 知识点四、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 考点01 标准方程 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 2．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 3．下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 4．已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ． 【答案】 【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以圆心和为直径的圆的标准方程是. 故答案为：. 5．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意可知：， 圆的标准方程为； （2）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （3）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． 6．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 即， 即或， 所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为， 所以曲线C的周长为． 故选：C. 考点02 一般方程 7．圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，即， 所以圆心为. 故选：D 8．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 9．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故圆心为，要想圆心到轴、轴的距离相等， 则. 故选：C 10．若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ． 【答案】2 【详解】因为圆心为，半径为1的圆的方程为，即， 结合题意可得，所以. 故答案为：2. 11．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入三点坐标，可得， 解得， 即， 化简可得圆的标准方程为． 故答案为： 12．从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】选择见解析； 【详解】若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. 若选③： 依题意，点E为AB中点，故E点坐标为，圆E的半径， 所以圆标准方程为. 考点03 二元二次曲线与圆的关系 13．若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得故， 解得， 故选：A 14．若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 15．（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 【答案】ABD 【详解】A，圆的方程都能写成一个二元二次方程,A正确； B，圆的一般方程和标准方程是可以互化的，B正确； C，不表示圆，方程可化为，故不表示圆，而表示点，C错误； D，因为点在圆外，所以， 即，D正确. 故选：ABD. 16．判断与是否是圆的方程，并说明原因. 【答案】答案见解析 【详解】易知即为，其中 满足，其圆心为，半径为的圆； 对于来说，，不是圆的方程. 考点04 点与圆的位置关系 17．已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【答案】B 【详解】由圆的标准方程，知圆心为， 则原点与圆心的距离为，因为， 所以，即原点在圆外. 故选：B. 18．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 19．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得. 故选：B 20．若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 又由圆的一般方程，可得， 即，即或， 所以实数的范围为，例如符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 考点05 圆过定点问题 21．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 22．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 23．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 24．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 25．在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2)过定点和，证明见解析. 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且． （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． 把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 26．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C． (1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)求证：过A，B，C三点的圆过定点． 【答案】(1)存在； (2)证明见解析 【详解】（1）由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0． 设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8．x1＋x2＝m，x1x2＝2m． 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)． 若存在以AB为直径的圆过点C，则，, 得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或． 此时C(0，－1)，AB的中点即圆心，半径r＝|CM|＝， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m， 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0． 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0． 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和． 考点06 点到圆的最值问题 27．已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 28．直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 29．（多选）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BD 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 30．若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 31．已知是以点为圆心，为半径的圆上的点，则点到原点的最小距离为 . 【答案】4 【详解】原点到圆心的距离为，因此点在圆外， 故点到原点的最小距离为. 故答案为： 考点07 轨迹问题 32．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 33．点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故选：D.    34．已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 35．已知，点依次满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，则，，， 所以，代入，得. 故答案为：. 36．在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程． 【答案】（且） 【详解】设点的坐标为， 为等腰三角形，且为顶点，． 又， ， ． 又点不能与点重合，也不能使，，三点共线． 且， 点的轨迹方程为（且）． 基础试炼 1．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 2．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知, 所以, 化简得, 故选：C, 3．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 4．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 5．（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】BC 【详解】由题设，在圆外， 则，解得. 故选：BC 6．（多选）若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．0.6 B．2 C．3.41 D．3.42 【答案】ABC 【详解】 圆：化为标准方程得， 半径，， 所以的取值区间为． 故选：ABC      7．已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意，作图如下：    易知点在圆上，由可知，， 所以，又因为，所以， 则直线斜率，故直线的方程为． 故答案为：. 8．已知等腰的腰AC上的中线BD的长为3，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】以为原点，以 所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，可得， 设，因为，可得，可得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆除去两点， 所以的面积最大值为，则的面积的最大值为． 故答案为：. 9．已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【答案】 【详解】由已知得，解得或， 圆C:，圆心为， 若圆C关于直线对称，则， 解得，所以圆心坐标为 故答案为：. 10．已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 11．已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则 ， 解之得， 所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得， 解得, 又点E在圆C：上， 所以有， 化简得：, 故所求的轨迹方程为． 12．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 高阶突破 1．已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 2．已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设原来圆的方程为，代入点得 ，解得，则圆的方程为， 则，， 则点的坐标为. 故选：B. 3．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 【答案】B 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， 则， 设圆拱桥所在圆的方程为， 将坐标代入，得，解得， 即圆的方程为， 令，则， 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， 故选：B 4．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 【答案】C 【详解】由方程， 得:或且满足， 即或且满足， 所以方程表示半个圆和一条线段， 故选：C 5．设圆，都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆的圆心距等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．1 【答案】C 【详解】∵两圆与两坐标轴都相切，且都过点， ∴两圆的圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等. 设两圆的圆心坐标分别为，， 则有，， ∴为方程的两个实数根， 即为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴. 故选：C. 6．已知点，其中一点在圆内，一点在圆上，一点在圆外，则圆的方程可能是 ．（答案不唯一，写出一个正确答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为，所以， ，， 所以，以点为圆心，以为半径，得到圆，满足题意； （或以点为圆心，以为半径，作圆，满足题意；或以点为圆心，以为半径，作圆，满足题意等） 故答案为：（答案不唯一） 7．已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】取的中点N，连接，取其中点D，如图所示， 当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动． 由外接圆半径为1， 则， 从而．所以的最小值是， 又，， 所以，即， 所以 ， 所以的最小值为. 故答案为：5. 8．已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 【答案】(1)，； (2)，. 【详解】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. （2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$