14.3.2　公式法 同步练 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第2课时　运用完全平方公式因式分解 知识点1　完全平方式 1(2024·泉州期中)下列多项式中,不是两数和(差)的平方公式的是 (A) A.4a2-4a-1 B.4a2+4a+1 C.a2-a+ D.a2+a+ 2已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于 (A) A.64 B.48 C.32 D.16 练易错　忽视完全平方公式中间项的符号可正可负而致错 3(2023·凉山州中考)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是　±2　.  知识点2　用完全平方公式分解因式 4下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 (D) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4 5(2024·泉州期中)把a2-2a+1分解因式,正确的是 (D) A.a(a-2)+1 B.(a+1)2 C.(a+1)(a-1) D.(a-1)2 6因式分解: (1)(2023·株洲中考)x2-2x+1=　(x-1)2　.  (2)(2023·无锡中考)4-4x+x2=　(2-x)2　.  (3)(2023·恩施州中考)a(a-2)+1=　(a-1)2　.  7[教材再开发·P119练习T2变式] 分解因式:(1) 2a3-4a2+2a; 【解析】(1) 原式=2a(a2-2a+1)=2a(a-1)2. (2) 3x3-12x2y+12xy2; 【解析】(2)原式=3x(x2-4xy+4y2)=3x(x-2y)2. (3)-4a2b+12ab2-9b3; 【解析】(3)原式=-b(4a2-12ab+9b2)=-b(2a-3b)2. (4) (a2+4)2-16a2. 【解析】(4)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2 (a-2)2. 知识点3　用完全平方公式分解因式的应用 8若x+y=2,则多项式x2+2xy+2y2的值为 (C) A.2 B.4 C.8 D.16 9求证:不论x,y为何值,整式x2y2-4xy+5总为正. 【证明】x2y2-4xy+5=(xy-2)2+1≥1>0. 即不论x,y为何值, 整式x2y2-4xy+5总为正值. 10下列各式分解因式正确的是 (A) A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2 C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y) D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y) 11若x2+6x+p=(x-q)2,则p,q的值分别为 (B) A.6,6 B.9,-3 C.3,-3 D.9,3 12多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式最佳的是 (C) A.4x B.-4x C.±4x D.-4x4 13(2024·太原期末)已知一个圆的面积为9πa2+6πab+πb2(a>0,b>0),则该圆的半径是(A) A.3a+b B.9a+b C.3ab D.3πa+πb 14利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式是　a2+2ab+b2=(a+b)2　.  15我们知道,对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式可以用公式将它们分解成(x+a)2的形式,但是,对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接用完全平方公式,可以采用如下方法: x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a). (1)以上这种因式分解方法的关键是　　　　.  【解析】(1)配成完全平方式 (2)用上述方法把a2-8a+15因式分解. 【解析】(2)a2-8a+15=a2-8a+16-16+15=(a-4)2-1=(a-4+1)(a-4-1)=(a-3)(a-5). 16新概念·抽象能力、应用意识阅读下列材料: 在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程. 解:设x2-4x=y, 原式=(y+1)(y+7)+9(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2(第四步). 请根据上述材料回答下列问题: (1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的　　　　.  A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 【解析】(1)C (2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果　　　　.  【解析】(2)(x2-4x+4)2=(x-2)4. 答案:(x-2)4 (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解. 【解析】(3)设x2+2x=y,原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　运用完全平方公式因式分解 知识点1　完全平方式 1(2024·泉州期中)下列多项式中,不是两数和(差)的平方公式的是 ( ) A.4a2-4a-1 B.4a2+4a+1 C.a2-a+ D.a2+a+ 2已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于 ( ) A.64 B.48 C.32 D.16 练易错　忽视完全平方公式中间项的符号可正可负而致错 3(2023·凉山州中考)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .  知识点2　用完全平方公式分解因式 4下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 ( ) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4 5(2024·泉州期中)把a2-2a+1分解因式,正确的是 ( ) A.a(a-2)+1 B.(a+1)2 C.(a+1)(a-1) D.(a-1)2 6因式分解: (1)(2023·株洲中考)x2-2x+1= .  (2)(2023·无锡中考)4-4x+x2= .  (3)(2023·恩施州中考)a(a-2)+1= .  7[教材再开发·P119练习T2变式] 分解因式:(1) 2a3-4a2+2a; (2) 3x3-12x2y+12xy2; (3)-4a2b+12ab2-9b3; (4) (a2+4)2-16a2. 知识点3　用完全平方公式分解因式的应用 8若x+y=2,则多项式x2+2xy+2y2的值为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 9求证:不论x,y为何值,整式x2y2-4xy+5总为正. 10下列各式分解因式正确的是 ( ) A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2 C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y) D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y) 11若x2+6x+p=(x-q)2,则p,q的值分别为 ( ) A.6,6 B.9,-3 C.3,-3 D.9,3 12多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式最佳的是 ( ) A.4x B.-4x C.±4x D.-4x4 13(2024·太原期末)已知一个圆的面积为9πa2+6πab+πb2(a>0,b>0),则该圆的半径是( ) A.3a+b B.9a+b C.3ab D.3πa+πb 14利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式是 .  15我们知道,对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式可以用公式将它们分解成(x+a)2的形式,但是,对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接用完全平方公式,可以采用如下方法: x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a). (1)以上这种因式分解方法的关键是 .  (2)用上述方法把a2-8a+15因式分解. 16新概念·抽象能力、应用意识阅读下列材料: 在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程. 解:设x2-4x=y, 原式=(y+1)(y+7)+9(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2(第四步). 请根据上述材料回答下列问题: (1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 .  A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果 .  (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3.2　公式法 第1课时　运用平方差公式因式分解 知识点1　用平方差公式分解因式 1[教材再开发·P117练习T1补充]下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 (C) A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2 2因式分解a2-4的结果是 (A) A.(a+2)(a-2) B.(a-2)2 C.(a+2)2 D.a(a-2) 3已知x2-16=(x-a)(x+a),那么a等于 (B) A.16 B.±4 C.4 D.±2 4分解因式结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是 (D) A.4a2-b2　　　 B.4a2+b2 C.-4a2-b2 D.-4a2+b2 5(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1= (A) A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2) C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1) 6分解因式: (1)(2023·兰州中考)x2-25y2=　(x-5y)(x+5y)　.  (2)(2023·朝阳中考)a3-a=　a(a+1)(a-1)　.  (3)(2023·赤峰中考)x3-9x=　x(x+3)(x-3)　.  (4)(2023·北京中考)x2y-y3=　y(x+y)(x-y)　.  练易错　利用平方差公式因式分解时,因概念不清而致错 7当整数a为　-4(答案不唯一)　时(只写一个),多项式x2+a能用平方差公式分解因式.  知识点2　用平方差公式分解因式的应用 8已知a,b是△ABC的两边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 (A) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.不确定 9(2024·南阳期中)若a+b=2 024,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2=　6 072　.  10已知2x-y=,xy=2,求4x3y-4x2y2+xy3的值. 【解析】4x3y-4x2y2+xy3=xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y)2,当2x-y=,xy=2时,原式=2×=. 11如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形. (1)用代数式表示阴影部分的面积. 【解析】(1)由题意得阴影部分的面积为a2-4b2. (2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,b=3.7时,阴影部分的面积. 【解析】(2)∵a2-4b2=(a+2b)(a-2b), 当a=15.4,b=3.7时, 原式=(15.4+7.4)(15.4-7.4)=22.8×8=182.4. 12如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式(B) A.x2-2x+1=(x-1)2 B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2 D.x2-x=x(x-1) 13已知a+b=2,a-b=4,则a3b-ab3的值是 (D) A.48 B.-12 C.24 D.-24 14(2024·烟台期中)对于任意关于正整数m的多项式(4m+5)2-9都能被　　　　整除(A)  A.8 B.m C.m-1 D.2m-1 15[数学与生活](2023·佛山期中)小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:中,爱,我,数,学,一.现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (C) A.我爱学 B.爱一中 C.我爱一中 D.一中数学 16如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是 (D) A.205 B.250 C.502 D.520 17(2024·淄博期中)计算:1002-992+982-972+…+22-1=　5 050　.  18因式分解:(1)25x2-4y2; 【解析】(1)25x2-4y2 =(5x)2-(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y); (2)2am2-8a; 【解析】(2)2am2-8a =2a(m2-4) =2a(m+2)(m-2); (3)m3(x-2)-m(x-2); 【解析】(3)m3(x-2)-m(x-2) =m(x-2)(m2-1) =m(x-2)(m+1)(m-1); (4)a2(x-y)+4(y-x). 【解析】(4)a2(x-y)+4(y-x) =a2(x-y)-4(x-y) =(x-y)(a2-4) =(x-y)(a+2)(a-2). 19新概念·创新意识、应用意识(2024·三明期中)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数. (1)32这个数是奇特数吗?若是,表示成两个连续奇数的平方差形式. 【解析】(1)∵32=92-72,∴32是奇特数; (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么? 【解析】(2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数, 理由:(2n+1)2-(2n-1)2 =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =8n, ∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数; (3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积. 【解析】(3)S=392-372+352-332+…+72-52+32-12 =(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+…+(3+1)(3-1) =(39+37+35+33+…+3+1)×2 =×2 =800. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3.2　公式法 第1课时　运用平方差公式因式分解 知识点1　用平方差公式分解因式 1[教材再开发·P117练习T1补充]下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( ) A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2 2因式分解a2-4的结果是 ( ) A.(a+2)(a-2) B.(a-2)2 C.(a+2)2 D.a(a-2) 3已知x2-16=(x-a)(x+a),那么a等于 ( ) A.16 B.±4 C.4 D.±2 4分解因式结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是 ( ) A.4a2-b2　　　 B.4a2+b2 C.-4a2-b2 D.-4a2+b2 5(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1= ( ) A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2) C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1) 6分解因式: (1)(2023·兰州中考)x2-25y2= .  (2)(2023·朝阳中考)a3-a= .  (3)(2023·赤峰中考)x3-9x= .  (4)(2023·北京中考)x2y-y3= .  练易错　利用平方差公式因式分解时,因概念不清而致错 7当整数a为 时(只写一个),多项式x2+a能用平方差公式分解因式.  知识点2　用平方差公式分解因式的应用 8已知a,b是△ABC的两边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.不确定 9(2024·南阳期中)若a+b=2 024,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2= .  10已知2x-y=,xy=2,求4x3y-4x2y2+xy3的值. 11如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形. (1)用代数式表示阴影部分的面积. (2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,b=3.7时,阴影部分的面积. 12如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式( ) A.x2-2x+1=(x-1)2 B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2 D.x2-x=x(x-1) 13已知a+b=2,a-b=4,则a3b-ab3的值是 ( ) A.48 B.-12 C.24 D.-24 14(2024·烟台期中)对于任意关于正整数m的多项式(4m+5)2-9都能被 整除( )  A.8 B.m C.m-1 D.2m-1 15[数学与生活](2023·佛山期中)小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:中,爱,我,数,学,一.现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( ) A.我爱学 B.爱一中 C.我爱一中 D.一中数学 16如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是 ( ) A.205 B.250 C.502 D.520 17(2024·淄博期中)计算:1002-992+982-972+…+22-1= .  18因式分解:(1)25x2-4y2; (2)2am2-8a; (3)m3(x-2)-m(x-2); (4)a2(x-y)+4(y-x). 19新概念·创新意识、应用意识(2024·三明期中)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数. (1)32这个数是奇特数吗?若是,表示成两个连续奇数的平方差形式. (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么? (3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$