第十二章 全等三角形 过关检测卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

第 5 页 第 6 页 第十二章追梦过关检测卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 如图所示的两个三角形全等,则∠α 的度数 是(　 　 ) A. 50°　 　 B. 58°　 　 C. 60°　 　 D. 72° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,AC = CD,∠B = ∠E = 90°,AC⊥CD,则 不正确的结论是(　 　 ) A. ∠A 与∠D 互为余角 B. ∠A= ∠2 C. △ABC≌△CED D. ∠1 = ∠2 3. 如图,已知∠ABC = ∠BAD,添加下列条件还 不能判定△ABC≌△BAD 的是(　 　 ) A. ∠C= ∠D B. ∠CAB= ∠DBA C. AC=BD D. BC=AD 4. 下列说法中正确的个数有(　 　 ) ①全等三角形的对应边相等;②全等三角形 的对应角相等;③全等三角形的周长相等; ④周长相等的两个三角形全等;⑤全等三角 形的面积相等;⑥面积相等的两个三角形全 等. A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 5. 已知:在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D,若 BC = 36,且 BD ∶DC = 2 ∶1,则点 D 到 AB 边的距离为(　 　 ) A. 18 B. 12 C. 14 D. 16 6. 如图,如果 AD∥BC,AD =BC,AC 与 BD 相交 于点 O,则图中的全等三角形一共有(　 　 ) A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,∠B = ∠C = 90°,M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC,且∠ADC = 110°,则∠MAB 等 于(　 　 ) A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° 8. 要测量河两岸相对的两点 A,B 的距离,先 在 AB 的垂线 BF 上取两点 C,D,使 CD = BC,再作出 BF 的垂线 DE,使点 A,C,E 在 一条直线上,可以证明△EDC≌△ABC,得 到 ED = AB,因此 ED 长就是 AB 的长 ( 如 图) . 判定△EDC≌△ABC 的理由是(　 　 ) A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 边边角 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于 E,点 F,G 分别在边 AB,AC 上,且 DF =DG, △ADG 与△ADF 的面积分别是 14 和 4,则 △DEF 的面积是(　 　 ) A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 10. 如图,在锐角三角形 ABC 中,∠BAC= 60°,BE,CD 为 三角形 ABC 的角平分线. BE,CD 交于点 F,FG 平分 ∠BFC,有下列四个结论:①∠BFC = 120°; ②BD=BG;③△BDF≌△CEF;④BC =BD+ CE. 其中结论正确的序号有(　 　 ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图为 6 个边长相等的正方形的组合图 形,则∠1+∠2+∠3 = 　 　 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. 如图,已知在等边△ABC 中,BD = CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE= 　 　 　 　 　 . 13. 如图,AB =AC,AD =AE,∠BAC = ∠DAE,∠1 = 25°,∠2= 30°,则∠3=　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 第 14 题图 14. 如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙 上. 已知左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的 水平长度 DF 相等, 那么判定 △ABC 与 △DEF 全等的依据是　 　 　 　 . 15. 如图,三角形纸片中,AB = 8 cm,BC= 6 cm,AC = 5 cm, 沿过点 B 的直线折叠这个 三角形,使点 C 落在 AB 边上的点 E 处,折 痕为 BD,则△AED 的周长为　 　 　 　 . 三、解答题(共 75 分) 16. (8 分)如图,AB∥CD. (1)用直尺和圆规作∠C 的平分线 CP,CP 交 AB 于点 E;(保留作图痕迹,不写作 法) (2)在(1)中作出的线段 CE 上取一点 F, 连接 AF,要使△ACF≌△AEF,还需要 添加一个什么条件? 请你写出这个条 件. (只要给出一种情况即可;图中不 再增加字母和线段;不要求证明) 17. (8 分)如图,DE∥BC,点 A 为 DC 的中点, 点 B,A,E 共线,求证:DE=CB. 第 7 页 第 8 页 18. (9 分)如图,四边形 ABCD 中,BD 是对角 线. (1)已知:AD∥BC,AD =BC,求证:△ABD≌ △CDB; (2)已知:AB∥CD,∠A = ∠C,求证:△ABD ≌△CDB. 19. (9 分)如图,∠DCE = 90°,CD = CE,AD⊥ AC,BE⊥AC,垂足分别为 A、B,求证:AD+ AB=BE. 20. (10 分)如图,AB=AC = 16 cm,BC = 10 cm, 点 D 为 AB 的中点,点 P 在边 BC 上以每秒 2 cm 的速度由点 B 向点 C 运动,同时,点 M 在边 CA 上由点 C 向点 A 匀速运动. (1)若点 M 的运动速度与点 P 的运动速度 相同,经过 1 秒后,△BPD 与△CMP 是 否全等? 请说明理由; (2)若点 M 的运动速度与点 P 的运动速度 不相等,当点 M 的运动速度为多少时, 能够使△BPD 与△CMP 全等? 21. (10 分)在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=BC, 延长 AB 至点 D,使 DB = AB,连接 CD,以 CD 为直角边作等腰直角三角形 CDE,其中 ∠DCE= 90°,连接 BE. (1)求证:△ACD≌△BCE; (2)若 AB= 3 cm,则 BE= 　 　 　 　 cm; (3) BE 与 AD 有何位置关系? 请说明理 由. 22. (10 分)如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于点 D,CD = BD,BF 平分∠DBC,与 CD,AC 分 别交于点 E,F,且 DA=DE,H 是 BC 边的中 点,连接 DH 与 BE 相交于点 G. 求证:(1)△EBD≌△ACD; (2)点 G 在∠DCB 的平分线上. 23. (11 分)如图(1),在△ABC 中,∠ACB 为锐 角,点 D 为射线 BC 上一点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF,连 接 CF. (1)如果 AB=AC,∠BAC= 90°, ①当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重 合),如图(2),线段 CF,BD 所在直线 的位置关系为 　 　 　 　 　 ,线段 CF, BD 的数量关系为　 　 　 　 　 ; ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如 图(3),①中的结论是否仍然成立,并 说明理由; (2)如果 AB≠AC,∠BAC 是锐角,点 D 在 线段 BC 上,当∠ACB 满足什么条件 时,CF⊥BC(点 C、F 不重合),并说明 理由. (1) 　 　 　 (2) (3) 9. B 　 【解析】如图,∵ ∠BAC = 180° - 90°- ∠1 = 90° - ∠1,∠ABC = 180° - 60°-∠3 = 120°-∠3,∠ACB = 180°- 60°- ∠2 = 120° - ∠2. 在 △ABC 中, ∠BAC+∠ABC+∠ACB = 180°,∴ 90° -∠1+120°-∠3+120°-∠2 = 180°,∴ ∠1+∠2 = 150°-∠3,∵ ∠3 = 50°,∴ ∠1+∠2 = 150°- 50° = 100°. 故选 B. 10. C 　 【解析】如图,由三角 形外 角 性 质 可 知: ∠1 = ∠F+∠B,∠2 = ∠A+∠E, ∴ 在四边形 CDHG 中,由 四边形内角和可知 ∠D + ∠C+∠2+∠1 = 360°,∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F= 360°. 故选 C. 二、11. 75° 12. 60°　 【解析】∵ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,∠2+∠3 = 180° -120° = 60°,∴ ∠1+∠2+∠3+∠4 = 2(∠2+∠3)= 120°,∴ ∠α = 180°-120° = 60°. 13. 25° 14. 100° 　 10° 　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠BAC = 40°, ∠ABC:∠ACB = 3 ∶ 4,∴ ∠ABC = 60°,∠ACB = 80°, 又∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD = 20°,∴ 在 △ABD 中,∠ADB = 180°-∠ABC-∠BAD = 100°,∵ BE 是△ABC 的高,∴ BE⊥AC,∴ 在 Rt △BCE 中, ∠CBE= 180°-∠BEC-∠ECD= 10°. 15. 72°　 【解析】∵ 一个无盖的直五棱柱的侧面是长方 形,∴ 每个内角为 90°,又∵ 正五边形的每个内角度 数为(5-2)×180°÷5 = 108°,∴ ∠BAD = 360° -108° - 90°×2 = 72°. 三、16. 证明:∵ 在△ABD 中,AB+BD>AD,在△ACD 中,AC+ DC>AD,∴ AB+BD+AC+DC>2AD,即 2AD<AB+ BC+AC. 17. 解:(1)如图,射线 BD 即为所求. (2 ) ∵ AB = AC, ∠A = 36°, ∴ ∠ABC = ∠C = 72°,∵ BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = 1 2 ∠ABC = 36°, ∴ ∠BDC = ∠A+∠ABD= 72°. 18. 解: ∵ ∠AFD = 155°, FD ⊥ BC, ∴ ∠C = ∠AFD - ∠FDC= 155° - 90° = 65°, ∵ AB = BC, ∴ ∠C = ∠A= 65°,∵ DE⊥AB,∴ ∠AED = 90°,∴ ∠EDF = 360°-90°-155°-65° = 50°. 19. 解:(1)9° (2) ∵ AE 平分∠BAC,∠BAC = 58°,∴ ∠BAE = ∠EAC= 1 2 ∠BAC = 29°,∵ ∠EOF = 125°,∴ ∠AOB = 125°, ∴ ∠ABO = 26°. ∵ BF 平分 ∠ABC,∴ ∠ABO= 1 2 ∠ABC,∴ ∠ABC= 52°, ∴ ∠C= 70°. 20. 解:(1)∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A= 40°,∴ ∠ABC= 90°-∠A = 50°,∴ ∠CBD = 130°. ∵ BE 是∠CBD 的平分线,∴ ∠CBE = 1 2 ∠CBD = 65°. (2)∵ ∠ACB = 90°,∠CBE = 65°,∴ ∠CEB = 90° -65° = 25°. ∵ DF∥BE,∴ ∠F= ∠CEB= 25°. 21. 证明:(1)∵ ∠ACB = 90°,CD⊥AB 于点 D,∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°, ∠B + ∠BCD = 90°, ∴ ∠ACD= ∠B. (2) 在 Rt △AFC 中, ∠CFA = 90° - ∠CAF,同 理,在 Rt△AED 中,∠AED = 90°-∠DAE, 又∵ AF 平分∠CAB,∴ ∠CAF = ∠DAE,∴ ∠AED = ∠CFE,又∵ ∠CEF = ∠AED,∴ ∠CEF= ∠CFE. 22. 解:(1)∵ ∠B= 35°,∠ACB = 85°,∴ ∠BAC = 60°,∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠DAB= ∠DAC= 1 2 ∠BAC = 30°,∴ ∠ADC = 65°,∵ PE⊥AD,∴ ∠EPD = 90°,∴ ∠E= 25°. (2)∠E= 1 2 (∠ACB-∠B) . 23. (1)证明:∵ ∠A = ∠C = 90°,∴ 在四边形 ABCD 中, ∠ABC+∠ADC= 360°-∠A-∠C= 180°. (2) 解:DE ⊥ BF. 证明: 延长 DE 交 BF 于 G, ∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°, ∠ABC + ∠CBM = 180°,∴ ∠ADC= ∠CBM. ∵ DE 平分∠ADC, BF 平 分 ∠CBM, ∴ ∠CDE = 1 2 ∠ADC, ∠EBF = 1 2 ∠CBM, ∴ ∠CDE = ∠EBF. ∵ ∠DEC= ∠BEG,∴ ∠BGE = ∠C = 90°,∴ DE⊥BF. (3)解:DE∥BF. 证明:连接 BD,∵ ∠ABC+∠ADC = 180°,∴ ∠NDC+∠MBC = 180°. ∵ BF、DE 分 别平分 ∠ABC、 ∠ADC 的外角, ∴ ∠EDC + ∠CBF = 90°, ∴ ∠EDC + ∠CDB + ∠CBD + ∠FBC = 180°,即∠BDE + ∠DBF = 180°, ∴ DE∥BF. 第十二章追梦过关检测卷 一、1. A 2. D　 3. C　 4. B　 5. B 6. B 　 【解析】 共 4 对, △ABD ≌ △CDB, △ACD ≌ △CAB,△AOD≌△COB,△AOB≌△COD. 故选 B. 7. B　 【解析】作 MN⊥AD 于 N,∵ ∠B= ∠C = 90°,∴ AB ∥CD, ∴ ∠DAB = 180° - ∠ADC = 70°. ∵ DM 平分 ∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴ MN = MC. ∵ M 是 BC 的中点,∴ MC= MB,∴ MN = MB,又∵ MN⊥AD,MB ⊥AB,∴ ∠MAB= 1 2 ∠DAB= 35°. 故选 B. 8. B　 【解析】∵ AB⊥BF,DE⊥BD,∴ ∠ABC = ∠EDC. 在△EDC 和△ABC 中, ∠EDC= ∠ABC, DC=BC, ∠ECD= ∠ACB, { ∴ △EDC≌△ABC(ASA) . 故选 B. 9. C　 【解析】过点 D 作 DH⊥AC 于 H,∵ AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,∴ DE = DH,在 Rt △DEF 和 Rt△DHG 中, DE =DH DF=DG{ , ∴ Rt △DEF ≌ Rt △DHG (HL),∴ S△EDF = S△HGD,同理 Rt△ADE≌Rt△ADH,∴ S△ADE =S△ADH,∵ △ADG 与△ADF 的面积分别是 14 和 4. S△ADG =S△ADH+S△DGH = S△ADF +2S△EDF,∴ S△EDF = 5. 故 —32— 选 C. 10. B　 【解析】∵ ∠A= 60°,BE、CD 为三角形 ABC 的角 平分线,∴ ∠EBC+∠DCB= 1 2 ∠ABC+ 1 2 ∠ACB = 1 2 ×(180° - ∠A) = 60°, ∴ ∠BFC = 180° - ( ∠EBC + ∠DCB)= 120°,故①正确;由①得,∠BFC = 120°, ∠DFB = 60°, ∵ FG 平 分 ∠BFC, ∴ ∠BFG = 1 2 ∠BFC = 60°, 在 △BDF 和 △BGF 中, ∠BFD= ∠BFG BF=BF ∠DBF= ∠GBF { ,∴ △BDF≌△BGF(ASA),∴ BD = BG,故②正确;在△BDF 和△CEF 中,只有∠BFD = ∠CFE= 60°,∴ △BDF 和△CEF 不一定全等,故③ 错误;由②可得 BD=BG,同理可得△CEF≌△CGF, ∴ CE=CG,∴ BC=BG+CG=BD+CE,故④正确. 故选 B. 二、11. 135° 　 【解析】观察图形可知,△ABC≌△DBE,∴ ∠ABC= ∠1 = ∠DBE. 又∵ ∠DBE+∠3 = 90°,∴ ∠1 +∠3 = 90°. 由图形可知∠2 = 45°,∴ ∠1+∠2+∠3 = ∠1+∠3+∠2 = 90°+45° = 135°. 12. 60° 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABD = ∠C = 60°, AB = BC. 在 △ABD 和 △BCE 中, AB=BC, ∠ABD= ∠BCE, BD=CE, { ∴ △ABD ≌ △BCE ( SAS ) . ∴ ∠BAD= ∠CBE. ∵ ∠ABE+∠EBC = 60°,∴ ∠APE = ∠ABE+∠BAD= 60°. 13. 55°　 【解析】∵ ∠1+∠CAD = ∠CAE+∠CAD,∴ ∠1 = ∠CAE. 在 △ABD 和 △ACE 中, AB=AC ∠1 = ∠CAE AD=AE { ,∴ △ABD≌△ACE(SAS) . ∴ ∠2 = ∠ABD. ∴ ∠3 = ∠1+ ∠ABD= ∠1+∠2 = 25°+30° = 55°. 14. HL 15. 7cm　 【解析】∵ 折叠这个三角形使点 C 落在 AB 边 上的点 E 处,折痕为 BD,∴ BE = BC,DE = CD,∴ AE =AB-BE=AB-BC = 8-6 = 2(cm),∴ △ADE 的周长 =AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE= 5+2 = 7(cm) . 三、16. 解:(1)如图所示: (2)取点 F 和连接 AF 如图. 补充条件:AF⊥CE. (补充条件不唯一) 17. 证明:∵ DE∥BC,∴ ∠D = ∠C,∠E = ∠B. ∵ 点 A 为 DC 的中点, ∴ DA = CA. ∴ △ADE ≌ △ACB (AAS) . ∴ DE=CB. 18. 证明:(1)∵ AD∥BC,∴ ∠ADB = ∠CBD. ∴ 在△ABD 与△CDB 中,AD =BC,∠ADB = ∠CBD,BD =DB,∴ △ABD≌△CDB(SAS); (2)∵ AB∥CD,∴ ∠ABD= ∠CDB. 在△ABD 与 △CDB 中,∠ABD = ∠CDB,∠A = ∠C,BD =DB,∴ △ABD≌△CDB(AAS) . 19. 证明:∵ AD⊥AC,∴ BE⊥AC,∠DAC= ∠CBE= 90°, ∵ ∠DCE = 90°, ∴ ∠D + ∠DCA = ∠DCA + ∠BCE, ∴ ∠D = ∠BCE. 又 ∵ CD = CE, ∴ △ACD≌△BEC( AAS),∴ BE = AC,AD = BC, ∴ AD+AB=BC+AB=AC=BE. 20. 解:(1)△BPD 与△CMP 全等. 理由:当 t = 1s 时,PB = 2cm,CM = 2cm,BD = 1 2 AB= 8cm,PC = 10-2 = 8(cm),∵ AB = AC, ∴ ∠B = ∠C, 在 △BPD 和 △CMP 中, BD=CP ∠B= ∠C BP=CM { ,∴ △BPD≌△CMP(SAS); (2) 由题意知△BPD 与△CMP 全等时,CM≠ PB,∴ CM=BD= 8,PC =PB = 5,∴ t = 5 2 s,∴ 点 M 的运动速度= 8÷ 5 2 = 16 5 (cm / s). 21. (1)证明:∵ △DCE 是等腰直角三角形,∴ CD =CE, ∵ ∠DCE = 90°, ∠ACB = 90°, ∴ ∠ECD + ∠DCB = ∠DCB + ∠ACB, 即 ∠ECB = ∠ACD, 在 △ACD 和 △BCE 中, CD=CE, ∠ACD= ∠BCE, CA=CB, { ∴ △ACD ≌ △BCE (SAS); (2)6　 【解析】∵ △ACD≌△BCE,∴ AD =BE,∵ DB =AB= 3cm,∴ BE= 2×3 = 6(cm) . (3) 解:BE 与 AD 垂直. 理由:如 图,∵ △ACD≌△BCE,∴ ∠1 = ∠2,又∵ ∠3 = ∠4, ∴ ∠EBD = ∠ECD = 90°, ∴ BE⊥AD. 22. 证明:(1) ∵ CD⊥AB,∴ ∠BDE = ∠CDA = 90°. 又∵ DE = DA, BD = CD, ∴ △EBD ≌ △ACD (SAS); (2) ∵ H 是 BC 边的中点, ∴ BH = CH. 在 △DBH 和△DCH 中, DB=DC, DH=DH, BH=CH,{ ∴ △DBH ≌ △DCH ( SSS ), ∴ ∠BDH = ∠CDH, ∠DHB= ∠DHC= 90°,∴ DH 平分∠BDC, DH⊥BC. 过点 G 作 GM⊥AB,GN⊥DC,∴ GM = GN. ∵ BF 平分∠ABC,∴ GM = GH, ∴ GH=GN,∴ 点 G 在∠DCB 的平分线上. 23. 解:(1)①CF⊥BD　 CF=BD ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,①中的 结论仍然成立. 理由:由正方形 ADEF 得 AD =AF,∠DAF = 90°. ∵ ∠BAC = 90°,∴ ∠BAD = ∠CAF. 又 ∵ AB = AC, ∴ △DAB ≌ △FAC (SAS) . ∴ CF=BD,∠ACF= ∠ABD. ∵ ∠BAC = 90°,AB = AC, ∴ △ABC 是等腰直角三角 形. ∴ ∠ABC = ∠ACB = 45°,∴ ∠ACF = 45°, ∴ ∠BCF= ∠ACB+∠ACF= 90°. 即 CF⊥BD; (2)当∠ACB= 45°时,CF⊥BC. 理由:如图,过点 A 作 AG ⊥ AC 交 CB 的延长线于点 G, 则 ∠GAC = 90°. ∵ ∠ACB = 45°, ∴ ∠ACB = ∠AGC= 45°,∴ △AGC 是等腰直角三角形, ∴ AC = AG. ∵ ∠DAF = 90°, ∴ ∠DAG = —42— ∠FAC. ∵ AD=AF,∴ △GAD≌△CAF(SAS), ∴ ∠ACF = ∠AGC = 45°,∴ ∠BCF = ∠ACB+ ∠ACF= 45°+45° = 90°,即 CF⊥BC. 第十三章追梦过关检测卷 一、1. B　 2. D　 3. B　 4. C　 5. D　 6. B 7. B　 【解析】当 AB 为腰时,分别 以 A、B 点为顶点,以 AB 为半径 作圆,可找出格点 C 的个数有 6 个,如图所示. 故使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形的格点 C 有 6 个. 故选 B. 8. D　 9. B 　 【解析】 由题意,得 ∴ ∠AMN = ∠NMC = ∠B, ∠NCM= ∠BCM= ∠NMC,∴ ∠ACB= 2∠B,NM =NC, ∴ ∠B= 30°. ∵ AN = 1,∴ MN = 2,∴ AC = AN+NC = 3, ∴ BC= 6. 故选 B. 10. D　 【解析】∵ △ABC 三个内角的平分线交于点 O, ∴ ∠BAO= ∠CAO,∠ABO = ∠CBO,而∠BAC = 80°, ∴ ∠OAC= 40°,∵ AD=AO,∴ ∠D= ∠AOD,∴ ∠OAC = ∠D + ∠AOD = 2 ∠D,∴ ∠D = 20°. 在 △BCO 与 △DCO 中,BC = DC,∠BCO = ∠DCO,CO = CO,∴ △BCO≌△DCO(SAS),∴ ∠OBC = ∠D = 20°,∠ABC = 40°,∴ ∠BCA= 180°-80°-40° = 60°. 故选 D. 二、11. (0,-1)　 12. 50° 13. 96°　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB,交 AB 延长线于点 E,DF⊥AC 于 F,∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ DE = DF. ∵ DP 是 BC 的 垂 直 平 分 线, ∴ BD = CD, 在 Rt△DEB 和 Rt △DFC 中, DB = DC, DE = DF. ∴ Rt△DEB≌ Rt △DFC ( HL) . ∴ ∠BDE = ∠CDF,∴ ∠BDC= ∠EDF,∵ ∠DEB = ∠DFC = 90°,∴ ∠EAF+ ∠EDF= 180°,∵ ∠BAC = 84°,∴ ∠BDC = ∠EDF = 96°. 14. 10　 【解析】延长 ED 交 BC 于 M,延 长 AD 交 BC 于 N,∵ AB = AC,AD 平 分∠BAC,∴ AN⊥ BC,BN = CN,∵ ∠ECB= ∠E= 60°,△CEM 为等边三 角形. ∵ CE = 8,DE = 2,∴ DM = 6. ∵ △CEM 为等边三角形,∴ ∠EMC = 60°,∵ AN⊥BC,∴ ∠DNM = 90°,∴ ∠NDM = 30°,∴ NM= 3,CN= 8-3 = 5,∴ BN= 5,∴ BC= 2BN= 10. 15. 7 三、16. 解:如图所示,作点 A 关于直线 a 对称的点 C,连接 BC 交 a 于点 P,则点 P 就是抽水站的位置. 17. 解:设∠1 = 2x,则∠2 = 5x. ∵ DE 是 AB 的垂直平分 线,∴ DA=DB,∴ ∠B= ∠2 = 5x. ∵ ∠ADC = ∠B+ ∠2 = 10x,∠C= 90°,∴ ∠ADC+∠1 = 90°,即 10x +2x= 90°,∴ x= 7. 5°,∴ ∠ADC= 10x= 75°. 18. 解:(1)如图　 C1(3,2) (2)如图　 C2(3,0) (3)N(-a,-b+2) 19. 解: ∵ ∠ACB = 90°,FD⊥AB, ∴ ∠ACB = ∠FDB = 90°,∵ ∠F= 30°,∴ ∠A = ∠F = 30°. 又∵ DE 垂 直平分 AB,∴ ∠EBA= ∠A= 30°. ∵ DE= 1,∴ BE = 2DE= 2. 20. (1)证明:在△ABE 和△DCE 中,∠A= ∠D,∠AEB = ∠DEC,AB=CD,∴ △ABE≌△DCE(AAS); (2)解:∵ △ABE≌ △DCE,∴ BE = CE. ∴ ∠EBC = ∠ECB. 又∵ ∠AEB= 70°,∴ ∠EBC = 1 2 ∠AEB = 35°. 21. (1)证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ AB = AD+BD, AB=AD+EC,∴ BD =EC. 在△DBE 和△ECF 中, BE=CF,∠B = ∠C,BD =EC,∴ △DBE≌△ECF (SAS),∴ DE=EF,∴ △DEF 是等腰三角形; (2)解:∵ ∠A= 56°,∴ ∠B = ∠C = 1 2 ×(180°- 56°) = 62°,∴ ∠BDE+ ∠DEB = 118°. 又∵ △DBE≌ △ECF,∴ ∠BDE = ∠FEC,∴ ∠FEC+ ∠DEB = 118°,∴ ∠DEF= 62°. 22. 证明:延长 BD 到 F,使 BF =BA,连接 AF,CF,∵ ∠ABD = 60°, ∴ △ABF 为 等 边 三 角 形,∴ AF = AB = AC = BF, ∠AFB = 60°, ∴ ∠ACF = ∠AFC. 又∵ ∠ACD= 60°, ∴ ∠AFB = ∠ACD = 60°, ∴ ∠DFC= ∠DCF,∴ DC = DF,∴ BD+DC = BD+ DF=BF=AB,即 BD+DC=AB. 23. ( 1) 证明: ∵ ∠BAC = ∠DAE, ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,即∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 与 △ACE 中,AB=AC,∠BAD = ∠CAE,AD = AE,∴ △ABD≌△ACE(SAS); (2)解:①132° ②∠BAC+∠BCE = 180°. 理由如下:由(1)可知 △ABD≌ △ACE ( SAS ), ∴ ∠B = ∠ACE. ∵ ∠BAC+∠ABD+∠BCA= 180°,∴ ∠BAC+∠BCE = ∠BAC+∠BCA+∠ACE = ∠BAC+∠BCA+∠B = 180°; (3)解:不成立. 当点 D 在线段 BC 的 反 向 延 长 线 上 时, ∠BAC = ∠BCE. 理 由: ∵ ∠DAE = ∠BAC, ∴ ∠DAB= ∠EAC, 在 △ADB 和 △AEC 中, AB = AC, ∠BAD = ∠CAE, AD = AE,∴ △ADB ≌ △AEC ( SAS ), ∴ ∠ABD = ∠ACE. ∵ ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB, ∠ACE = —52—