14.3 因式分解-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 14. 3　 因式分解 14. 3. 1　 提公因式法 因式分解 1. (3 分)(商丘月考)下列各式从左到右的变形 中,不是因式分解的是(　 　 ) A. -3x2 +6xy= -3x(x-2y) B. a2 +2ab=a(a+2b) C. ab-a-b+1 = (a-1)(b-1) D. a2 +2a-3 =a(a+2- 3 a ) 2. (3 分)一个多项式分解因式的结果是(b3 +3) (3-b3),那么这个多项式是(　 　 ) A. b6 -9　 　 B. 9-b6 　 　 C. b6 +9　 　 D. -b6 -9 提公因式法 3. (3 分)多项式8x2y2 -14x2y+4xy3中各项的公因 式是(　 　 ) A. 8xy B. 2xy C. 4xy D. 2y 4. (3 分)一个多项式因式分解后是 3x(x+1),那 么这个多项式是(　 　 ) A. 3x2 +1 B. 3x2 +x C. 3x2 +3x D. 4x 5. (3 分)已知 a+b = 2,ab = -1,则 a2b+ab2 的结 果是　 　 　 　 　 　 . 6. (12 分)分解因式: (1)2x2 -12xy2 +8xy3; (2)(2x+y)(2y-x) -2x(x-2y); (3)a(m-2n) +(3a+2b)(m-2n); (4)2(a-9) 2 -a+9. 提公因式后漏项 7. (3 分)把 8m2n-2mn 分解因式是(　 　 ) A. 2mn(4m+1) B. 2m(4m-1) C. mn(8m-2) D. 2mn(4m-1) 8. (3 分)(东营模拟)n 为正整数,若 2an-1 -4an+1 的公因式是 M,则 M 等于(　 　 ) A. an-1 B. 2an C. 2an-1 D. 2an+1 9. (3 分)多项式(x+2) (2x-1) -2(x+2)可以因 式分解成(x+m)(2x+n),m,n 为整数,则 m-n 的值是(　 　 ) A. 3 B. -1 C. 5 D. -3 86 10. (3 分)已知 a 是有理数,则整式 a2(a2 -2) - 2a2 +4 的值(　 　 ) A. 不是负数 B. 恒为正数 C. 恒为负数 D. 不等于 0 11. (3 分)(商丘期末)已知方程组 2x+y= 6 x-3y= 1{ ,则 7y(x-3y) 2 -2(3y-x) 3 = 　 　 　 　 . 12. (5 分)(新乡期中)先化简,再求值: 30x2(y+4) -15x(y+4),其中 x= 2,y= -2. 13. (7 分)△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且 a+ 2ab= c+ 2bc,请判断△ABC 是等边三角形还 是等腰三角形? 14. (8 分)(济宁模拟)如图,边长为 a、b 的长方 形,它的周长为 14,面积为 10,计算 a2b+2ab +ab2 的值. 15. (8 分)【注重实践探究】 (青岛模拟)阅读下 列因式分解的过程,再回答所提出的问题. 　 1+x+x(x+1) +x(x+1) 2 = (1+x)[1+x+x(1+x)] = (1+x) 2(1+x) = (1+x) 3 . (1)上述分解因式的方法是　 　 　 　 法; (2)分解 1+x+x(x+1) +x(x+1) 2 +…+ x(x+1) 2 021 的结果应为　 　 　 　 ; (3)分解因式:1+x+x(x+1) +x(x+1) 2 +… +x(x+1) n . 96 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 14. 3. 2　 公式法 用平方差公式分解因式 1. (3 分)下列多项式能用平方差公式分解因式 的是(　 　 ) A. 9a2 +4b2 　 　 　 　 　 　 　 B. -4a2 -9b2 C. -(4a2 +9b2) D. 4a2 -9b2 2. (3 分)分解因式(x-2) 2 -16 的结果是(　 　 ) A. (x+8)(x+1) B. (x+2)(x-6) C. (x-2)(x+4) D. (x-10)(x+8) 3. (3 分)(三门峡期中)若 3x-2y = a,x-4y = b, 则(x+y) 2 -(2x-3y) 2 的值是(　 　 ) A. -ab B. ab C. a2 +b2 D. a2 -b2 4. (7 分)已知 x = 1 6 ,y = 1 8 ,求(2x+ 3y) 2 -(2x- 3y) 2 的值. 用完全平方公式分解因式 5. (3 分)4(a-b) 2 -4(b-a) +1 因式分解的结果 是(　 　 ) A. (2a-2b+1) 2 B. (2a+2b+1) 2 C. (2a-2b-1) 2 D. (2a-2b+1)(2a-2b-1) 6. (3 分)(安阳期中)计算 1002 -2×100×99+992 的结果为(　 　 ) A. 1　 　 　 B. -1　 　 　 C. 2　 　 　 D. -2 7. (6 分)分解因式: (1) -x3 +x2 - 1 4 x; (2)(3x-5) 2 +6(3x-5) +9. 8. (7 分)(开封期末)已知 a2 +2ab+b2 -4(a+b- 1)= 0,求 a+b 的值. 因式分解不彻底 9. (7 分)因式分解:a4 -8a2 +16 = (a2 -4) 2 是否 正确,若不正确,请写出正确的结果. 07 10. (3 分) (漯河期末)若 n 为任意整数,( n+ 11) 2 - n2 的值总可以被 k 整除, 则 k 等 于(　 　 ) A. 11 B. 22 C. 11 或 22 D. 11 的倍数 11. (3 分)(商丘月考)已知 a,b,c 是△ABC 的三 边长, 则 ( a2 + b2 - c2 ) 2 - 4a2b2 的 取 值 为(　 　 ) A. 大于 0 B. 等于 0 C. 小于 0 D. 非负数 12. (7 分)若 ab = 3 8 ,a+ b = 5 4 ,求多项式 a3b+ 2a2b2 +ab3 的值. 13. (7 分) (石家庄模拟)下面是某同学对多项 式(x2 -4x+2)(x2 -4x+6) +4 进行因式分解的 过程. 解:设 x2 -4x= y 原式= (y+2)(y+6) +4 …第一步 = y2 +8y+16…………第二步 = (y+4) 2……………第三步 = (x2 -4x+4) 2………第四步 回答下列问题: (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解 的　 　 　 　 　 　 　 公式; (2)该同学因式分解的结果是否彻底? 　 　 　 　 　 (填“彻底”或“不彻底”),若不 彻底,请直接写出因式分解的最后结果 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (3)以上方法叫做“换元法” . 请你模仿以上 方法对(x2 -2x) (x2 -2x+2) +1 进行因式 分解. 14. (8 分)【注重实践探究】 (湘潭期末)我们的 数学学习是在公式化体系不断完善中进行 的. 前面我们学习了平方差公式,在平方差 公式的基础上,我们对式子 a3 - b3 有如下 推导: 解: a3 -b3 =a3 -a2b+a2b-b3 =a2(a-b) +b(a2 -b2) =a2(a-b) +b(a+b)(a-b) = (a-b)[a2 +b(a+b)] = (a-b)(a2 +ab+b2) . 我们称上述公式为立方差公式. 请同学们结 合上述结论解答下列问题: (1)因式分解:x3 -8. (2)请猜想:对于 a3 +b3 有立方和公式吗? 若 有,请进行推导;若没有,请说明理由. 17 (2)原式= 4x2 -(9-4x2 )= 8x2 -9. 6. 解:　 (x+2)(x-2)+(2x-1)(2x+1)-4x(x-1) = x2 -4+4x2 -1-4x2 +4x = x2 +4x-5. 当 x= 2 时,原式= 22 +4×2-5 = 7. 7. B 8. 解:(1)原式= (1 000+7)(1 000-7) = 1 0002 -72 = 1 000 000-49 = 999 951; (2)原式= 1 11 ×(6652 -3352 ) = 1 11 ×(665+335)×(665-335) = 30 000. 9. 解:原式= (x+1) 2 -(2y) 2 -[(x-1) 2 -(2y) 2 ] = (x+1) 2 -(2y) 2 -(x-1) 2 +(2y) 2 = (x+1) 2 -(x-1) 2 = (x+1+x-1)(x+1-x+1)= 4x. 10. B　 【解析】∵ (2-x)(2+x)(4+x2)= (4-x2)(4+x2)= 16 -x4 = 16-xn,∴ n= 4. 故选 B. 11. C　 12. ±8 13. 解:　 3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1) = 6a2 +3a-(4a2 -1) = 6a2 +3a-4a2 +1 = 2a2 +3a+1. ∵ 2a2 +3a-6 = 0,∴ 2a2 +3a= 6, ∴ 原式= 6+1 = 7. 14. 证明:(3n+1)(3n- 1) -(3-n) (3+n) = (3n) 2 - 1-(32 - n2 )= 9n2 -1-9+n2 = 10n2 -10 = 10(n2 -1) . ∴ 原式是 10 的倍数. 15. (2n-1)(2n+1)= (2n) 2 -1 14. 2. 2　 完全平方公式 1. B　 【解析】x2 +x+ 1 4 =(x+ 1 2 ) 2 . 故选 B. 2. B　 3. C 4. D　 【解析】(x+a) 2 = x2 +2ax+a2 = x2 -10x+b,∴ 2a= -10,a = -5;b=a2 =(-5) 2 = 25. 故选 D. 5. C 6. 解:(1)原式= x2 +2xy+y2 -4(x2 -y2 )+4(x2 -2xy+y2 ) = x2 +2xy+y2 -4x2 +4y2 +4x2 -8xy+4y2 = 9y2 -6xy+x2 ; (2)原式= [(a-2b)+1][(a-2b)-1] = (a-2b) 2 -12 =a2 -4ab+4b2 -1. 7. 解:原式= 2b2 +a2 -b2 -(a2 -2ab+b2 ) =a2 +b2 -a2 +2ab-b2 = 2ab. 当 a= -3,b= 1 2 时,原式= 2×(-3)× 1 2 = -3. 8. C　 9. D　 10. ±10　 11. A　 12. C 13. ±6 14. 解:(1) ± 2　 【解析】 (3x,- 3x)⊗( ky,y)= (3x) 2 +y2 - (-3x·ky)= 9x2 + 3kxy+y2 . ∵ (3x,- 3x)⊗( ky, y)是一个完全平方式,∴ 3kxy= ±6xy. ∴ k= ±2. (2)∵ (2x+y,x2 +y2 )⊗(2,x-2y)= 60. 即(2x+y) 2 +(x-2y) 2 -2(x2 +y2 )= 60. ∴ x2 +y2 = 20. ∵ x+y= 6. ∴ (x+y) 2 = 36. ∴ x2 +y2 +2xy= 36. ∴ 2xy= 36-20 = 16. ∴ xy= 8. 15. 解:(1)(a-b) 2 (2)(a-b) 2 = (a+b) 2 -4ab (3)由(2)题关系式,可得( x-y) 2 = ( x+y) 2 - 4xy = (-4) 2 -4×3 = 4,∴ x-y= ±2,即 x-y 的值是±2. 16. 解:设 x-2 018 = a,x- 2 021 = b,则 a2 +b2 = 31,a-b = x- 2 018-x+2 021 = 3,∴ a2 -2ab+b2 = (a-b) 2 = 9,∴ 31- 2ab= 9,解得 ab= 11,即(x-2 018)(x-2 021)= 11. 14. 3　 因式分解 14. 3. 1　 提公因式法 1. D　 2. B 3. B　 【解析】原式= 2xy(4xy-7x+2y2) . 故选 B. 4. C　 【解析】3x(x+1)= 3x2 +3x. 故选 C. 5. -2 6. 解:(1)原式= 2x(x-6y2 +4y3 ) . (2)原式= (2y-x)(2x+y+2x)= (2y-x)(4x+y) . (3)原式= (m-2n)(a+3a+2b)= 2(2a+b)(m-2n) . (4)原式= (a-9)(2a-19) . 7. D　 8. C 9. C　 【解析】∵ (x+2)(2x-1)-2(x+2)= (x+2)(2x-3)= (x +m)(2x+n),∴ m= 2,n= -3,∴ m-n= 5. 故选 C. 10. B　 【解析】a2(a2 -2)-2a2 +4 =a2(a2 -2)-2(a2 -2)= (a2 -2)(a2 -2)= (a2 -2) 2 ≥0,∵ a 为有理数,∴ a≠± 2,∴ (a2 -2) 2 >0. 故选 B. 11. 6　 【解析】7y(x- 3y) 2 - 2(3y-x) 3 = ( x- 3y) 2(7y- 6y+ 2x)= (x-3y) 2(2x+y)= 12 ×6 = 6. 12. 解:原式= 15x(y+4)(2x-1) . 当 x= 2,y= -2 时, 原式= 15×2×(-2+4)×(2×2-1)= 180. 13. 解:△ABC 是等腰三角形. 理由如下:∵ a+2ab = c+ 2bc, ∴ (a-c)+2b(a-c)= 0. ∴ (a-c)(1+2b)= 0,故 a = c 或 1+2b= 0. 显然 b≠- 1 2 ,∴ a = c,∴ △ABC 为等腰 三角形. 14. 解:∵ 边长为 a、b 的长方形,它的周长为 14,面积为 10, ∴ a+b= 7,ab= 10,∴ a2b+2ab+ab2 = ab(a+2+b)= 10 ×(7+2)= 90. 15. 解:(1)提公因式　 (2)(x+1) 2 022 (3)原式= (1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x) n-1 ] = (1 +x) 2 [1+x+x(1+x)+…+x(1+x) n-2 ] = (x+1) n+1 14. 3. 2　 公式法 1. D 2. B　 【解析】原式=(x-2+4)(x-2-4)= (x+2)(x-6) . 故 选 B. 3. A 4. 解:(2x+3y) 2 -(2x-3y) 2 = (2x+3y+2x-3y) (2x+3y-2x+ 3y)= 4x·6y= 24xy. 当 x= 1 6 ,y= 1 8 时,原式= 24× 1 6 × 1 8 = 1 2 . 5. A　 6. A 7. 解:(1)原式= -x(x2 -x+ 1 4 )= -x(x- 1 2 ) 2 . (2)原式= (3x-5+3) 2 = (3x-2) 2 . 8. 解:∵ a2 +2ab+b2 -4(a+b-1)= 0. (a+b) 2 -4(a+b)+4 = 0. (a+b-2) 2 = 0. ∴ a+b-2 = 0,得 a+b= 2. 9. 解:不正确,正确结果为 a4 -8a2 +16 = (a2 -4) 2 = [(a+2) —71— (a-2)] 2 = (a+2) 2(a-2) 2 . 10. A　 【解析】∵ (n+ 11) 2 -n2 = (n+ 11+n) (n+ 11-n) = 11(2n+11),∴ k= 11. 故选 A. 11. C　 【解析】(a2 +b2 -c2) 2 -4a2b2 = (a2 +b2 -c2 +2ab)(a2 + b2 -c2 -2ab)= [(a+b) 2 -c2][(a-b) 2 -c2] =(a+b+c)(a+ b-c)(a-b+c)(a-b-c),由三角形性质可知,a+b+c>0,a +b-c>0,a-b+c>0,a-b-c<0,∴ 原式<0. 故选 C. 12. 解:a3b+2a2b2 +ab3 =ab(a2 +2ab+b2 )= ab(a+b) 2 . 当 ab= 3 8 ,a+b= 5 4 时,原式= 3 8 ×( 5 4 ) 2 = 75 128 . 13. 解:(1)完全平方　 (2)不彻底　 (x-2) 4 (3)设 x2 - 2x = y,则原式 = y(y+ 2) + 1 = y2 + 2y+ 1 = (y+1) 2 = (x2 -2x+1) 2 = (x-1) 4 . 14. 解:(1)x3 -8 = x3 -23 = (x-2)(x2 +2x+4); (2)a3 +b3 有立方和公式. 推导:　 a3 +b3 =a3 +a2b-a2b+b3 =a2(a+b)-b(a2 -b2 ) =a2(a+b)-b(a+b)(a-b) = (a+b)[a2 -b(a-b)] = (a+b)(a2 -ab+b2 ) . 专题　 因式分解 1. C 2. D　 【解析】由题意得 a+b = 0,则 a2 +ab-4 = a(a+b)-4 = -4. 故选 D. 3. A 4. 解:(1)原式= -4x2y2(3xy-4x-1) . (2)原式= (x+y)(x+y-1)-(x+y-1) = (x+y-1)(x+y-1) = (x+y-1) 2 . (3)原式= (x-y)(x+y)(x-y+x+y) = 2x(x-y)(x+y) . 5. 解:原式= (3x+1)(3x+1+1-3x) = 2(3x+1) = 6x+2. 当 x= - 1 6 时,原式= 6×(- 1 6 )+2 = 1. 6. C　 7. D 8. B　 【解析】x2 -2x+1 =(x-1) 2 . 故选 B. 9. B 10. A　 【解析】(4x2 +9)(2x+3)(2x-3)= (4x2 +9)(4x2 -9) = 16x4 -81 =(2x) 4 -81. 故选 A. 11. -2 020 12. 解:(1)原式= (x+y) 2 -10(x+y)+25 = (x+y-5) 2 . (2)原式= 4xy-4x2 -y2 = -(4x2 -4xy+y2)= -(2x-y) 2 . (3)原式= (x+y) 2 -4(x+y)+4 = (x+y-2) 2 . 13. 解:a4b2 -6a3b3 +9a2b4 =a2b2(a2 -6ab+9b2)= (ab) 2(a-3b) 2 . 当 a-3b= 1 2 ,ab= 2 时,原式= 22 ×( 1 2 ) 2 = 1. 14. C　 【解析】设原两位数十位上的数字是 a,个位上的数 字是 b,则原两位数为 10a+b,新两位数为 10b+a,∴ 这 两个数的和为 11a+11b = 11(a+b),∴ 所得的和一定是 11 的倍数. 故选 C. 15. A 16. 348　 【解析】设介于 1 到 350 之间的最大“和平数”是 (n+2) 2 -n2 = 4n+4,根据题意知, 4n+4≥0 4n+4≤350 n≥2 { . 解得 2≤ n≤86. 5. 因为 n 是偶数,所以 n 最大值为 86. 所以 n+2 = 88. 882 -862 = 348. 17. (a+1) 2(a-1)　 【解析】原式 = a(a2 -1)+(a2 -1)= (a+ 1)(a2 -1)= (a+1) 2(a-1) . 18. 解:因为长方形的周长是 320 厘米,两条邻边分别是 x 厘米,y 厘米,则 x+y= 1 2 ×320 = 160(厘米) . ∵ x2(x+y)-9y2(x+y)= 0,即(x2 -9y2 )(x+y)= 0. 则 x2 -9y2 = (x+3y)(x-3y)= 0, ∵ x+3y>0,∴ x-3y= 0, ∴ x= 3y,则 3y+y= 160,得 y= 40(厘米), ∴ x= 3×40 = 120(厘米), 则 xy= 40×120 = 4 800(平方厘米), 即长方形的面积为 4 800 平方厘米. 追梦第十四章章末复习　 整式的乘法与因式分解 1. C 2. C　 【解析】(-2x+a)(x-1)= -2x2 +ax+2x-a= -2x2 +(a+ 2)x-a. ∵ 不含 x 的一次项,∴ a+2 = 0,则 a= -2. 故选 C. 3. B 4. C　 【解析】原式=(-a6 +3a4)÷a2 = -a4 +3a2 . 故选 C. 5. 72　 【解析】由题意得,a- 2 = 0,a = 2,b+ 1 = 0,b = - 1,则 (-3ab) 2·(-ab)= -9a2b2·ab= -9a3b3 = 72. 6. D 7. A　 【解析】设 BC=a,CG= b,则 S1 =a 2,S2 = b 2,a+b =BG = 8. ∴ a2 +b2 = 40. ∵ (a+b) 2 = a2 +b2 +2ab = 64,∴ 2ab = 64- 40 = 24,∴ ab= 12,∴ 阴影部分的面积等于 1 2 ab = 1 2 × 12 = 6. 故选 A. 8. -5 或 3 9. 解:　 5x2 -4xy+4y2 +12x+25 = x2 -4xy+4y2 +4x2 +12x+9+16 = (x-2y) 2 +(2x+3) 2 +16. ∵ (2x+3) 2 ≥0,(x-2y) 2 ≥0, ∴ (x-2y) 2 +(2x+3) 2 +16≥16. ∴ 5x2 -4xy+4y2 +12x+25 的最小值为 16. 10. B 11. D　 【解析】阴影部分面积为:πR2 -πr2 = π(R+r)(R-r) = π×10×3. 5 = 35π. 故选 D. 12. 0. 36 13. 解:(1)原式=a2(x2 -8x+16)= a2(x-4) 2 . (2)原式= 9(x-y) 2 +6(x-y)+1 = [3(x-y)+1] 2 = (3x-3y+1) 2 . (3)原式= (x-2+y-2)(x-2-y+2)-(x-y) 2 = (x+y-4)(x-y)-(x-y) 2 = (x-y)(x+y-4-x+y) = (x-y)(2y-4) = 2(x-y)(y-2) . 14. 解:(1)∵ 多项式 x4 +2x3 -x+m 因式分解后有一个因式 为(x+1) . ∴ 可设其他因式为 A. 则 x4 +2x3 -x+m=A·(x+1), 当 x= -1 时,x+1 = 0. 故 x4 +2x3 -x+m 的值为 0. (2)∵ 当 x= -1 时,x4 +2x3 -x+m 的值为 0. ∴ 把 x= -1 代入,得 14 +2×(-1) 3 -( -1) +m= 0, 解得 m= 0. 15. 解:由题意,得 a2 +c2 -2ac+b2 +c2 -2bc= 0,即(a-c) 2 +(b- c) 2 = 0. ∴ a-c= 0 且 b-c= 0,即 a= c 且 b= c. ∴ a= b= c. ∴ △ABC 是等边三角形. —81—