14.2 乘法公式-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 14. 2　 乘法公式 14. 2. 1　 平方差公式 平方差公式 1. (3 分)(2+x)(x-2)的结果是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2-x2 B. 2+x2 C. 4+x2 D. x2 -4 2. (3 分)下列多项式的乘法中,不能用平方差公 式计算的是(　 　 ) A. (2a+b)(2a-b) B. (a+b)( -a+b) C. ( -m+n)(m-n) D. ( 1 5 m+ 1 6 n)( - 1 5 m+ 1 6 n) 3. (3 分)若 x2 -y2 = 100,x+y = -25,则 x-y 的值 是(　 　 ) A. 5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对 4. (3 分) (宜昌中考改编)从前,一位农场主把 一块边长为 a 米(a>4)的正方形土地租给租 户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块 地的一边增加 4 米,相邻的另一边减少 4 米, 变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也 没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老 汉的租地面积会(　 　 ) A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 5. (8 分)计算: (1)( -4a+3)( -4a-3); (2)( -2x) 2 -(3-2x)(3+2x) . 6. (7 分)(周口二模)先化简,再求值:(x+2) (x -2) +(2x-1)(2x+1) -4x(x-1),其中 x= 2. 平方差公式的运用 7. (3 分)利用平方差公式计算 2 0212 - 2 022× 2 020 的结果是(　 　 ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 8. (10 分)简便运算: (1)1 007×993; 46 (2)6652 × 1 11 -3352 × 1 11 . 不能识别平方差公式的变式 9. (5 分)计算: (x+2y+1)(x-2y+1) -(x+2y-1)(x-2y-1) . 10. (3 分)若(2-x) (2+x) (4+x2 ) = 16-xn,则 n 的值等于(　 　 ) A. 6　 　 　 　 B. 4　 　 　 　 C. 3　 　 　 　 D. 2 11. (3 分)(汕头一模)如图,将图 1 中阴影部分 的小长方形变换到图 2 位置,根据两个图形 的面积关系得到的数学公式是(　 　 ) A. (a+b) 2 =a2 +2ab+b2 B. (a-b) 2 =a2 -2ab+b2 C. a2 -b2 = (a+b)(a-b) D. (a+2b)(a-b)= a2 +ab-2b2 12. (3 分)如果(x+y+1)(x+y-1)= 63,那么 x+y 的值为　 　 　 　 . 13. (6 分)已知 2a2 +3a-6 = 0,求代数式 3a(2a+ 1) -(2a+1)(2a-1)的值. 14. (7 分)求证:对任意整数 n,整式(3n+1) (3n -1) -(3-n)(3+n)是 10 的倍数. 15. (3 分)【综合性试题】 (黑龙江二模)观察下 列各式:1×3 = 22 -1,3×5 = 42 -1,5×7 = 62 -1, …请你把发现的规律用含 n(n 为正整数)的 等式表示为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 56 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 14. 2. 2　 完全平方公式 完全平方公式 1. (3 分)下列多项式属于完全平方式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x2 -2x+4 B. x2 +x+ 1 4 C. x2 -xy+y2 D. 4x2 -4x-1 2. (3 分)运用完全平方公式(a+b)2 =a2+2ab+b2 计 算(x+ 1 3 )2,则公式中的 2ab 对应的是(　 　 ) A. 1 3 x B. 2 3 x C. x D. 3x 3. (3 分)下列各式计算结果是 1 4 m2n2 -mn+1 的 是(　 　 ) A. (mn- 1 2 ) 2 B. ( 1 2 mn+1) 2 C. ( 1 2 mn-1) 2 D. ( 1 4 mn-1) 2 4. (3 分)如果(x+a) 2 = x2 -10x+b,那么 a、b 的值 分别是(　 　 ) A. a= 5,b= 25 B. a= -5,b= -25 C. a= 5,b= -25 D. a= -5,b= 25 5. (3 分)已知 xy = 10,(x-2y) 2 = 1,则(x+2y) 2 的值为(　 　 ) A. 21 B. 9 C. 81 D. 41 6. (8 分)计算: (1)(x+y) 2 -4(x+y)(x-y) +4(x-y) 2; (2)(a-2b+1)( -2b-1+a) . 7. (9 分)(贵阳中考)先化简,再求值:2b2 +(a+ b)(a-b) -(a-b) 2,其中 a= -3,b= 1 2 . 添括号法则 8. (3 分)(信阳月考)为了运用平方差公式计算(x+ 2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是(　 　 ) A. [x-(2y+1)] 2 B. [x+(2y+1)] 2 C. [x+(2y-1)][x-(2y-1)] D. (x-2y-1)[(x-2y) +1] 9. (3 分)已知 m2 -m = 6,则 1 - 2m2 + 2m 的值 是(　 　 ) A. 13　 　 　 B. 11　 　 　 C. -13　 　 　 D. -11 没有分情况讨论和或差的平方 10. (3 分)若代数式 x2 +kx+25 是一个完全平方 式,则 k= 　 　 　 　 . 11. (3 分)加上下列单项式后,仍不能使 4m2 +1 是一个整式的完全平方式的是(　 　 ) A. 2m B. 4m C. -4m D. 4m4 66 12. (3 分)对于任意有理数 a,b,现用“ ☆”定义 一种运算:a☆b = a2 -b2,根据这个定义,代数 式(x+y)☆y 可以化简为(　 　 ) A. xy+y2 B. xy-y2 C. x2 +2xy D. x2 13. (3 分)若 x2 -kx+ 9 恰好是另一个整式的平 方,则常数 k 的值为　 　 　 　 . 14. (10 分)对于任意四个实数 a,b,c,d,可以组 成两个实数对(a,b)与(c,d) . 我们规定:(a, b)⊗(c,d)= a2 +d2 -bc. 例如:(1,2) ⊗(3,4) = 12 +42 -2×3 = 11. (1)若(3x,- 3x) ⊗( ky,y)是一个完全平方 式,则常数 k 的值为　 　 　 　 ; (2)若 x+y= 6,且(2x+y,x2 +y2 ) ⊗(2,x-2y) = 60,求 xy 的值. 15. (10 分) (长春二模改编)图 1 是一个长为 2a,宽为 2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚 线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小 都一样的小长方形,然后按图 2 那样拼成一 个正方形. (1)图 2 中间空白部分的面积是　 　 　 　 ; (2)观察图 2,请你写出代数式(a+b) 2、(a- b) 2、ab 之间的等量关系式　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)根据你得到的关系式解答下列问题:若 x+y= -4,xy= 3,求 x-y 的值. 图 1 　 　 　 图 2 16. (10 分)(德州月考)若 x 满足(9-x)(x-4)= 4,求(4-x) 2 +(x-9) 2 的值. 解:设 9-x=a,x-4 = b,则(9-x) (x-4)= ab = 4,a+b= (9-x) +(x-4)= 5, ∴ (4-x) 2 +(x-9) 2 = a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab = 52 -2×4 = 17. 请仿照上面的方法求解下面的问题: 若 x 满足( x- 2 018) 2 +( x- 2 021) 2 = 31,求 (x-2 018)(x-2 021)的值. 76 1 4 a2b- 1 2 ab2 +b3 = 1 8 a3 +b3 . ∵ | 2a+3b-7 | +(a-9b+7) 2 = 0, ∴ 2a+3b-7 = 0,a-9b+7 = 0,得 a= 2,b= 1, ∴ 原式= 1 8 ×23 +13 = 2. 11. 解:绿化面积为:(2a+b)(a+b)-a2 =a2 +3ab+b2 . 当 a= 3,b= 2 时,9+3×2×3+4 = 31(平方米). 12. 解: x -1　 x-3 x+2　 x+1 = (x-1) (x+1) -(x-3) (x+2) = x2 -1- (x2 -3x+2x-6)= x+5 = 0,解得 x= -5. ∴ 当 x= -5 时, x -1　 x-3 x+2　 x+1 = 0. 13. 解:(1)根据题意可得, 　 (3x+m)(2x-5) = 6x2 -15x+2mx-5m = 6x2 -(15-2m)x-5m, 即-5m= -25,解得 m= 5; (2)　 (3x-5)(2x-5) = 6x2 -15x-10x+25 = 6x2 -25x+25. 14. D　 【解析】根据题意得(2a+b)(a+b)= 2a2 +2ab+ab+b2 = 2a2 +3ab+b2 . ∵ A、B、C 三类卡片的面积分别为 ab、b2、 a2,∴ 所用 A、B、C 三类卡片分别为 3 张,1 张,2 张. 故 选 D. 第 4 课时　 同底数幂的除法 1. D　 2. C　 3. -(x-y) 3 4. 8　 【解析】∵ 4x÷32y = 22x ÷ 25y = 22x-5y,∵ 2x- 5y- 3 = 0,∴ 2x-5y= 3,∴ 原式= 23 = 8. 5. 解:(1)x10 ÷x5 -(-x) 9 ÷(-x4 )= x10-5 -x9-4 = 0; (2)(am) n·(-a3m) 2n÷(anm) 5 =anm+6mn-5mn =a2mn; (3)(x-2y) 3 ÷(2y-x) 2 = (x-2y) 3-2 = x-2y. 6. D　 7. 2 8. 解:∵ 2m =a,32n = 25n = b,m、n 为正整数, ∴ 23m+10n-2 = (2m) 3 ·(25n) 2 ÷22 =a3 ·b2 ÷4 =a 3b2 4 . 9. A　 【解析】①(-c) 4 ÷(-c) 2 = c2,①错误;②x6 ÷x2 = x4,② 错误;③a3 ÷a = a2,③错误;④x10 ÷(x4 ÷x2)= x8,④正确; ⑤x2n÷xn-2 = xn+2,⑤正确. 故选 A. 10. 解:原式= (2x-y) 13 ÷(2x-y) 6 ÷(2x-y) 6 = (2x-y) 13-6-6 = 2x-y. 当 x= 2,y= -1 时,原式= 5. 第 5 课时　 单项式除以单项式 1. D　 【解析】6m6 ÷(-2m2) 3 = 6÷(-2) 3(m6 ÷m6)= - 3 4 . 故 选 D. 2. D　 3. C　 4. C　 5. 5　 3　 6. 3　 1 7. 解:(1)　 20x3y4 z÷(-5x2y3 ) = [20÷(-5)](x3 ÷x2 )(y4 ÷y3 ) z = -4xyz; (2)　 6x3y2 ÷[(-8x5y3 )÷(- 1 3 x3y2 )] = 6x3y2 ÷[24(x5 ÷x3 )(y3 ÷y2 )] = 6x3y2 ÷24x2y = (6÷24)(x3 ÷x2 )(y2 ÷y) = 1 4 xy. 8. 解:原式= (2x-y) 16 ÷(2x-y) 6 ÷(y-2x) 9 = (2x-y) 10 ÷(y-2x) 9 = y-2x. 当 x= 2,y= -1 时,原式= -1-2×2 = -5. 9. 9x5y5 　 【解析】原式= 3x6y6 ÷ 1 3 xy= 9x5y5 . 10. 1 12 　 【解析】原式 = [( 1 3 ) 4 ÷ 4] x12n-6n = [( 1 3 ) 4 ÷ 4] (x2n) 3 =( 1 3 ) 4 ÷4×33 = 1 12 . 11. 解:原式= 1 4 a2b3c4 ·36a2b4c4 ÷4a4b6c8 = 9a4b7c8 ÷4a4b6c8 = 9 4 b. ∵ (a-1) 2 +(b+2) 2 +(c+1) 2 = 0, ∴ a= 1,b= -2,c= -1. ∴ 原式= 9 4 ×(-2)= - 9 2 . 第 6 课时　 多项式除以单项式 1. C 2. D　 【解析】另一边长为(4a2 -6ab+2a)÷2a= 2a-3b+1,则 周长为(2a-3b+1+2a)×2 = 8a-6b+2. 故选 D. 3. D 4. 解:(1)原式= 12x3y5 z3 ÷2xy-4xy2 ÷2xy= 6x2y4 z3 -2y. (2)原式= 16a2b2 ÷(-2a2b)+6a2b÷(-2a2b) = -8b-3. (3)原式= (x2 -2xy+xy-2y2 -x2 )÷(-2y) = (-xy-2y2 )÷(-2y) = (-xy)÷(-2y)+(-2y2 )÷(-2y) = x 2 +y. 5. 解:原式= 5x2y3 ÷6x-4x3y2 ÷6x+6x÷6x = 5 6 xy3 - 2 3 x2y2 +1. 当 x= -2,y= 2 时, 原式= 5 6 ×(-2)×23 - 2 3 ×(-2) 2 ×22 +1 = -40 3 -32 3 +1 = -23. 6. C　 7. x= 1 3 8. 解:李明说的有道理,理由如下: ∵ [2x(x2y - xy2 )+xy (2xy-x2 )]÷x2y = (2x3y-2x2y2 +2x2y2 -x3y)÷x2y = x3y÷x2y= x. ∴ 不用 y= 2 022 这个条件也可以求出[2x(x2y-xy2 ) +xy(2xy-x2 )]÷x2y 的值,故李明说的有道理. 14. 2　 乘法公式 14. 2. 1　 平方差公式 1. D　 2. C 3. C　 【解析】 x2 - y2 = ( x+ y) ( x- y) = 100,∵ x+ y = - 25, ∴ x-y= -4. 故选 C. 4. C　 【解析】原来租的土地面积:a2 平方米. 现在租的土 地面积:(a+4)(a-4)= (a2 -16)平方米. ∵ a2 >a2 -16. ∴ 张老汉的租地面积会减少. 故选 C. 5. 解:(1)原式= 16a2 -9; —61— (2)原式= 4x2 -(9-4x2 )= 8x2 -9. 6. 解:　 (x+2)(x-2)+(2x-1)(2x+1)-4x(x-1) = x2 -4+4x2 -1-4x2 +4x = x2 +4x-5. 当 x= 2 时,原式= 22 +4×2-5 = 7. 7. B 8. 解:(1)原式= (1 000+7)(1 000-7) = 1 0002 -72 = 1 000 000-49 = 999 951; (2)原式= 1 11 ×(6652 -3352 ) = 1 11 ×(665+335)×(665-335) = 30 000. 9. 解:原式= (x+1) 2 -(2y) 2 -[(x-1) 2 -(2y) 2 ] = (x+1) 2 -(2y) 2 -(x-1) 2 +(2y) 2 = (x+1) 2 -(x-1) 2 = (x+1+x-1)(x+1-x+1)= 4x. 10. B　 【解析】∵ (2-x)(2+x)(4+x2)= (4-x2)(4+x2)= 16 -x4 = 16-xn,∴ n= 4. 故选 B. 11. C　 12. ±8 13. 解:　 3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1) = 6a2 +3a-(4a2 -1) = 6a2 +3a-4a2 +1 = 2a2 +3a+1. ∵ 2a2 +3a-6 = 0,∴ 2a2 +3a= 6, ∴ 原式= 6+1 = 7. 14. 证明:(3n+1)(3n- 1) -(3-n) (3+n) = (3n) 2 - 1-(32 - n2 )= 9n2 -1-9+n2 = 10n2 -10 = 10(n2 -1) . ∴ 原式是 10 的倍数. 15. (2n-1)(2n+1)= (2n) 2 -1 14. 2. 2　 完全平方公式 1. B　 【解析】x2 +x+ 1 4 =(x+ 1 2 ) 2 . 故选 B. 2. B　 3. C 4. D　 【解析】(x+a) 2 = x2 +2ax+a2 = x2 -10x+b,∴ 2a= -10,a = -5;b=a2 =(-5) 2 = 25. 故选 D. 5. C 6. 解:(1)原式= x2 +2xy+y2 -4(x2 -y2 )+4(x2 -2xy+y2 ) = x2 +2xy+y2 -4x2 +4y2 +4x2 -8xy+4y2 = 9y2 -6xy+x2 ; (2)原式= [(a-2b)+1][(a-2b)-1] = (a-2b) 2 -12 =a2 -4ab+4b2 -1. 7. 解:原式= 2b2 +a2 -b2 -(a2 -2ab+b2 ) =a2 +b2 -a2 +2ab-b2 = 2ab. 当 a= -3,b= 1 2 时,原式= 2×(-3)× 1 2 = -3. 8. C　 9. D　 10. ±10　 11. A　 12. C 13. ±6 14. 解:(1) ± 2　 【解析】 (3x,- 3x)⊗( ky,y)= (3x) 2 +y2 - (-3x·ky)= 9x2 + 3kxy+y2 . ∵ (3x,- 3x)⊗( ky, y)是一个完全平方式,∴ 3kxy= ±6xy. ∴ k= ±2. (2)∵ (2x+y,x2 +y2 )⊗(2,x-2y)= 60. 即(2x+y) 2 +(x-2y) 2 -2(x2 +y2 )= 60. ∴ x2 +y2 = 20. ∵ x+y= 6. ∴ (x+y) 2 = 36. ∴ x2 +y2 +2xy= 36. ∴ 2xy= 36-20 = 16. ∴ xy= 8. 15. 解:(1)(a-b) 2 (2)(a-b) 2 = (a+b) 2 -4ab (3)由(2)题关系式,可得( x-y) 2 = ( x+y) 2 - 4xy = (-4) 2 -4×3 = 4,∴ x-y= ±2,即 x-y 的值是±2. 16. 解:设 x-2 018 = a,x- 2 021 = b,则 a2 +b2 = 31,a-b = x- 2 018-x+2 021 = 3,∴ a2 -2ab+b2 = (a-b) 2 = 9,∴ 31- 2ab= 9,解得 ab= 11,即(x-2 018)(x-2 021)= 11. 14. 3　 因式分解 14. 3. 1　 提公因式法 1. D　 2. B 3. B　 【解析】原式= 2xy(4xy-7x+2y2) . 故选 B. 4. C　 【解析】3x(x+1)= 3x2 +3x. 故选 C. 5. -2 6. 解:(1)原式= 2x(x-6y2 +4y3 ) . (2)原式= (2y-x)(2x+y+2x)= (2y-x)(4x+y) . (3)原式= (m-2n)(a+3a+2b)= 2(2a+b)(m-2n) . (4)原式= (a-9)(2a-19) . 7. D　 8. C 9. C　 【解析】∵ (x+2)(2x-1)-2(x+2)= (x+2)(2x-3)= (x +m)(2x+n),∴ m= 2,n= -3,∴ m-n= 5. 故选 C. 10. B　 【解析】a2(a2 -2)-2a2 +4 =a2(a2 -2)-2(a2 -2)= (a2 -2)(a2 -2)= (a2 -2) 2 ≥0,∵ a 为有理数,∴ a≠± 2,∴ (a2 -2) 2 >0. 故选 B. 11. 6　 【解析】7y(x- 3y) 2 - 2(3y-x) 3 = ( x- 3y) 2(7y- 6y+ 2x)= (x-3y) 2(2x+y)= 12 ×6 = 6. 12. 解:原式= 15x(y+4)(2x-1) . 当 x= 2,y= -2 时, 原式= 15×2×(-2+4)×(2×2-1)= 180. 13. 解:△ABC 是等腰三角形. 理由如下:∵ a+2ab = c+ 2bc, ∴ (a-c)+2b(a-c)= 0. ∴ (a-c)(1+2b)= 0,故 a = c 或 1+2b= 0. 显然 b≠- 1 2 ,∴ a = c,∴ △ABC 为等腰 三角形. 14. 解:∵ 边长为 a、b 的长方形,它的周长为 14,面积为 10, ∴ a+b= 7,ab= 10,∴ a2b+2ab+ab2 = ab(a+2+b)= 10 ×(7+2)= 90. 15. 解:(1)提公因式　 (2)(x+1) 2 022 (3)原式= (1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x) n-1 ] = (1 +x) 2 [1+x+x(1+x)+…+x(1+x) n-2 ] = (x+1) n+1 14. 3. 2　 公式法 1. D 2. B　 【解析】原式=(x-2+4)(x-2-4)= (x+2)(x-6) . 故 选 B. 3. A 4. 解:(2x+3y) 2 -(2x-3y) 2 = (2x+3y+2x-3y) (2x+3y-2x+ 3y)= 4x·6y= 24xy. 当 x= 1 6 ,y= 1 8 时,原式= 24× 1 6 × 1 8 = 1 2 . 5. A　 6. A 7. 解:(1)原式= -x(x2 -x+ 1 4 )= -x(x- 1 2 ) 2 . (2)原式= (3x-5+3) 2 = (3x-2) 2 . 8. 解:∵ a2 +2ab+b2 -4(a+b-1)= 0. (a+b) 2 -4(a+b)+4 = 0. (a+b-2) 2 = 0. ∴ a+b-2 = 0,得 a+b= 2. 9. 解:不正确,正确结果为 a4 -8a2 +16 = (a2 -4) 2 = [(a+2) —71—