专题构造等腰三角形的常用&13.4 课题学习最短路径问题-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 专题　 构造等腰三角形的常用方法 利用平行线构造等腰三角形 1. (10 分)(安阳期中)已知,△ABC 为等边三角 形,点 D 为 AC 上的一个动点,点 E 为 BC 延长 线上一点,且 BD=DE. (1)如图 1,若点 D 在边 AC 上,猜想线段 AD 与 CE 之间的关系,并说明理由; (2)如图 2,若点 D 在 AC 的延长线上,(1)中 的结论是否成立,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 截长补短法 2. (10 分)如图,在△ABC 中,∠BAC = 120°,AD ⊥BC 于点 D,且 AB+BD =DC,求∠C 的度数. (用两种方法解答) 倍角关系构造等腰三角形 3. (10 分)【问题原型】 有这样一道问题:如图①,在△ABC 中,∠BCA = 2∠A,BD 为边 AC 上的中线,且 BC = 1 2 AC. 求证:△BCD 为等边三角形. 小聪同学的解决办法是:延长 AC 至点 E,使 CE=BC,如图②,利用二倍角的条件构造等腰 三角形进而解决问题. 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题. 图① 　 　 　 图② 64 13. 4　 课题学习　 最短路径问题 最短路径问题 1. (3 分)如图,点 P 是直线 a 外一点,PB⊥a,点 A,B,C,D 都在直线 a 上,下列线段中最短的 是(　 　 ) A. PA　 　 　 　 　 　 　 　 B. PB C. PC D. PD 2. (8 分)如图,直线 l 旁有两点 A、B,在直线上 找一点 C 使到 A、B 两点的距离之和最小. 在 直线上找一点 D 使到 A、B 两点的距离相等. 3. (7 分)如图,点 P 是∠AOB 内部一点,现有一 只蚂蚁要从 P 点出发,先到 OA,再到 OB,最后 返回到点 P. 请作出蚂蚁爬行的最短路径(要 求:保留作图痕迹,不写作法) . 造桥选址问题 4. (3 分)如图,平行河岸两侧各有 一城镇 P,Q,根据发展规划,要修 建一条公路连接 P,Q 两镇. 已知相同长度造 桥总价远大于陆上公路造价,为了尽量减少 总造价,应该选择方案(　 　 ) A. B. C. D. 5. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = AC, AD、CE 是△ABC 的两条中线,点 P 是 AD 上一个动点,则 BP+EP 的最 小值等于线段(　 　 ) A. BC　 　 　 B. CE　 　 　 C. AD　 　 　 D. AC 6. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = 5,AC = 7,MN 为 BC 边上的垂直平分线,若点 D 在直线 MN 上,连接 AD, BD, 则 △ABD 周长的最小值 为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. (3 分)(三门峡月考)如图,∠AOB = 60°,点 P 在∠AOB 的平分线上,OP = 10 cm,点 E,F 是 ∠AOB 两边 OA,OB 上的动点,当△PEF 的周 长最小时,点 P 到 EF 的距离是　 　 　 　 . 74 ∠AFB= ∠AEF,∴ AE=FA,∴ AE=FH. 9. B　 10. A 11. 3. 6 秒 　 【解析】设运动的时间为 x 秒,由题意得,当 △APQ 是等腰三角形时,AP = AQ,AP = 18- 3x,AQ = 2x, 即 18-3x= 2x,解得 x= 3. 6. 12. 解:(1)25　 115　 小 (2) 当 DC = 2 时, △ABD≌ △DCE, 理由如下: ∵ ∠ADC= ∠B+∠BAD,∠ADC = ∠ADE+∠CDE, ∠B= ∠ADE = 40°,∴ ∠BAD = ∠CDE,且 AB = CD = 2, ∠B = ∠C = 40°, ∴ △ABD ≌ △DCE (ASA) . (3)△ADE 的形状可以是等腰三角形,∠BDA= 110° 或 80°. 　 【解析】 若 AD = DE 时,∵ AD = DE, ∠ADE= 40°,∴ ∠DEA = ∠DAE = 70°. ∵ ∠DEA = ∠C+∠EDC,∴ ∠EDC= 30°,∴ ∠BDA= 180°- ∠ADE-∠EDC = 180°- 40°- 30° = 110°;若 AE = DE 时,∵ AE =DE,∠ADE = 40°,∴ ∠DAE = 40°, ∴ ∠AED = 100°. ∵ ∠DEA = ∠C + ∠EDC, ∴ ∠EDC= 60°,∴ ∠BDA = 180°-∠ADE-∠EDC = 180°-40°- 60° = 80°. 若 AD = AE 时,∵ ∠ADE = 40°,∠AED= 40°,此时点 D 与点 B 重合,不符合 题意,舍去. 综上所述:当∠BDA= 80°或 110°时, △ADE 的形状可以是等腰三角形. 13. 3. 2　 等边三角形 第 1 课时　 等边三角形的性质和判定 1. D　 2. C　 3. A 4. 解:∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = BC,∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,∴ AD=CD= 1 2 AC,∵ CE=CD,∴ CE = 1 2 AC= 1 2 AB= 3,∴ BE=BC+CE=AB+CE= 6+3 = 9. 5. D 6. B　 【解析】∵ 等边三角形 ABC 的周长为 6,∴ BC = 2. ∵ E,F 是边 BC 上的三等分点,∴ BC = 3EF = 2. ∵ ED∥AB, FD∥AC,∴ ∠DEF = ∠B = 60°,∠DFE = ∠C = 60°,∴ △DEF 是等边三角形,∴ C△DEF = 3EF= 2. 故选 B. 7. 18 8. 证明:∵ 锐角三角形的两条高 BD、CE 相交于点 O,∴ ∠OEB= ∠ODC= 90°,∵ ∠EOB= ∠DOC,∴ ∠EBO = ∠DCO. 又 ∵ OB = OC, ∴ ∠OBC = ∠OCB, ∴ ∠ABC= ∠ACB,∵ ∠A= 60°,∴ △ABC 是等边三角 形. 9. D　 10. A 11. 120° 　 【解析】 ∵ AD = DE = AE,∴ ∠ADE = ∠DEA = ∠DAE = 60°,∵ BD = AD, AE = EC, ∴ ∠B = ∠BAD = 1 2 ∠ADE= 30°,∠C= ∠CAE= 1 2 ∠AED = 30°,∴ ∠BAC = ∠BAD+∠DAE+∠CAE= 30°+60°+30° = 120°. 12. 4 13. 证明:(1)∵ △ACD 和△BCE 是等边三角形, ∴ AC=DC,CE=CB,∠DCA= ∠ECB= 60°, ∴ ∠DCA+∠DCE= ∠ECB+∠DCE, ∴ ∠ACE= ∠DCB, 在△ACE 与△DCB 中, ∵ AC=DC,∠ACE= ∠DCB,CE=CB, ∴ △ACE≌△DCB(SAS), ∴ AE=BD; (2)∵ 由(1)得,△ACE≌△DCB, ∴ ∠CAM= ∠CDN, ∵ ∠ACD= ∠ECB= 60°, ∴ ∠DCN= 60°. 在△ACM 与△DCN 中, ∵ ∠MAC= ∠NDC,AC=DC, ∠ACM= ∠DCN= 60°, ∴ △ACM≌△DCN(ASA), ∴ MC=NC. ∵ ∠MCN= 60°, ∴ △MCN 为等边三角形, ∴ ∠NMC= ∠DCA, ∴ MN∥AB. 14. 1 2 　 【解析】过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F,∵ PF∥ BC,△ABC 是等边三角形,∴ ∠PFD = ∠QCD,△APF 是 等边三角形,∴ AP= PF = AF. ∵ PE⊥AC,∴ AE = EF. ∵ AP = CQ,∴ PF = CQ. ∵ ∠PDF = ∠QDC,∴ △PFD≌ △QCD(AAS) . ∴ FD = CD. ∵ AE = EF,∴ EF+FD = AE+ CD,∴ AE+CD=DE= 1 2 AC,∵ AC= 1,∴ DE= 1 2 . 第 2 课时　 含 30°角的直角三角形 1. C　 2. D　 3. 2 4. 解:∵ AB = AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C = 30°,∵ AE⊥ AB,AE= 3cm,∴ BE = 2AE = 6cm,∠EAC = 30°,∴ ∠C = ∠EAC= 30°,∴ AE = EC,故 BC = BE+EC = 6+ 3 = 9 (cm). 5. B　 【解析】由题意可知 DE 垂直平分 BC,∴ BE =EC = 2, ∠B = ∠ECD = 30°,∠BDE = ∠CDE = 90°, ∵ CE 平分 ∠ACB,∴ ∠ACB = 2∠ECD = 60°,∴ ∠A = 90°,∠ACE = 30°,∴ AE= 1 2 CE= 1. 故选 B. 6. C　 【解析】连接 BE,∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,∵ E 为 AC 的中点,∴ ∠ABE = ∠CBE = 30°. ∵ EF⊥ AB,EF= 1,∴ ∠D = 90° - ∠ABC = 30°,BE = 2EF = 2,∴ ∠D= ∠CBE,∴ ED=BE= 2,∴ DF =ED+EF = 2+1 = 3. 故 选 C. 7. ( 1) 证明: ∵ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠C = ∠CAB = ∠ABC = 60°,AB = AC. 在△ABE 和△CAD 中, AB = AC, ∠BAE = ∠C,AE = CD, ∴ △ABE≌ △CAD(SAS),∴ BE=AD. (2) 解:由( 1) 知△ABE≌ △CAD, ∴ AD = BE, ∠ABP = ∠DAE,∴ ∠BPQ= ∠ABP+∠BAD= ∠BAC= 60°. ∵ BQ⊥AD,∴ ∠BQP = 90°,∴ ∠PBQ = 30°, ∴ BP= 2PQ= 2×3 = 6,∵ PE = 1,∴ AD = BE = 6+ 1 = 7. 8. C 专题　 构造等腰三角形的常用方法 1. 解:(1)AD=CE,理由如下: 过点 D 作 DP∥BC,交 AB 于点 P. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ △APD 也是等边三角形, ∴ AP=PD=AD, ∠APD= ∠ABC= ∠ACB= ∠PDA= 60°. ∴ ∠BPD= ∠DCE= 120°. ∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠DEC. ∵ DP∥BC,∴ ∠PDB= ∠CBD, ∴ ∠PDB= ∠DEC. 在△BPD 和△DCE 中, —21— ∠PDB= ∠DEC,∠BPD= ∠DCE,DB=DE, ∴ △BPD≌△DCE(AAS), ∴ PD=CE,∴ AD=CE; (2)(1)中结论仍成立,即 AD=CE. 理由如下: 过点 D 作 DP∥BC,交 AB 的延长线于点 P. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ △APD 也是等边三角形, ∴ AP=PD=AD, ∠APD= ∠ABC= ∠ACB= ∠PDA= 60°. ∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠DEC. ∵ DP∥BC,∴ ∠PDB= ∠CBD, ∴ ∠PDB= ∠DEC,在△BPD 和△DCE 中, ∠PDB= ∠DEC,∠P= ∠DCE,DB=DE, ∴ △BPD≌△DCE(AAS), ∴ PD=CE,∴ AD=CE. 2. 解:方法 1(截长法):在 CD 上取点 E,使 DE = BD,连接 AE,则 CE=AB=AE. ∴ ∠B= ∠AED= ∠C+∠CAE= 2∠C. ∵ ∠BAC= 120°, ∴ ∠B+∠C= 2∠C+∠C= 60°. ∴ ∠C= 20°. 方法 2(补短法):延长 DB 至点 F,使 BF = AB,连接 AF,则 AB+BD=DF=CD. ∴ AF=AC,∠C= ∠F= 1 2 ∠ABC. ∵ ∠BAC= 120°, ∴ ∠ABC+∠C= ∠ABC+ 1 2 ∠ABC= 60°, ∴ ∠ABC= 40°,∠C= 20°. 3. 解:延长 AC 至点 E,使 CE=BC,连接 BE. ∵ BD 为边 AC 上的中线,∴ AD=CD= 1 2 AC. ∵ BC= 1 2 AC,∴ AD=CD=BC. ∵ BC=CE,∴ ∠E= ∠CBE,AC=DE. ∵ ∠BCA= ∠E+∠CBE= 2∠E. ∵ ∠BCA= 2∠A,∴ ∠A= ∠E,∴ AB=BE. 在△BAC 和△BED 中, AC=DE ∠A= ∠E AB=BE { . ∴ △BAC≌△BED(SAS),∴ BD=BC. ∵ BC=CD,∴ BD=BC=CD, ∴ △BCD 为等边三角形. 13. 4　 课题学习　 最短路径问题 1. B 2. 解:如图所示,点 C,D 为求作的点. 3. 解:如图所示: 4. C　 5. B 6. 12　 【解析】连接 CD. ∵ MN 是 BC 边上的垂直平分线, ∴ BD=CD,∴ AD+BD=AD+CD=AC,此时 AD+BD 的值最 小,∴ △ABD 周长的最小值为 AB+AD+BD=AB+AC= 12. 7. 5cm　 【解析】作 P 关于 OA 的对称 点 P1,以及关于 OB 的对称点 P2,连 接两个对称点,交 OA、OB 分别于 E、 F,则此时△PEF 的周长最小. ∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上,∴ ∠AOP = 1 2 ∠AOB= 30°,∴ Rt△OPG 中,PG= 1 2 OP= 5cm. ∴ PP1 = 2PG = 10cm,∵ ∠P1PP2 = 360°-90° -90°-60° = 120°,∴ ∠P1PO = 60°,∴ ∠P1 = 30°,∴ PM = 1 2 PP1 = 5cm. 追梦第十三章章末复习　 轴对称 1. C　 2. D　 3. 50° 4. 解:(1)如图,点 D,射线 AE 即为所求. (2) ∵ DF 垂直平分线段 AB,∴ DB = DA,∴ ∠DAB = ∠B= 30°. ∵ ∠C= 40°,∴ ∠BAC= 110°,∴ ∠CAD = 110°- 30° = 80°. ∵ AE 平分∠DAC,∴ ∠DAE = 1 2 ∠DAC= 40°. 5. D　 6. (2,1) 7. 解:(1)如图所示:△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示:△A2B2C2 即为所求, 点 A2(-3,-1),B2(0,-2),C2(-2,-4) . 8. C 　 【解析】 ∵ BC = BD = DA,∴ ∠C = ∠BDC,∠ABD = ∠BAD. ∵ ∠ABD = ∠C+∠BDC,∠ADF = 75°,∴ 3∠C = 75°,∴ ∠C= 25°,即∠ECF= 25°. 9. B 10. 解:(1)15°　 (2)50°　 (3)∵ ∠AOC=α,∠AOB= 120°,∴ ∠BOC =α-120°. ∵ OM 平分∠BOC,∴ ∠MOC = 1 2 ∠BOC = 1 2 α- 60°. ∵ △COD 为等边三角形,∴ ∠DOC = 60°, ∴ ∠DOM= ∠MOC+∠DOC= 1 2 α. (4)∠DOM= 1 2 β 11. 解:(1) ∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠A = ∠B = ∠ACB = 60°,∵ DE∥AB, ∴ ∠B = ∠EDC = 60°, ∠A = ∠CED= 60°. ∵ EF⊥ED,∴ ∠DEF = 90°,∴ ∠F = 30°. (2)由(1)可知∠EDC = ∠ECD = ∠DEC = 60°,∴ CE =DC=DE= 2. 又∵ 在 Rt△DEF 中∠F = 30°,∴ —31—