13.3.2 等边三角形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

13. 3. 2　 等边三角形 第 1 课时　 等边三角形的性质和判定 等边三角形的性质 1. (3 分)如图,△ABC 是等边三角形,点 D 在 AC 边上,∠DBC= 40°,则∠ADB 的度数为(　 　 ) A. 25°　 　 B. 60°　 　 C. 90°　 　 D. 100° 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,一个等边三角形纸片,剪去一个 角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β 的度数 是(　 　 ) A. 180° B. 220° C. 240° D. 300° 3. (3 分)(许昌一模)如图,等边三角形 ABC 中, AD⊥BC,垂足为 D,点 E 在线段 AD 上,∠EBC = 45°,则∠ACE 等于(　 　 ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4. (8 分)如图,若△ABC 是等边三角形,AB = 6, BD 是∠ABC 的平分线,延长 BC 到点 E,使 CE =CD,求 BE 的长度. 等边三角形的判定 5. (3 分)下列三角形: ①有两个角等于 60°; ②有一个角等于 60°的等腰三角形; ③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相 等的三角形; ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三 角形. 其中是等边三角形的有(　 　 ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 6. (3 分)如图,等边三角形纸片 ABC 的周长为 6,E,F 是边 BC 上的三等分点. 分别过点 E,F 沿着平行于 BA,CA 的方向各剪一刀,则剪下 的△DEF 的周长是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. (3 分)(新乡期中)由于木质衣架没有柔性, 在挂置衣服的时候不太方便操作. 小敏设计 了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进 衣服后松开即可. 如图 1,衣架杆 OA = OB = 18 cm,若衣架收拢时,∠AOB= 60°,如图 2,则 此时 A,B 两点之间的距离是　 　 　 　 cm. 8. (8 分)如图所示,锐角△ABC 中,∠A = 60°,它 的两条高 BD,CE 相交于点 O,且 OB =OC,求 34 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 证:△ABC 是等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形 9. (3 分) (濮阳期末)如图,AD 是等边三角形 ABC 的中线,AE=AD,则∠EDC= (　 　 ) A. 30° B. 20° C. 25° D. 15° 10. (3 分)三个等边三角形的摆放位置如图所示, 若∠1+∠2= 100°,则∠3 的度数为(　 　 ) A. 80° B. 70° C. 45° D. 30° 11. (3 分) (新乡期末)如图,已知△ABC 的边 BC 上有 D、E 两点,且 BD = DE = EC = AD = AE,则∠BAC 的度数为　 　 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. (3 分) (洛阳三模)如图在△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,以点 C 为圆心,CB 长为半 径作圆弧,交 AB 于点 D,若 CB = 4,则 BD 的 长为　 　 　 　 . 13. (11 分)(漯河期末)如图,C 是线段 AB 上除 点 A,B 外的任意一点,分别以 AC,BC 为边在 线段 AB 的 同 侧 作 等 边 △ACD 和 等 边 △BCE,连接 AE 交 DC 于点 M,连接 BD 交 CE 于点 N,连接 MN. (1)求证:AE=BD; (2)求证:MN∥AB. 14. (3 分)(浙江二模)如图,过 边长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC 于 E,Q 为 BC 延长 线上一点,当 PA = CQ 时,连接 PQ 交 AC 边 于 D,则 DE 的长为　 　 　 　 . 44 第 2 课时　 含 30°角的直角三角形 含 30°角的直角三角形 1. (3 分)如图,在△ABC 中,∠B = ∠C = 60°,点 D 为 AB 边的中点,DE⊥BC 于 E,若 BE= 1,则 AC 的长为(　 　 ) A. 2　 　 　 B. 3　 　 　 C. 4　 　 　 D. 5 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 15°,DE 垂直平分 AB,交 BC 于点 E,若 AE = 6 cm,则 AC= (　 　 ) A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm 3. (3 分)如图,在△ABC 中,∠C = 90°, ∠B = 30°, AD 平 分 ∠CAB,交 BC 于点 D,若 CD= 1,则 BD= 　 　 　 　 . 4. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AE⊥AB 交 BC 于 E, ∠BAC = 120°,AE = 3 cm,求 BC 的长. 5. (3 分)(教材 P82 习题 7 变式)如图,在△ABC 中,∠B= 30°,BC 的垂直平分线交 AB 于点 E, 垂足为点 D,CE 平分∠ACB. 若 BE = 2,则 AE 的长为(　 　 ) A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. (3 分)如图,△ABC 是等边三角形,点 E 是 AC 的中点,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F,延长 BC 交 EF 的反向延长线于点 D,若 EF = 1,则 DF 的 长为(　 　 ) A. 2 B. 2. 5 C. 3 D. 3. 5 7. (12 分)(商丘期末)如图,△ABC 为等边三角 形,AE = CD,AD,BE 相交于点 P,BQ⊥AD 于 点 Q,PQ= 3,PE= 1. (1)求证:BE=AD; (2)求 AD 的长. 8. (3 分)(河池中考)已知等边三角形 ABC 的边 长为 12,D 是 AB 上的动点,过 D 作 DE⊥AC 于 点E,过E 作EF⊥BC 于点F,过F 作FG⊥AB 于 点 G.当 G 与 D 重合时,AD 的长是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 54 ∠AFB= ∠AEF,∴ AE=FA,∴ AE=FH. 9. B　 10. A 11. 3. 6 秒 　 【解析】设运动的时间为 x 秒,由题意得,当 △APQ 是等腰三角形时,AP = AQ,AP = 18- 3x,AQ = 2x, 即 18-3x= 2x,解得 x= 3. 6. 12. 解:(1)25　 115　 小 (2) 当 DC = 2 时, △ABD≌ △DCE, 理由如下: ∵ ∠ADC= ∠B+∠BAD,∠ADC = ∠ADE+∠CDE, ∠B= ∠ADE = 40°,∴ ∠BAD = ∠CDE,且 AB = CD = 2, ∠B = ∠C = 40°, ∴ △ABD ≌ △DCE (ASA) . (3)△ADE 的形状可以是等腰三角形,∠BDA= 110° 或 80°. 　 【解析】 若 AD = DE 时,∵ AD = DE, ∠ADE= 40°,∴ ∠DEA = ∠DAE = 70°. ∵ ∠DEA = ∠C+∠EDC,∴ ∠EDC= 30°,∴ ∠BDA= 180°- ∠ADE-∠EDC = 180°- 40°- 30° = 110°;若 AE = DE 时,∵ AE =DE,∠ADE = 40°,∴ ∠DAE = 40°, ∴ ∠AED = 100°. ∵ ∠DEA = ∠C + ∠EDC, ∴ ∠EDC= 60°,∴ ∠BDA = 180°-∠ADE-∠EDC = 180°-40°- 60° = 80°. 若 AD = AE 时,∵ ∠ADE = 40°,∠AED= 40°,此时点 D 与点 B 重合,不符合 题意,舍去. 综上所述:当∠BDA= 80°或 110°时, △ADE 的形状可以是等腰三角形. 13. 3. 2　 等边三角形 第 1 课时　 等边三角形的性质和判定 1. D　 2. C　 3. A 4. 解:∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = BC,∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,∴ AD=CD= 1 2 AC,∵ CE=CD,∴ CE = 1 2 AC= 1 2 AB= 3,∴ BE=BC+CE=AB+CE= 6+3 = 9. 5. D 6. B　 【解析】∵ 等边三角形 ABC 的周长为 6,∴ BC = 2. ∵ E,F 是边 BC 上的三等分点,∴ BC = 3EF = 2. ∵ ED∥AB, FD∥AC,∴ ∠DEF = ∠B = 60°,∠DFE = ∠C = 60°,∴ △DEF 是等边三角形,∴ C△DEF = 3EF= 2. 故选 B. 7. 18 8. 证明:∵ 锐角三角形的两条高 BD、CE 相交于点 O,∴ ∠OEB= ∠ODC= 90°,∵ ∠EOB= ∠DOC,∴ ∠EBO = ∠DCO. 又 ∵ OB = OC, ∴ ∠OBC = ∠OCB, ∴ ∠ABC= ∠ACB,∵ ∠A= 60°,∴ △ABC 是等边三角 形. 9. D　 10. A 11. 120° 　 【解析】 ∵ AD = DE = AE,∴ ∠ADE = ∠DEA = ∠DAE = 60°,∵ BD = AD, AE = EC, ∴ ∠B = ∠BAD = 1 2 ∠ADE= 30°,∠C= ∠CAE= 1 2 ∠AED = 30°,∴ ∠BAC = ∠BAD+∠DAE+∠CAE= 30°+60°+30° = 120°. 12. 4 13. 证明:(1)∵ △ACD 和△BCE 是等边三角形, ∴ AC=DC,CE=CB,∠DCA= ∠ECB= 60°, ∴ ∠DCA+∠DCE= ∠ECB+∠DCE, ∴ ∠ACE= ∠DCB, 在△ACE 与△DCB 中, ∵ AC=DC,∠ACE= ∠DCB,CE=CB, ∴ △ACE≌△DCB(SAS), ∴ AE=BD; (2)∵ 由(1)得,△ACE≌△DCB, ∴ ∠CAM= ∠CDN, ∵ ∠ACD= ∠ECB= 60°, ∴ ∠DCN= 60°. 在△ACM 与△DCN 中, ∵ ∠MAC= ∠NDC,AC=DC, ∠ACM= ∠DCN= 60°, ∴ △ACM≌△DCN(ASA), ∴ MC=NC. ∵ ∠MCN= 60°, ∴ △MCN 为等边三角形, ∴ ∠NMC= ∠DCA, ∴ MN∥AB. 14. 1 2 　 【解析】过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F,∵ PF∥ BC,△ABC 是等边三角形,∴ ∠PFD = ∠QCD,△APF 是 等边三角形,∴ AP= PF = AF. ∵ PE⊥AC,∴ AE = EF. ∵ AP = CQ,∴ PF = CQ. ∵ ∠PDF = ∠QDC,∴ △PFD≌ △QCD(AAS) . ∴ FD = CD. ∵ AE = EF,∴ EF+FD = AE+ CD,∴ AE+CD=DE= 1 2 AC,∵ AC= 1,∴ DE= 1 2 . 第 2 课时　 含 30°角的直角三角形 1. C　 2. D　 3. 2 4. 解:∵ AB = AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C = 30°,∵ AE⊥ AB,AE= 3cm,∴ BE = 2AE = 6cm,∠EAC = 30°,∴ ∠C = ∠EAC= 30°,∴ AE = EC,故 BC = BE+EC = 6+ 3 = 9 (cm). 5. B　 【解析】由题意可知 DE 垂直平分 BC,∴ BE =EC = 2, ∠B = ∠ECD = 30°,∠BDE = ∠CDE = 90°, ∵ CE 平分 ∠ACB,∴ ∠ACB = 2∠ECD = 60°,∴ ∠A = 90°,∠ACE = 30°,∴ AE= 1 2 CE= 1. 故选 B. 6. C　 【解析】连接 BE,∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,∵ E 为 AC 的中点,∴ ∠ABE = ∠CBE = 30°. ∵ EF⊥ AB,EF= 1,∴ ∠D = 90° - ∠ABC = 30°,BE = 2EF = 2,∴ ∠D= ∠CBE,∴ ED=BE= 2,∴ DF =ED+EF = 2+1 = 3. 故 选 C. 7. ( 1) 证明: ∵ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠C = ∠CAB = ∠ABC = 60°,AB = AC. 在△ABE 和△CAD 中, AB = AC, ∠BAE = ∠C,AE = CD, ∴ △ABE≌ △CAD(SAS),∴ BE=AD. (2) 解:由( 1) 知△ABE≌ △CAD, ∴ AD = BE, ∠ABP = ∠DAE,∴ ∠BPQ= ∠ABP+∠BAD= ∠BAC= 60°. ∵ BQ⊥AD,∴ ∠BQP = 90°,∴ ∠PBQ = 30°, ∴ BP= 2PQ= 2×3 = 6,∵ PE = 1,∴ AD = BE = 6+ 1 = 7. 8. C 专题　 构造等腰三角形的常用方法 1. 解:(1)AD=CE,理由如下: 过点 D 作 DP∥BC,交 AB 于点 P. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ △APD 也是等边三角形, ∴ AP=PD=AD, ∠APD= ∠ABC= ∠ACB= ∠PDA= 60°. ∴ ∠BPD= ∠DCE= 120°. ∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠DEC. ∵ DP∥BC,∴ ∠PDB= ∠CBD, ∴ ∠PDB= ∠DEC. 在△BPD 和△DCE 中, —21—