13.3.1 等腰三角形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

13. 3　 等腰三角形 13. 3. 1　 等腰三角形 第 1 课时　 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 1. (3 分)如果等腰三角形的一个角是 70°,那么 它的底角是(　 　 ) A. 70°或 55°　 　 　 　 　 　 　 B. 55°或 40° C. 70°或 40° D. 55° 2. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AD⊥BC, 垂足为点 D,且 BC= 6 cm,则 BD= (　 　 ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 3. (3 分)已知等腰三角形一腰上的高线与另一 腰的夹角为 40°,那么这个等腰三角形的顶角 等于(　 　 ) A. 50°或 130° B. 130° C. 80° D. 50°或 80° 4. (3 分)已知等腰三角形的周长为 19,一边长 为 8,则此等腰三角形的底边长为(　 　 ) A. 3 B. 8 C. 3 或 8 D. 8 或 5. 5 5. (3 分) 如图,已知等腰△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,AE = 2EC,若△ABD 的面积是 12, 则△CDE 的面积是　 　 　 　 . 6. (3 分)在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 100°,点 D 在 BC 边上,连接 AD,若△ABD 为直角三角 形,则∠ADC 的度数为　 　 　 　 . 7. (6 分)如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠BAC = 80°,AD 平分∠BAC,且 AD = AE,求∠EDC 的度数. 8. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AD⊥BC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,AE=CE. 求证: (1)△AEF≌△CEB; (2)AF= 2CD. 误用“三线合一”而出错 9. (3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC, BD⊥AC,垂足为 D,若∠A= 50°,求 ∠DBC 的度数为　 　 　 　 . 10. (3 分)(洛阳期末)如图,AD,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线,若 AB=AC,∠CAD= 20°,则 93 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 ∠ACE 的度数是(　 　 ) A. 20°　 　 B. 35°　 　 C. 40°　 　 D. 70° 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AD⊥BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,下 列结论:①∠BAD= ∠CAD;②AD 上任意一点 到 AB,AC 的距离相等;③BD =CD;④若点 P 在直线 AD 上, 则 PB = PC. 其 中 正 确 的 是(　 　 ) A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 12. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,边 AB 的 垂直平分线 DE 交 BC 于点 E,连接 AE,若∠BAC= 120°,则∠AEC 的 大小为　 　 　 　 . 13. (3 分)在△ABC 中,AB = AC,∠B = 70°,在直 线 BC 上取一点 P,使 CP = CA,连接 AP,则 ∠BAP 的度数为　 　 　 　 . 14. (8 分) (濮阳期末)如图,已知 AD 所在直线 是 BC 的垂直平分线, DE ⊥ AB 于点 E, DF⊥AC 于点 F. 求证:(1)∠ABD= ∠ACD; (2)DE=DF. 15. (10 分)如图 1,在△ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AD 上. (1)求证:BE=CE; (2)如图 2,若 BE 的延长线交 AC 于点 F,且 BF⊥AC,垂足为 F,∠BAC = 45°,原题设 其它条件不变. 求证:AE=BC. 16. (3 分)(永州二模)如图,已知 AB=A1B,A1B1 = A1A2,A2B2 =A2A3,A3B3 =A3A4,…,若∠A=70°,则 ∠An-1AnBn-1 的度数为(　 　 ) A. 70 2n 　 　 B. 70 2n+1 　 　 C. 70 2n-1 　 　 D. 70 2n+2 04 第 2 课时　 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 1. (3 分)在△ABC 中,∠A 和∠B 的度数如下, 能判定△ABC 是等腰三角形的是(　 　 ) A. ∠A= 50°,∠B= 70° B. ∠A= 70°,∠B= 40° C. ∠A= 30°,∠B= 90° D. ∠A= 80°,∠B= 60° 2. (3 分)如图,在直角三角形 ABC 中,∠BAC = 90°,AB=AC,点 D 为 BC 上一点,AB =BD,DE ⊥BC,交 AC 于点 E,则图中的等腰三角形的 个数有(　 　 ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 3. (3 分) (商丘月考)如图,在△ABC 中,BD⊥ AC,∠A = 50°,∠CBD = 25°,若 AC = 5 cm,则 AB= 　 　 　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图,在一张长方形纸条上任意画一条 截线 AB, 将纸条沿截线 AB 折叠, 所得到 △ABC 的形状一定是　 　 　 　 　 　 三角形. 5. (8 分)如图所示,已知 BD 是△ABC 的角平分 线,DE∥BC 交 AB 于点 E. 求证:△BED 是等 腰三角形. 6. (8 分)(新乡期末)如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AC、AB 上,BD 与 CE 相交于点 O,给 出下列三个条件:①∠EBO = ∠DCO;②BE = CD;③OB=OC. (1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定 △ABC 是等腰三角形? (2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程. 用尺规作等腰三角形 7. (3 分)如图,用尺规作图“已知底边 a 和底边 上的高线 h,作等腰三角形”,有下列作法:① 作线段 BC=a;②作线段 BC 的垂直平分线 m, 交 BC 于点 D;③在直线 m 上截取 DA=h,连接 AB、AC. 这样作法的根据是(　 　 ) A. 等腰三角形三线合一 B. 等腰三角形两底角相等 C. 等腰三角形两腰相等 D. 等腰三角形的对称性 14 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 错误运用等腰三角形的性质和判定 8. (8 分)(洛阳期末)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AD⊥BC 于点 D,∠ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 E,交 AC 于点 F,FH⊥BC 于点 H, 求证:AE=FH. 9. (3 分)(教材 P79 练习 1 变式)如图,在△ABC 中,AB = AC>BC,BE = BC,∠ABE = ∠BCD,则 图中一定是等腰三角形的有(　 　 ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 10. (3 分) (周口月考)如图,D 为△ABC 内一 点,CD 平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为点 D,交 AC 于点 E,∠A= ∠ABE,AC= 5,BC= 3,则 BD 的长为(　 　 ) A. 1　 　 　 B. 1. 5　 　 　 C. 2　 　 　 D. 2. 5 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 11. (3 分) (商丘二模)如图所示,在△ABC 中, AB= 18 cm,AC = 12 cm,点 P 从点 B 出发以 每秒 3 cm 的速度向点 A 运动,点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2 cm 的速度向点 C 运动,其 中一个动点到达端点时,另一个动点也随之 停止运动. 当△APQ 是等腰三角形时(此时 AP 与 AQ 为腰),运动的时间是　 　 　 　 　 . 12. (12 分)(濮阳期末)如图,在△ABC 中,AB = AC= 2,∠B= ∠C = 40°,点 D 在线段 BC 上运 动(D 不与 B,C 重合),连接 AD,作∠ADE = 40°,DE 交线段 AC 于点 E. (1)当∠BDA = 115°时,∠EDC = 　 　 　 　 °, ∠DEC= 　 　 　 　 °,点 D 从 B 向 C 运动 时,∠BDA 逐渐变 　 　 　 　 (填“大” 或 “小”); (2)当 DC 等于多少时,△ABD≌△DCE,请 说明理由; (3)在点 D 的运动过程中,△ADE 的形状可 以是等腰三角形吗? 若可以,请直接写 出 ∠BDA 的度数. 若不可以, 请说明 理由. 24 的坐标为(-3,-2) . 故选 D. 13. 解:(1)A(1,-4),如图△ABC 即为所求; (2)如图,△A1B1C1 即为所求; (3)四边形 ABB1A1 的面积= 1 2 ×(2+6)×7 = 28. 14. 解:(1)如图,四边形 A′B′C′D′即为所求; (2)以 A,B′,B,C 四点为顶点的四边形的面积= 5×2 - 1 2 ×2×2- 1 2 ×1×1- 1 2 ×1×3 = 6. 15. (a,-b)　 【解析】∵ 点 A 第一次关于 x 轴对称后在第四 象限,点 A 第二次关于 y 轴对称后在第三象限,点 A 第 三次关于 x 轴对称后在第二象限,点 A 第四次关于 y 轴 对称后在第一象限,即点 A 回到原始位置,∴ 每四次对 称为一个循环组依次循环,∵ 2 021÷4 = 505……1,∴ 经 过第 2 021 次变换后所得的 A 点与第一次变换的位置 相同,在第四象限,坐标为(a,-b) . 13. 3　 等腰三角形 13. 3. 1　 等腰三角形 第 1 课时　 等腰三角形的性质 1. A　 2. C 3. A　 【解析】①当等腰三角形为锐角三角形. 顶角的度数 为 90°- 40° = 50°;②当等腰三角形为钝角三角形. 顶角 的度数为 90°+40° = 130°. 故选 A. 4. C　 【解析】①当腰长为 8 时,底边长 = 19-2×8 = 3,经检 验,符合三角形三边关系;②底边长为 8,此时腰长 = (19 -8)÷2 = 5. 5,经检验,符合三角形三边关系. 因此该等腰 三角形的底边长为 3 或 8. 故选 C. 5. 4　 【解析】∵ 等腰△ABC 中,AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD 是三角形 ABC 的中线,∵ △ABD 的面积是 12,∴ S△ADC = 12,∵ AE = 2EC,∴ AC = 3EC,∴ S△CDE = 1 3 S△ADC = 4. 6. 130°或 90° 　 【解析】 ∵ 在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 100°,∴ ∠B= ∠C= 40°,∵ 点 D 在 BC 边上,△ABD 为直 角三角形,∴ 当∠BAD = 90°时,则∠ADB = 50°,∴ ∠ADC = 130°,当∠ADB= 90°时,则∠ADC= 90°. 7. 解:∵ AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD⊥BC,∠ADC = 90°, ∵ ∠BAC = 80°, ∴ ∠DAE = 1 2 ∠BAC = 40°. ∵ AD = AE,∴ ∠ADE = 70°,∴ ∠EDC = ∠ADC-∠ADE = 90°- 70° = 20°. 8. 证明: ( 1) ∵ AD⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠BAD + ∠B = 90°, ∠BCE + ∠B = 90°, ∴ ∠BAD = ∠BCE, 在 △AEF 和△CEB 中,∠BAF= ∠ECB,AE =CE, ∠AEF= ∠CEB,∴ △AEF≌△CEB(ASA); (2) ∵ AB = AC,AD⊥BC, ∴ CD = BD, 由 ( 1) 知 △AEF≌ △CEB, ∴ AF = BC = 2CD,即 AF = 2CD. 9. 25°　 10. B　 11. D　 12. 60° 13. 15°或 75° 　 【解析】当点 P 在点 B 的左侧时,∵ AB = AC,∠ABC = 70°,∴ ∠ACB = ∠ABC = 70°,∴ ∠BAC = 180°-∠ACB-∠ABC= 180°-70°-70° = 40°. ∵ CA=CP1, ∴ ∠CAP1 = ∠CP1A= 180°-∠ACP1 2 = 180°-70° 2 = 55°,∴ ∠BAP1 = ∠CAP1 -∠CAB = 55°- 40° = 15°;当点 P 在点 C 的右侧时,∵ CA =CP2,∴ ∠CAP2 = ∠CP2A = ∠ACB 2 = 70° 2 = 35°,∴ ∠BAP2 = ∠CAP2 +∠CAB = 35°+ 40° = 75°. 由上可得,∠BAP 的度数是 15°或 75°. 14. 证明:(1) ∵ AD 是 BC 的垂直平分线,∴ AB = AC,BD = CD,∴ ∠ABC = ∠ACB, ∠DBC = ∠DCB, ∴ ∠ABD= ∠ACD; (2)∵ AB=AC,AD 是 BC 的垂直平分线,∴ ∠BAD = ∠CAD,∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE=DF. 15. 证明:(1)∵ AB=AC,点 D 是 BC 的中点, ∴ AD 垂直平分 BC,∴ BE=CE; (2)∵ BF⊥AC,∠BAC= 45°, ∴ △ABF 是等腰直角三角形,∴ AF=BF. ∵ AB=AC,点 D 是 BC 的中点, ∴ AD⊥BC,∴ ∠EAF+∠C= 90°, ∵ BF⊥AC,∴ ∠CBF+∠C= 90°, ∴ ∠EAF= ∠CBF. 在△AEF 和△BCF 中, ∠EAF= ∠CBF AF=BF ∠AFE= ∠BFC { , ∴ △AEF≌△BCF(ASA),∴ AE=BC. 16. C 　 【解析】 ∵ 在 △ABA1 中,∠A = 70°,AB = A1B,∴ ∠BA1A= 70°,∵ A1A2 = A1B1,∠BA1A 是△A1A2B1 的外 角,∴ ∠B1A2A1 = ∠BA1A 2 = 35°;同理可得,∠B2A3A2 = 17. 5°,∠B3A4A3 = 1 2 × 17. 5° = 35° 4 ,∴ ∠An-1AnBn-1 = 70° 2n-1 . 故选 C. 第 2 课时　 等腰三角形的判定 1. B　 2. B　 3. 5cm　 4. 等腰 5. 证明:∵ BD 是△ABC 的角平分线, ∴ ∠EBD= ∠DBC. ∵ DE∥BC,∴ ∠EDB= ∠DBC, ∴ ∠EBD= ∠EDB. ∴ EB=ED, ∴ △BED 是等腰三角形. 6. (1)解:①②;①③ (2) 证明: 选 ① ③. ∵ OB = OC, ∴ ∠OBC = ∠OCB. ∵ ∠EBO = ∠DCO,且∠ABC = ∠EBO+ ∠OBC, ∠ACB= ∠DCO+∠OCB,∴ ∠ABC= ∠ACB,∴ AB=AC,∴ △ABC 是等腰三角形. 7. A 8. 证明:∵ BF 平分∠ABC,FA⊥AB,∴ FH⊥BC,∴ FH =FA, ∠AFB+∠ABF = 90°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠DEB+∠EBD = 90°. ∵ ∠ABF = ∠EBD, ∴ ∠AFB = ∠DEB, ∴ —11— ∠AFB= ∠AEF,∴ AE=FA,∴ AE=FH. 9. B　 10. A 11. 3. 6 秒 　 【解析】设运动的时间为 x 秒,由题意得,当 △APQ 是等腰三角形时,AP = AQ,AP = 18- 3x,AQ = 2x, 即 18-3x= 2x,解得 x= 3. 6. 12. 解:(1)25　 115　 小 (2) 当 DC = 2 时, △ABD≌ △DCE, 理由如下: ∵ ∠ADC= ∠B+∠BAD,∠ADC = ∠ADE+∠CDE, ∠B= ∠ADE = 40°,∴ ∠BAD = ∠CDE,且 AB = CD = 2, ∠B = ∠C = 40°, ∴ △ABD ≌ △DCE (ASA) . (3)△ADE 的形状可以是等腰三角形,∠BDA= 110° 或 80°. 　 【解析】 若 AD = DE 时,∵ AD = DE, ∠ADE= 40°,∴ ∠DEA = ∠DAE = 70°. ∵ ∠DEA = ∠C+∠EDC,∴ ∠EDC= 30°,∴ ∠BDA= 180°- ∠ADE-∠EDC = 180°- 40°- 30° = 110°;若 AE = DE 时,∵ AE =DE,∠ADE = 40°,∴ ∠DAE = 40°, ∴ ∠AED = 100°. ∵ ∠DEA = ∠C + ∠EDC, ∴ ∠EDC= 60°,∴ ∠BDA = 180°-∠ADE-∠EDC = 180°-40°- 60° = 80°. 若 AD = AE 时,∵ ∠ADE = 40°,∠AED= 40°,此时点 D 与点 B 重合,不符合 题意,舍去. 综上所述:当∠BDA= 80°或 110°时, △ADE 的形状可以是等腰三角形. 13. 3. 2　 等边三角形 第 1 课时　 等边三角形的性质和判定 1. D　 2. C　 3. A 4. 解:∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = BC,∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,∴ AD=CD= 1 2 AC,∵ CE=CD,∴ CE = 1 2 AC= 1 2 AB= 3,∴ BE=BC+CE=AB+CE= 6+3 = 9. 5. D 6. B　 【解析】∵ 等边三角形 ABC 的周长为 6,∴ BC = 2. ∵ E,F 是边 BC 上的三等分点,∴ BC = 3EF = 2. ∵ ED∥AB, FD∥AC,∴ ∠DEF = ∠B = 60°,∠DFE = ∠C = 60°,∴ △DEF 是等边三角形,∴ C△DEF = 3EF= 2. 故选 B. 7. 18 8. 证明:∵ 锐角三角形的两条高 BD、CE 相交于点 O,∴ ∠OEB= ∠ODC= 90°,∵ ∠EOB= ∠DOC,∴ ∠EBO = ∠DCO. 又 ∵ OB = OC, ∴ ∠OBC = ∠OCB, ∴ ∠ABC= ∠ACB,∵ ∠A= 60°,∴ △ABC 是等边三角 形. 9. D　 10. A 11. 120° 　 【解析】 ∵ AD = DE = AE,∴ ∠ADE = ∠DEA = ∠DAE = 60°,∵ BD = AD, AE = EC, ∴ ∠B = ∠BAD = 1 2 ∠ADE= 30°,∠C= ∠CAE= 1 2 ∠AED = 30°,∴ ∠BAC = ∠BAD+∠DAE+∠CAE= 30°+60°+30° = 120°. 12. 4 13. 证明:(1)∵ △ACD 和△BCE 是等边三角形, ∴ AC=DC,CE=CB,∠DCA= ∠ECB= 60°, ∴ ∠DCA+∠DCE= ∠ECB+∠DCE, ∴ ∠ACE= ∠DCB, 在△ACE 与△DCB 中, ∵ AC=DC,∠ACE= ∠DCB,CE=CB, ∴ △ACE≌△DCB(SAS), ∴ AE=BD; (2)∵ 由(1)得,△ACE≌△DCB, ∴ ∠CAM= ∠CDN, ∵ ∠ACD= ∠ECB= 60°, ∴ ∠DCN= 60°. 在△ACM 与△DCN 中, ∵ ∠MAC= ∠NDC,AC=DC, ∠ACM= ∠DCN= 60°, ∴ △ACM≌△DCN(ASA), ∴ MC=NC. ∵ ∠MCN= 60°, ∴ △MCN 为等边三角形, ∴ ∠NMC= ∠DCA, ∴ MN∥AB. 14. 1 2 　 【解析】过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F,∵ PF∥ BC,△ABC 是等边三角形,∴ ∠PFD = ∠QCD,△APF 是 等边三角形,∴ AP= PF = AF. ∵ PE⊥AC,∴ AE = EF. ∵ AP = CQ,∴ PF = CQ. ∵ ∠PDF = ∠QDC,∴ △PFD≌ △QCD(AAS) . ∴ FD = CD. ∵ AE = EF,∴ EF+FD = AE+ CD,∴ AE+CD=DE= 1 2 AC,∵ AC= 1,∴ DE= 1 2 . 第 2 课时　 含 30°角的直角三角形 1. C　 2. D　 3. 2 4. 解:∵ AB = AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C = 30°,∵ AE⊥ AB,AE= 3cm,∴ BE = 2AE = 6cm,∠EAC = 30°,∴ ∠C = ∠EAC= 30°,∴ AE = EC,故 BC = BE+EC = 6+ 3 = 9 (cm). 5. B　 【解析】由题意可知 DE 垂直平分 BC,∴ BE =EC = 2, ∠B = ∠ECD = 30°,∠BDE = ∠CDE = 90°, ∵ CE 平分 ∠ACB,∴ ∠ACB = 2∠ECD = 60°,∴ ∠A = 90°,∠ACE = 30°,∴ AE= 1 2 CE= 1. 故选 B. 6. C　 【解析】连接 BE,∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,∵ E 为 AC 的中点,∴ ∠ABE = ∠CBE = 30°. ∵ EF⊥ AB,EF= 1,∴ ∠D = 90° - ∠ABC = 30°,BE = 2EF = 2,∴ ∠D= ∠CBE,∴ ED=BE= 2,∴ DF =ED+EF = 2+1 = 3. 故 选 C. 7. ( 1) 证明: ∵ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠C = ∠CAB = ∠ABC = 60°,AB = AC. 在△ABE 和△CAD 中, AB = AC, ∠BAE = ∠C,AE = CD, ∴ △ABE≌ △CAD(SAS),∴ BE=AD. (2) 解:由( 1) 知△ABE≌ △CAD, ∴ AD = BE, ∠ABP = ∠DAE,∴ ∠BPQ= ∠ABP+∠BAD= ∠BAC= 60°. ∵ BQ⊥AD,∴ ∠BQP = 90°,∴ ∠PBQ = 30°, ∴ BP= 2PQ= 2×3 = 6,∵ PE = 1,∴ AD = BE = 6+ 1 = 7. 8. C 专题　 构造等腰三角形的常用方法 1. 解:(1)AD=CE,理由如下: 过点 D 作 DP∥BC,交 AB 于点 P. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ △APD 也是等边三角形, ∴ AP=PD=AD, ∠APD= ∠ABC= ∠ACB= ∠PDA= 60°. ∴ ∠BPD= ∠DCE= 120°. ∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠DEC. ∵ DP∥BC,∴ ∠PDB= ∠CBD, ∴ ∠PDB= ∠DEC. 在△BPD 和△DCE 中, —21—