13.1 轴对称-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

13. 1　 轴对称 13. 1. 1　 轴对称 轴对称与轴对称图形 1. (3 分)北京第 24 届冬奥会会徽如 图所示,组成会徽的四个图案中是 轴对称图形的是(　 　 ) A. 　 　 　 B. C. D. 2. (3 分)(教材 P60 练习 2 变式)如图所示的四 组图形中,成轴对称的有(　 　 ) A. 4 组　 　 B. 3 组　 　 C. 2 组　 　 D. 1 组 轴对称及轴对称图形的性质 3. (3 分)如图,△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对 称,且 ∠A = 78°, ∠C′ = 48°, 则 ∠B 的度数 为(　 　 ) A. 48° B. 54° C. 74° D. 78° 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图是一个风筝的图案,它是以直线 AF 为对称轴的轴对称图形,下列结论中不一 定成立的是(　 　 ) A. △ABD≌△ACD B. AF 垂直平分 EG C. 直线 BG,CE 的交点在 AF 上 D. △DEG 是等边三角形 5. (3 分) (许昌月考)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠C= 70°,△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称,∠CAF= 10°,连接 BB′,则∠ABB′的度数 是(　 　 ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 6. (3 分)(安阳期中)如图,在四边形 ABCD 中, AC⊥BD 于点 E,BE=DE,已知 AC= 10 cm,BD = 8 cm. 则阴影部分的面积为　 　 　 　 . 7. (12 分) (沧州一模改编)如图,长方形纸片 ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠,使点 C 落 在点 C′处,折痕为 EF. (1)求证:BE=BF; (2) 若 AB = 4, AD = 8,求四边形 EFC′ B 的 面积. 23 13. 1. 2　 线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质 1. (3 分)如图所示,线段 AB、AC 的垂直平分线 相交于点 P,则 PB 与 PC 的关系是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. PB>PC B. PB=PC C. PB<PC D. PB= 2PC 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,MP,NQ 分别垂直平分 AB,AC,且 BC= 6cm,则△APQ 的周长为(　 　 ) A. 12 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 无法确定 3. (3 分) (安阳月考)如图,在△ABC 中,∠C = 31°,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,如果 DE 垂直平分 BC,那么∠A= (　 　 ) A. 31° B. 62° C. 87° D. 88° 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图,在△ABC 中,AB 的中垂线 DE 交 AC 于点 D,交 AB 于点 E,已知 BC= 10,△BDC 的周长为 22,则 AC= 　 　 　 　 . 5. (10 分)如图,在△ABC 中,∠BAC= 62°,∠B= 78°,AC 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D. (1)求∠BAD 的度数; (2)若 AB= 8,BC= 11,求△ABD 的周长. 线段的垂直平分线的判定 6. (3 分)下列条件中,不能判定直线 CD 是线段 AB(C,D 不在线段 AB 上) 的垂直平分线的 是(　 　 ) A. CA=CB,DA=DB B. CA=CB,CD⊥AB C. CA=DA,CB=DB D. CA=CB,CD 平分 AB 7. (3 分)如图,直线 PO 与 AB 交于点 O,PA = PB,下列结论中正确的是(　 　 ) A. AO=BO B. PO⊥AB C. PO 是 AB 的垂直平分线 D. P 点在 AB 的垂直平分线上 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. (3 分)如图,AC=AD,BC=BD,则有(　 　 ) A. AB 与 CD 互相垂直平分 B. CD 垂直平分 AB C. AB 垂直平分 CD D. CD 平分∠ACB 33 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 尺规作图 9. (8 分)(重庆一模改编)如图,AD 是△ABC 的 角平分线,DE⊥AB 于点 E. (1)用尺规完成以下基本作图:过点 D 作 DF ⊥AC 于点 F,连接 EF 交 AD 于点 G. (不 写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)中所作的图形中,求证:AD⊥EF. 10. (4 分)尺规作图:作已知线段的垂直平分线. (要求:不写作法,但要保留作图痕迹) 已知:线段 AB, 求作:直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线. 你的作图依据是 　 　 . 11. (4 分)如图,△ABC 与△DEF 关于直线 l 对 称,请仅用无刻度的直尺,在下面两个图中 分别作出直线 l. 图 1 　 　 　 图 2 对线段的垂直平分线的判定不理解 12. (7 分)如图,AF 平分∠BAC,P 是 AF 上任意 一点,过 P 向 AB,AC 作垂线 PD,PE,垂足分 别为 D,E,连接 DE. 求证:AF 垂直平分 DE. 13. (3 分)(周口期中)如图,在△ABC 中,∠B = 55°,∠C= 30°,分别以点 A 和点 C 为圆心,大 于 1 2 AC 的长为半径画弧,两弧相交于点 M, N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则 ∠BAD 的度数为(　 　 ) A. 65°　 　 B. 60°　 　 C. 55°　 　 D. 45° 第 13 题图 　 第 14 题图 14. ( 3 分) (教材 P62 练习 1 变式) 如图, 在 △ABC 中,AB 边的垂直平分线 DE 分别与 AB、AC 边交于 D、E 两点,BC 边的垂直平分 线 FG 分别与 BC、AC 边交于 F、G 两点,连接 BE、BG. 若△BEG 的周长为 16,GE = 1. 则 AC 的长为(　 　 ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 43 15. (3 分)如图,线段 AB,BC 的 垂直平分线 l1、l2 相交于点 O. 若 ∠1 = 40°, 则 ∠AOC = (　 　 ) A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 16. (4 分)现有两条高速公路 l1,l2 和两个城镇 A,B(如图),准备建一个加油站,使加油站到 两条公路的距离相等,并且到两个城镇的距 离相等,请你画出加油站的最优位置(保留 作图痕迹,不写作法) . 17. (10 分)(三门峡期末)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 CD 的中点,连接 AE 并延长 交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:CF=AD; (2)若 AD = 2,AB = 8,当 BC 的长为多少时, 点 B 在线段 AF 的垂直平分线上? 为 什么? 18. (10 分) (济南模拟改编)如图,∠BAC 的平 分线与 BC 的垂直平分线相交于点 D,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为 E、F. (1)求证:BE=CF; (2)若 AF= 6,BC= 7,求△ABC 的周长. 19. (3 分)(盘锦模拟)如图,已知直线 AB 和 AB 上一点 C,过点 C 作直线 AB 的垂线,步骤 如下: 第一步:以点 C 为圆心,以任意长为半径作 弧,交直线 AB 于点 D 和点 E; 第二步:分别以点 D 和点 E 为圆心,以 a 为 半径作弧,两弧交于点 F; 第三步:作直线 CF,直线 CF 即为所求. 下列关于 a 的说法正确的是(　 　 ) A. a≥ 1 2 DE 的长 B. a≤ 1 2 DE 的长 C. a> 1 2 DE 的长 D. a< 1 2 DE 的长 53 △CDF 中, ∠EBC= ∠D ∠CEB= ∠CFD= 90° CE=CF { , ∴ △CBE ≌ △CDF (AAS); (2)解:在 Rt△ACE 与 Rt△ACF 中, AC =AC CE=CF{ , ∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(HL), ∴ AE=AF,∴ AB+DF=AB+BE=AE=AF, ∵ AB= 3,DF= 2,∴ AF= 3+2 = 5. 10. (1)解:∵ ∠AOB= 90°,∴ ∠OAE+∠OEA= 90°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠OAE+∠OCB = 90°,∴ ∠OEA = ∠OCB. ∵ A(-3,0),B(0,3),∴ OA=OB= 3. 在△AOE 和△BOC 中, ∠AEO= ∠BCO ∠AOE= ∠BOC AO=BO { , ∴ △AOE≌△BOC(AAS) . ∴ OC=OE= 1, ∴ C 点的坐标为(1,0); (2)证明:过点 O 作 OG⊥AE 于 G,OH⊥BC 于 H, ∵ △AOE≌△BOC,∴ ∠OAG= ∠OBH, ∵ OG⊥AE,OH⊥BC,∴ ∠OGA= ∠OHB= 90°. 在 △AGO 和 △BHO 中, AO = BO, ∠OAG = ∠OBH, ∠OGA = ∠OHB, ∴ △AGO≌ △BHO (AAS),∴ OG=OH,∴ OD 平分∠ADC. 11. 解:(1)(2)(3)如图所示; (4)证明:∵ OA =OD,OE =OC, ∠NOM= ∠MON, ∴ △AOE ≌ △DOC (SAS), ∴ ∠OCP= ∠OEP, AC=DE,又∵ ∠APC= ∠DPE, ∴ △APC≌△DPE(AAS),∴ CP=PE, ∵ OP = OP,OC = OE, ∴ △POC≌ △POE (SSS), ∴ ∠COP= ∠EOP,即 OP 平分∠MON. 12. C　 13. 2 14. 解:过 P 点作 PE⊥BC 于 E. ∵ AB∥CD,AD⊥AB,∴ AD⊥CD. ∵ BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB, ∴ PA=PE,PD=PE,∴ PA=PD. ∵ AD= 8,∴ AP= 1 2 AD= 1 2 ×8 = 4. 15. 证明:过点 P 作 PE⊥OA 于 E,PF⊥OB 于 F,∴ ∠AEP= ∠BFP= 90°, ∵ ∠2+∠PBF= 180°,∠1+∠2 = 180°, ∴ ∠PBF= ∠1,在△PAE 和△PBF 中, ∠AEP= ∠BFP= 90° ∠1 = ∠PBF PA=PB { , ∴ △PAE≌△PBF(AAS),∴ PE=PF, ∴ OP 平分∠AOB. 第十三章　 轴对称 13. 1　 轴对称 13. 1. 1　 轴对称 1. D　 2. D　 3. B　 4. D　 5. C 6. 20cm2 　 【解析】∵ AC⊥BD,EB = ED,∴ △BDF 关于 AC 对称. 由轴对称图形的性质可得 S△BEF = S△DEF,∴ S阴影 = S△ABC = 1 2 ×10× 1 2 ×8 = 20(cm2) . 7. (1)证明:在长方形 ABCD 中,∠A = ∠C = 90°,AD∥BC, AB=DC. 由折叠的性质可得∠C′ = ∠C = 90°, BE∥C′F,BC′ = DC, ∴ ∠A = ∠C′,AB = BC′, ∠AEB= ∠EBF = ∠BFC′,∴ △ABE≌ △C′BF (AAS),∴ BE=BF. (2)解:由(1)知△ABE≌△C′BF,∴ S△ABE = S△C′BF,BE = BF=DE. ∴ S四边形EFC′B = S△C′BF +S△BEF = S△ABE +S△BEF =S四边形ABFE = (AE+BF)·AB 2 = 8×4 2 = 16. 13. 1. 2　 线段的垂直平分线的性质 1. B　 2. B　 3. C 4. 12　 【解析】∵ DE 是 AB 的中垂线,∴ DB =DA. ∵ △BDC 的周长为 22,∴ BC+BD+CD= 22,即 BC+CD+DA=BC+CA = 22. ∵ BC= 10,∴ AC= 12. 5. 解:(1)∵ ∠BAC= 62°,∠B= 78°, ∴ ∠C= 180°-∠BAC-∠B= 40°. ∵ DE 垂直平分 AC,∴ AD=CD, ∴ △ADC 是等腰三角形. ∴ ∠CAD= ∠C= 40°, ∴ ∠BAD= 62°-40° = 22°; (2)∵ AD=CD,AB= 8,BC= 11, ∴ △ABD 的周长=AB+AD+BD =AB+CD+BD=AB+BC= 8+11 = 19. 6. C　 7. D　 8. C 9. (1)解:如图, (2)证明:∵ AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥ AC,∴ DE=DF. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中, AD =AD DE=DF{ , ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴ AE=AF, 而 DE=DF,∴ AD 垂直平分 EF, 即 AD⊥EF. 10. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 11. 解:如图. 　 12. 证明:∵ AF 平分∠BAC,PE⊥AC,PD⊥AB,∴ ∠ADP = ∠AEP= 90°,DP=EP,∠BAF = ∠CAF,∴ ∠EPO = ∠DPO,则在△PEO 和△PDO 中,PE =PD,∠EPO = ∠DPO,PO = PO, ∴ △PEO≌ △PDO, ∴ EO = DO,∠EOP= ∠DOP= 90°,∴ PO 垂直平分 ED,即 AF 垂直平分 DE. 13. A 　 【解析】 在 △ABC 中,∵ ∠B = 55°,∠C = 30°,∴ ∠BAC= 180°-∠B-∠C= 95°,由作图可知 MN 为 AC 的 垂直平分线,∴ DA=DC,∴ ∠DAC = ∠C = 30°,∴ ∠BAD = ∠BAC-∠DAC= 65°. 故选 A. 14. B　 【解析】∵ DE 是线段 AB 的垂直平分线,GF 是线段 BC 的垂直平分线,∴ EB=EA,GB=GC,∵ △BEG 周长为 —9— 16,∴ EB+GB+EG = 16,∴ EA+GC+EG = 16,∴ GA+EG+ EG+EG+EC = 16,∴ AC+ 2EG = 16,∵ EG = 1,∴ AC = 14. 故选 B. 15. B　 【解析】连接 BO,并延长 BO 到 P,设 l1 ⊥AB 于点 D, l2 ⊥BC 于点 E,∵ 线段 AB、BC 的垂直平分线 l1、l2 相交 于点 O, ∴ AO = OB = OC, ∠BDO = ∠BEO = 90°, ∴ ∠DOE+∠ABC= 180°. ∵ ∠DOE+∠1 = 180°,∴ ∠ABC = ∠1 = 40°. ∵ OA = OB = OC,∴ ∠A = ∠ABO,∠OBC = ∠C. ∵ ∠AOP = ∠A+ ∠ABO,∠COP = ∠C+ ∠OBC,∴ ∠AOC= ∠AOP+ ∠COP = ∠A+ ∠ABC+ ∠C = 2 × 40° = 80°. 故选 B. 16. 解:如图,点 Q 即为所求加油站的最优位置. 17. (1)证明:∵ AD∥BC,即 AD∥CF,∴ ∠DAE = ∠CFE,∵ E 为 CD 的中点,∴ DE =CE,在△ADE 和△FCE 中,∠DAE= ∠CFE,∠AED = ∠FEC,DE =CE, ∴ △ADE≌△FCE(AAS),∴ CF=AD. (2)解:当 BC = 6 时,点 B 在线段 AF 的垂直平分线上, 理由:∵ 点 B 在线段 AF 的垂直平分线上,∴ BA =BF,∵ AB= 8,AD= 2,CF=AD,∴ BC =BF-CF = BA-AD= 6. 18. (1)证明:连接 CD、BD, ∵ DG 是 BC 的垂直平分线, ∴ CD=BD, ∵ AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ DF=DE,∠F= ∠DEB= 90°, 在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中, CD =BD DF=DE{ , ∴ Rt△CDF≌Rt△BDE(HL),∴ BE=CF; (2)解:∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠FAD= ∠EAD, 在△ADF 和△ADE 中, ∠AFD= ∠AED ∠FAD= ∠EAD AD=AD { , ∴ △ADF≌△ADE(AAS),∴ AE=AF= 6. ∵ BE=CF,∴ △ABC 的周长 = AB+AC+BC = AE+ BE+AF-CF+BC=AE+AF+BC= 6+6+7 = 19. 19. C 13. 2　 画轴对称图形 第 1 课时　 画轴对称图形 1. B 2. 解:如图所示: 3. 解:(1)如图①所示,线段 MN 即为所求(答案不唯一); 图① 　 图② (2)如图②所示,△DEF 即为所求(答案不唯一) 　 4 4. 解:如图所示: 5. 解:(1)如图,△A′B′C′为所作; (2)S△ABC = 3×3- 1 2 ×1×3- 1 2 ×2×1- 1 2 ×2×3 = 3. 5. 6. 解:如图. (部分答案不唯一) 图 1 　 图 2 　 图 3 第 2 课时　 用坐标表示轴对称 1. A 2. B　 【解析】∵ A(4,2),B(-2,2),∴ 点 A 到 x 轴的距离为 2,点 B 到 x 轴的距离为 2,且 A、B 都在 x 轴上方,∴ 直线 AB 平行于 x 轴. 故选 B. 3. C　 4. A 5. 解:(1)∵ 点 A 与点 B 关于 x 轴对称, ∴ x-3 = 5,y+2 = -3y+2, ∴ x= 8,y= 0,∴ x+y= 8+0 = 8; (2)当 A 点在 B 点的右边时. ∵ AB∥x 轴,且 AB= 2, ∴ A 点的横坐标是 7,y+2 = 3y-2, ∴ y= 2,∴ A(7,4); 当 A 点在 B 点的左边时. ∵ AB∥x 轴,且 AB= 2, ∴ A 点的横坐标是 3,纵坐标还是 4, 则 A(3,4) . 综上,A 点的坐标为(7,4)或(3,4). 6. B 7. 解:(1)如图所示: C1 坐标为(-1,-3). (2)如图所示,C2 坐标为(1,3). 8. A　 9. C　 10. B 11. A　 【解析】∵ △ABC 关于直线 m 对称,且 m = 1,∴ C、B 关于直线 m= 1 对称,∵ 点 C 的坐标(4,1),设点 B 坐标 为(x,1),∴ 4 +x 2 = 1,解得 x = - 2,故点 B 坐标为( - 2, 1) . 故选 A. 12. D　 【解析】过点 A 作 AE⊥x 轴,垂足为 E,∵ OA 平分 ∠BOD,AC⊥OB,AE⊥x 轴,∴ AC = AE = 2. ∵ 点 A 到 y 轴的距离是 3,∴ A(-3,2),∴ 点 A 关于 x 轴对称的点 —01—