专题 全等三角形的性质与判定-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

专题　 全等三角形的性质与判定 1. (9 分)(信阳期末)如图所示,点 C,E,B,F 在 同一条直线上, AB = DE, AC=DF,CE = BF, △ABC 和△DEF 全等吗? 请说明理由. 2. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A( 3, 0),点 B(0,5) 和点 C(0,3) . 若点 D 在 x 轴 上,且点 D 的坐标为 ( - 5,0),求证: △AOB ≌△COD. 3. (10 分) (武汉模拟改编)如图,AB∥DE,AC∥ DF, AC = DF, ∠B = ∠E. 求 证: △ABC ≌△DEF. 4. (10 分)(济源期末)如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 的中点,点 F 在 DE 的延长线上, 且 EF=DE,求证:(1)BD=CF;(2)AB∥CF. 52 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 5. (10 分)如图,为了测量楼高 AB,在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P,∠APC = 90°,量得点 P 到楼底距离 PB 与旗杆高度 CD 相等,等于 10 米,量得旗杆与楼之间距离 DB = 36 米. 若 ∠CPD= 36°,∠APB= 54°,求楼高 AB. 6. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边上,连接 AD,DE. 已知 ∠1 = ∠2,AD=DE. (1)求证:△ABD≌△DCE; (2)若 BD= 3,CD= 5,求 AE 的长. 7. (10 分) (昆山模拟)如图在△ABC 和△DEC 中,AC=DC,AB=DE,∠ACB = ∠DCE = 90°,AB 与 CE 交于点 F,ED 与 AB,BC 分别交于点 M, H. 求证:CF=CH. 8. (12 分) (成都一模改编)如图,在△ABC 中, ∠B = 60°, AD 平分 ∠BAC,CE 平分 ∠BCA, AD、CE 交于点 F,CD=CG,连接 FG. (1)求证:FD=FG; (2)线段 FG 与 FE 之间有怎样的数量关系, 请说明理由; (3)若∠B≠60°,其他条件不变,则(1)和(2) 中的结论是否仍然成立? 请直接写出判 断结果,不必说明理由. 62 且 AB= AB,可得 Rt△ABC≌Rt△ABD(HL);②当∠ABC = ∠ABD 时,由∠C = ∠D = 90°,∠ABC = ∠ABD 且 AB = AB,可得 Rt△ABC≌Rt△ABD(AAS);③当 BC = BD 时, 由∠C= ∠D = 90°,BC = BD 且 AB = AB,可得 Rt△ABC≌ Rt△ABD(HL) . 故选 D. 5. AB=DC(答案不唯一) 6. 证明:∵ BF=EC,∴ BF+CF=EC+CF, 即 BC=EF. ∵ ∠A= ∠D= 90°, ∴ 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, BC=EF AB=DE{ ,∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 7. (1)证明:∵ ∠ABC= 90°,∴ ∠CBF= ∠ABE= 90°, 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中, AE =CF AB=BC{ , ∴ Rt△ABE≌Rt△CBF(HL); (2)解:∵ AB =BC,∠ABC = 90°,∴ ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∴ ∠BAE= ∠CAB-∠CAE= 45°-30° = 15°. 由(1)知 Rt△ABE≌Rt△CBF,∴ ∠BCF = ∠BAE = 15°,∴ ∠ACF= ∠BCF+∠ACB= 15°+45° = 60°. 8. B 9. B 　 【解析】 在 Rt △APR 和 Rt △APS 中, PA =AP PR=PS{ ,∴ Rt△APR ≌ Rt △APS ( HL ), ∴ AR = AS, ① 正 确; 在 Rt△BRP 与 Rt △QSP 中, BP =PQ PR=PS{ , ∴ Rt △BRP ≌ Rt△QSP(HL),∴ BR=QS,∴ AB+AQ= 2AR,③正确;∵ 无法 得出∠APQ=∠BAP,∴ 得不出 PQ∥AB,②错误. 故选 B. 10. 40°　 【解析】在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中,∵ ∠B= ∠E= 90°,AC=DF,AB = DE,∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) . ∴ ∠D= ∠A= 50°,∴ ∠DFE= 90°-∠D= 90°-50° = 40°. 11. 证明:∵ 以点 D 为圆心,以 CD 为半径画弧交 AB 于点 F,∴ DF=DC. ∵ DE⊥AC,∠B= 90°, ∴ ∠B= ∠DEA= ∠DEC= 90°. 在 Rt△FBD 和 Rt△CED 中, DF =DC BF=CE{ , ∴ Rt△FBD≌Rt△CED(HL),∴ BD=DE. 在 Rt△ABD 和 Rt△AED 中, AD =AD BD=DE{ , ∴ Rt△ABD≌Rt△AED(HL). 12. (1)证明:∵ BD⊥DE,CE⊥DE,∴ ∠ADB = ∠CEA= 90°. ∴ ∠ACE+∠CAE= 90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中, AB =CA AD=CE{ , ∴ Rt△ABD≌Rt△CAE(HL) . ∴ ∠BAD= ∠ACE,∴ ∠BAD+∠CAE= 90°, ∴ ∠BAC= 90°,∴ AB⊥AC. (2)解:AB 与 AC 仍然垂直,证明: ∵ BD⊥DE,CE⊥DE, ∴ ∠ADB= ∠CEA= 90°. ∴ ∠ACE+∠CAE= 90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中, AB =CA AD=CE{ , ∴ Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), ∴ ∠BAD= ∠ACE,∴ ∠BAD+∠CAE= 90°, ∴ ∠BAC= 90°,∴ AB⊥AC. 专题　 全等三角形的性质与判定 1. 解:△ABC≌△DEF. 理由:∵ CE=BF, ∴ CE+BE=BF+BE,即 CB=EF, 在△ABC 和△DEF 中, AB=DE AC=DF CB=FE { , ∴ △ABC≌△DEF(SSS). 2. 证明:∵ 点 A(3,0),点 B(0,5),点 C(0,3),点 D( - 5, 0),∴ OA=OC= 3,OB=OD= 5. 在△AOB 和△COD 中, OA=OC ∠AOB= ∠COD= 90° OB=OD { , ∴ △AOB≌△COD(SAS). 3. 证明:设 AC、DE 相交于点 O. ∵ AB∥DE,AC∥DF, ∴ ∠A= ∠DOC,∠D= ∠DOC,∴ ∠A= ∠D. 在△ABC 与△DEF 中, ∠B= ∠E ∠A= ∠D AC=DF { , ∴ △ABC≌△DEF(AAS). 4. 证明:(1)∵ E 为 AC 的中点,∴ AE=EC. 在△AED 和△CEF 中, AE=CE ∠AED= ∠CEF ED=EF { , ∴ △AED≌△CEF(SAS) . ∴ AD=CF, 又∵ 点 D 为 AB 的中点,∴ AD=BD, ∴ CF=BD; (2)由(1)知△AED≌△CEF,∴ ∠ADE= ∠F. ∴ FC∥AB. 5. 解:∵ ∠CPD= 36°,∠APB= 54°,∠CDP= ∠ABP= 90°, ∴ ∠DCP= ∠APB= 54°. 在△CPD 和△PAB 中, ∠CDP= ∠ABP DC=PB ∠DCP= ∠APB { , ∴ △CPD≌△PAB(ASA),∴ DP=AB. ∵ DB= 36 米,PB= 10 米, ∴ AB=PD= 36-10 = 26(米) . 故楼高 AB 是 26 米. 6. (1)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C. 在△ABD 与△DCE 中, ∠1 = ∠2 ∠B= ∠C AD=DE { , ∴ △ABD≌△DCE(AAS); (2)解:∵ △ABD≌△DCE, ∴ AB=DC= 5,CE=BD= 3. ∵ AC=AB,∴ AC= 5, ∴ AE=AC-EC= 5-3 = 2. 7. 证明:在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中, AB =DE AC=DC{ ,∴ Rt△ABC ≌Rt△DEC(HL) . ∴ ∠A= ∠D. ∵ ∠ACF = ∠ACB- ∠FCH,∠DCH= ∠DCE-∠FCH,∠ACB = ∠DCE = 90°,∴ ∠ACF = ∠DCH. 在 △AFC 和 △DHC 中, ∠A= ∠D AC=DC ∠ACF= ∠DCH { ,∴ △AFC≌△DHC( ASA) . ∴ CF =CH. 8. (1)证明:∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠FCD= ∠FCG,∵ CG=CD,CF=CF, ∴ △CFD≌△CFG(SAS),∴ FD=FG; (2)解:FG=FE. 理由: ∵ ∠B= 60°,∴ ∠BAC+∠BCA= 120°, ∵ AD 平分∠BAC,CE 平分∠BCA, —7— ∴ ∠ACF+∠FAC= 1 2 (∠BCA+∠BAC)= 60°. ∴ ∠AFC= 120°,∠CFD= ∠AFE= 60°, ∵ △CFD≌△CFG,∴ ∠CFD= ∠CFG= 60°, ∴ ∠AFG = ∠AFE = 60°, ∵ AF = AF, ∠FAG = ∠FAE,∴ △AFG≌△AFE(ASA),∴ FG=FE. (3)(1)中结论成立. (2)中结论不成立. 【解析】①同法可证△CFD≌△CFG( SAS),∴ FD = FG. ②∵ ∠B≠60°,∴ 无法证明∠AFG = ∠AFE,∴ 不 能判断△AFG≌△AFE,∴ (2)中结论不成立. 12. 3　 角的平分线的性质 1. D　 2. B 3. 1. 6　 【解析】过 D 作 DF⊥AB 于 F,∵ DF⊥AB,DE 是 △ACD 的高线,AD 是△ABC 的角平分线,∴ DE = DF,∵ S△ABD = 1 2 ×AB×DF = 4,AB = 5,解得 DF = 1. 6,∴ DE = 1. 6. 4. 4 ∶3　 【解析】∵ AD 是△ABC 的角平分线,∴ 设△ABD 的 边 AB 上的高与△ACD 的边 AC 上的高分别为 h1,h2,则 h1 =h2,∴ △ABD 与△ACD 的面积之比=AB ∶AC= 4 ∶3. 5. 证明:∵ OM 平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ, ∴ AM=BM,在 Rt△AOM 和 Rt△BOM 中, OM=OM AM=BM{ ,∴ Rt△AOM≌Rt△BOM(HL), ∴ OA=OB,∴ ∠OAB= ∠OBA. 6. B　 7. A 8. ①②④⑤　 【解析】∵ ∠C = 90°,AD 平分∠BAC,DE⊥ AB,∴ DC = DE,故①正确;在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中, AD=AD,DC=DE,∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴ ∠ADC = ∠ADE,AC=AE,∴ DA 平分∠CDE,故②正确;BE+AC = BE+AE=AB,故④正确;∵ ∠BAC+∠B = 90°,∠BDE+∠B = 90°,∴ ∠BAC = ∠BDE,故⑤正确;∵ ∠ADE+∠BAD = 90°,而 ∠BAD ≠ ∠B, ∴ ∠BDE ≠ ∠ADE, ∴ DE 平 分 ∠ADB 错误,故③错误. 综上所述,正确的有①②④⑤. 9. 4　 10. 4 ∶5 ∶6 11. ②③④⑤　 【解析】过点 O 作 OE⊥AB 于 E,作 OF⊥BC 于 F,作 OG⊥AC 于 G,∵ 点 O 是△ABC 的两外角平分 线的交点,∴ OE=OF,OF =OG,∴ OE =OF =OG,∴ 点 O 在∠A 的平分线上. 故②③④正确;不能判断出 BO = CO,故①错误;∵ ∠EBC = ∠A+ ∠ACB,∠GCB = ∠A+ ∠ABC,∴ ∠EBC+∠GCB = 2∠A+∠ABC+∠ACB = 180° +∠A. ∵ 点 O 是 △ABC 的两外角平分线的交点,∴ ∠CBO= 1 2 ∠EBC,∠BCO= 1 2 ∠BCG,∴ ∠BOC= 180°- ∠CBO-∠BCO = 180° - 1 2 (∠EBC+ ∠GCB) = 90° - 1 2 ∠A. 故⑤正确. 12. 解:(1)如图,CF 即为所求; (2)CF⊥DE,理由如下: ∵ ∠ADE = ∠BED,∴ AD∥BE,∴ ∠A = ∠B. 在 △ADC 和 △BCE 中, AC=BE ∠A= ∠B AD=BC { , ∴ △ADC ≌ △BCE(SAS) . ∴ CD = CE. ∵ CF 是∠DCE 的平 分线,∴ ∠DCF= ∠ECF. 在△DCF 和△ECF 中, DC=EC ∠DCF= ∠ECF CF=CF { ,∴ △DCF≌△ECF(SAS), ∴ ∠DFC= ∠EFC= 90°,∴ CF⊥DE. 13. 解:作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,连 接 OA, ∵ 点 O 是 ∠ABC, ∠ACB 的平分线的交点,∴ OE = OD,OF = OD, 即 OE = OF = OD = 2. ∴ S△ABC =S△ABO+S△BCO+S△ACO = 1 2 AB·OE+ 1 2 BC·OD+ 1 2 AC·OF = 1 2 ×2×(AB+ BC+AC)= 12. 追梦第十二章章末复习　 全等三角形 1. D 2. B　 【解析】由题可知∠B = 50°,∠CAE = 10°,∵ △ABE≌ △ACD,∴ ∠BAE = ∠CAD,∠B = ∠C = 50°,∴ ∠BAC = 80°. ∵ ∠BAE= ∠BAD+∠DAE,∠CAD = ∠CAE+∠DAE, ∴ ∠BAD= ∠CAE= 10°,∴ ∠CAD= ∠BAC-∠BAD = 80°- 10° = 70°. 故选 B. 3. A　 【解析】∵ △ABC≌△DEF,DF = 30cm,AB = 35cm,∴ DE=AB= 35cm,AC = DF = 30cm,BC = EF,∵ △ABC 的周 长为 100cm,∴ EF=BC= 100-35-30 = 35(cm) . 故选 A. 4. 解:(1)2tcm　 (8-at)cm (2)△BPQ 与△CDQ 能全等. 理由如下: ∵ ∠B= ∠C,∴ △BPQ 与△CDQ 全等存在两种 情况:①当△PBQ≌△QCD 时,PB=CQ,BQ=CD, ∴ 2t= 6,8-at= 8-2t,∴ a= 2,t= 3; ②当△PBQ≌△DCQ 时,PB=DC,BQ=CQ, ∴ 8-at= 6,2t= 8-2t,∴ a= 1,t= 2. 综上,△BPQ 与△CDQ 能全等,此时 a= 2,t= 3 或 a= 1,t= 2. 5. D 6. 84° 　 【解析】 ∵ AC 平分∠DCB,∴ ∠BCA = ∠DCA. 在 △ABC 和△ADC 中, CB=CD ∠BCA= ∠DCA AC=AC { ,∴ △ABC≌△ADC (SAS),∴ ∠B = ∠D,∴ ∠B + ∠ACB = ∠D + ∠ACD. ∵ ∠CAE = ∠D + ∠ACD = 48°, ∴ ∠B + ∠ACB = 48°, ∴ ∠BAE= 180° - ∠B - ∠ACB - ∠CAE = 180° - 48° - 48° = 84°. 7. 1<AD<5　 【解析】延长 AD 到 E,使 DE =AD,连接 BE. 在 △EBD 与△ACD 中, BD=CD ∠BDE= ∠ADC DE=AD { ,∴ △EBD≌△ACD (SAS),∴ BE=AC. ∵ AB= 6,AC= 4,∴ 2<AE<10,∴ 1<AD <5. 8. m+n-k　 【解析】∵ AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴ ∠AFB = ∠CED = 90°,∠A+∠D = 90°,∠C+∠D = 90°,∴ ∠A = ∠C. 在 △ABF 与 △CDE 中, ∠AFB= ∠CED= 90° ∠A= ∠C AB=CD { , ∴ △ABF≌△CDE(AAS),∴ AF=CE =m,BF =DE = n. ∵ EF = k,∴ AD=AF+DF=m+(n-k)= m+n-k. 9. (1)证明:∵ AC 平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD, ∴ CE = CF. ∵ ∠ABC + ∠D = 180°, ∠ABC + ∠EBC = 180°, ∴ ∠EBC = ∠D. 在 △CBE 与 —8—