专题05 全等三角形中动点与新定义型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题05 全等三角形中动点与新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 类型二、全等三角形动点中的最值问题 6 类型三、全等三角形中的动点综合问题 8 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 15 压轴能力测评（10题） 22 解题知识必备 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 2. 全等三角形的判定 压轴题型讲练 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【变式训练2】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等． 类型二、全等三角形动点中的最值问题 例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    【变式训练2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 类型三、全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． (1)试说明 的理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； (3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半： (2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【变式训练1】（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，点为线段上的一个动点，当最短时，的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 4．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 三、解答题 5．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，是的角平分线，且，，． (1)求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，使，．    (1)当点在线段上时，如图1，试说明：； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断与的位置关系，并说明理由． 7．（22-23八年级上·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，则______度； (2)如图，在中，，，是的角平分线．    ①试问：是“近直角三角形”吗？并说明理由． ②求的长度． 8．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 9．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若， 度； (2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形中动点与新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 类型二、全等三角形动点中的最值问题 6 类型三、全等三角形中的动点综合问题 8 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 15 压轴能力测评（10题） 22 解题知识必备 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 2. 全等三角形的判定 压轴题型讲练 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵于点A，于B， ∴． 设运动x分钟后与全等，由题意得：，，则． 分两种情况： ①若，则，，． 可知， ∴≌； ②若，则， 解得：，可知， 此时与不全等． 综上所述：运动后与全等． 故答案为：4． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 【变式训练2】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若， 根据证得， ，即， 若， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故答案为：1或7． 【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等． 【答案】秒或秒或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点在线段上，时，；当在上，时，；当在线段上，时；当在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：当点在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 当在线段上，时，此时在点未动，时间为秒，不符合题意； 当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 综上所述，当点经过秒或秒或秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等， 故答案为：秒或秒或． 类型二、全等三角形动点中的最值问题 例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，则当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．再根据三角形的面积公式求出的长，即可． 【详解】解：过点C作于点E，交于点M，过点M作于N， ∵平分，，， ∴， ∴， 即当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长． ∵的面积为12，最长边， ∴，即， ∴ 即的最小值为3． 故答案为：3． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，过P作于H，利用角平分线的性质定理得到即可，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解． 【详解】解：过P作于H，    ∵点P是的平分线上一点，于点B，，， ∴， ∵当时，的值最小，最小值为的长， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【变式训练2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 类型三、全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． (1)试说明 的理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； (3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 【答案】(1)理由见解析 (2)不改变， (3) 【分析】（1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等； （2）先证明，得到，，再计算出的值，再证明，最后根据三角形外角定理即可求得的大小； （3）证明是的角平分线，根据角平分线定理得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如下图所示，连接， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴大小不改变，且； （3）解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 【变式训练2】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半： (2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半，    ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半，    ∴， ∴， 综上所述，当为或时，的面积等于面积的一半． （2）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴， 解得； ②当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴， 解得； ③当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴， 解得； ∴Q运动的速度为或或或． 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 【变式训练1】（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，点为线段上的一个动点，当最短时，的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据“垂线段最短”可得，根据角平分线的性质得到，证明，求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵点E为线段上的一个动点，最短， ∴， 如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即，在上时最小．由是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论． 【详解】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，    ∵平分， ∴， ∵，， ∴，同理， ∴，，， ∴，即：，在上时最小． 是的角平分线， ， ∵， ，则， ． 故选C． 二、填空题 3．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】// 【分析】 本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知是的平分线，过点作交于点，再过点作交于点，此时有最小值． 【详解】解：点D到的距离等于的长， ∴是的平分线， 过点作交于点，再过点作交于点， ∴， ∵， ∴此时有最小值， ∵中，，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 三、解答题 5．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，是的角平分线，且，，． (1)求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出； 本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）∵点是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分，，， ∴． 6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，使，．    (1)当点在线段上时，如图1，试说明：； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据“”即可证明； （2）先根据“”证明，再根据全等三角形性质得出结论．可得出，则结论得证． 【详解】（1） 在与中 ． （2）    理由：由（1）得 在与中， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 7．（22-23八年级上·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，则______度； (2)如图，在中，，，是的角平分线．    ①试问：是“近直角三角形”吗？并说明理由． ②求的长度． 【答案】(1) (2)①是“近直角三角形”，理由见解析；② 【分析】（1）根据题意只存在这种情况，据此求解即可； （2）①根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，由此可得，则是“近直角三角形”；②如图所示，过点D作于E，由角平分线的性质得到，再由，求出，则． 【详解】（1）解：∵，且是“近直角三角形” ∴， ∵， ∴， ∴此时 ，符合题意； 故答案为：； （2）解：①是“近直角三角形”，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是“近直角三角形”；    ②如图所示，过点D作于E， ∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等等，熟知角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键． 8．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【答案】(1) (2) (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质，且即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵ ∴在上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 9．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若， 度； (2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 【答案】(1)90 (2)证明见解析 (3)不变，12 【分析】 对于（1），设，则，，根据互补四边形的定义得，即可求出各角的度数； 对于（2），过点D作，，再证明，可得，然后结合可得答案； 对于（3），延长至G，使，连接，可证明，可得，，进而得出，接着证明，可得，再连接，可证明，即可得出，，然后求出，再说明的周长等于，即可得出答案． 【详解】（1） 解：设，则，，根据题意，得， 即， 解得， 则， 所以． 故答案为：90； （2） 过点D作，交的延长线于点E，作，交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3） 不变， 延长至G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， ∴的周长等于． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，特殊角三角函数值，新定义的理解，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$