11.3 多边形及其内角和-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

11. 3　 多边形及其内角和 11. 3. 1　 多边形 多边形及其相关概念 1. (3 分)下列图形中不是 ∙∙ 多边形的是(　 　 ) A. B. C. D. 2. (3 分)过多边形的一个顶点可以引 2 022 条 对角线,则这个多边形的边数是(　 　 ) A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 3. (3 分)从一个 n 边形的同一个顶点出发,分别 连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边 形分割成 7 个三角形,则 n 的值是(　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 多边形的分类及正多边形 4. (3 分)下列说法正确的是(　 　 ) A. 每条边都相等的多边形是正多边形 B. 每个内角都相等的多边形是正多边形 C. 每条边都相等且每个内角都相等的多边形 是正多边形 D. 以上说法都对 5. (3 分)如图,把边长为 12 的正三角形纸板剪 去三个小正三角形,得到正六边形,则剪去的 小正三角形的边长为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. (3 分)(信阳期末)把一个正方形纸片按如图 所示的方法对折两次后剪去两个角,那么打 开以后的形状是(　 　 ) A. 六边形 B. 八边形 C. 十二边形 D. 十六边形 对凸多边形定义掌握不准确 7. (3 分)下列图中不是凸边形的是(　 　 ) A. B. C. D. 8. (3 分)(三门峡月考)把一个多边形纸片沿一 条直线截下一个三角形后,变成一个十八边 形,则原多边形纸片的边数不可能是(　 　 ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 9. (3 分)(许昌期中)一个 n 边形的边数与对角 线条数的和小于 20,且能被 5 整除,则 n 的值 为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 5 或 6 10. (8 分)如图,一个六边形的六个内角都是 120°,AB= 1,BC =CD = 3,DE = 2,求该六边形 的周长. (提示:三个角都相等的三角形是等 边三角形) 9 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 11. 3. 2　 多边形的内角和 多边形的内角和 1. (3 分)六边形的内角和是(　 　 ) A. 540°　 　 B. 720°　 　 C. 900°　 　 D. 1 080° 2. (3 分)(安阳月考)将一个 n 边形变成(n+1) 边形,内角和将(　 　 ) A. 减少 180° B. 增加 90° C. 增加 180° D. 增加 360° 3. ( 3 分) 若一个多边形的每个内角都等于 160°,则这个多边形的边数是　 　 　 　 . 4. (3 分)如图,在五边形 ABCDE 中,AE∥BC,∠E = 140°,∠C = 128°,则∠D= 　 　 　 　 . 5. (9 分)(河北中考改编)看对话答题: 小梅说:“这个多边形的内角和等于 1 125°. ” 小红说:“不对,你少加了一个角. ” 问题:(1)她们在求几边形的内角和? (2)少加的这个内角是多少度? 6. (8 分)已知一个多边形的边数为 n. (1)若 n= 5,求这个多边形的内角和. (2)若这个多边形的内角和的 1 4 比一个四边 形的内角和多 90°,求 n 的值. 多边形的外角和 7. (3 分)多边形的外角和等于(　 　 ) A. 180° B. 360° C. 720° D. (n-2) ×180° 8. (3 分) (开封期中) n 边形的每个外角都为 36°,则边数 n 为(　 　 ) A. 10 B. 14 C. 15 D. 16 9. (3 分)(山东一模改编)一个多边形的内角和 比外角和的 2 倍多 180°,则该多边形的对角 线的条数是(　 　 ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 10. (3 分)如图,五边形 ABCDE 中,AB∥CD,∠1, ∠2,∠3 分别是∠BAE,∠AED,∠EDC 的外 角,则∠1+∠2+∠3=(　 　 ) A. 90° B. 180° C. 120° D. 270° 01 11. (8 分)一个多边形的各个内角都相等,其中 一个外角等于与它相邻的内角的 2 3 ,求这个 多边形的边数. 在求多边形的边数时,用错公式 12. (3 分)若计算一个多边形的内角和时,粗心 的小明将其中一个内角没有加上去,而是加 上这个内角所对应的外角,这样计算出来的 结果是 600°,则小明计算的这个多边形的边 数为　 　 　 　 . 13. (3 分)如图,在五边形 ABCDE 中,∠A+∠B+ ∠E= 300°,DP,CP 分别平分∠EDC,∠BCD, 则∠P 的度数是(　 　 ) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 14. (3 分)(绵阳模拟改编)如图,在四边形 AB- CD 中,点 F 在 BC 的延长线上,∠ABC 的平 分线和∠DCF 的平分线交于点 E,若∠A + ∠D= 224°,则∠E= 　 　 　 　 . 15. (9 分)【注重类比探究】(教材 P25 习题 9 变 式)如果一个多边形的各边都相等,且各内 角也都相等,那么这个多边形就叫做正多边 形. 如图是一组正 n 边形(n>4),观察每个正 多边形中∠α 的变化情况,解答下列问题. (1)将下面的表格补充完整: 正多边形 的边数 5 6 7 8 … n ∠α … (2)根据规律,是否存在一个正 n 边形,使其 中的∠α = 108°? 若存在,求出 n 的值; 若不存在,请说明理由; (3)根据规律,是否存在一个正 n 边形,使其 中的∠α = 130°? 若存在,直接写出 n 的 值;若不存在,请说明理由. 16. (3 分)(唐山一模)如图,五边 形 ABCDE 是正五边形,若 l1∥ l2,则∠1-∠2 = 　 　 　 . 11 8. B　 【解析】∵ 直角三角形两个锐角和是 90°,两个锐角 的差为 22°,设较小的一个锐角为 x,则另一个锐角为 x+ 22°,∴ x+x+22° = 90°,解得 x= 34°. 故选 B. 9. C 10. (1)解:∵ CD⊥AB,∴ ∠DCB+∠B= 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠CAB+∠B= 90°, ∴ ∠CAB= ∠DCB= 50°. ∵ AE 平分∠CAB,∴ ∠CAE= 1 2 ∠CAB= 25°, ∴ ∠CEF= 90°-∠CAE= 65°; (2)证明:∵ AE 平分∠CAB,∴ ∠BAE= ∠CAE. ∵ ∠CAE+∠CEF= 90°,∠BAE+∠AFD= 90°, ∴ ∠CEF= ∠AFD. ∵ ∠CFE= ∠AFD,∴ ∠CEF= ∠CFE. 11. 解:①如图 1,∵ BD 为 AC 边上的高,∴ ∠ADB = 90°, ∵ ∠ABD= 30°, ∴ ∠A = 60°, ∵ ∠ABC = ∠C, ∴ ∠C= 180° -60° 2 = 60°. ②如图 2,∵ BD 为 AC 边上的高,∴ ∠ADB = 90°, ∵ ∠ABD= 30°,∴ ∠BAD = 60°,∴ ∠BAC = 180°- 60° = 120°. ∵ ∠ABC = ∠C,∴ ∠C = 30°. 综上所 述,∠C 的度数为 60°或 30°. 12. 25°　 【解析】∵ ∠CAB = 90°,AD 是∠CAB 的平分线,∴ ∠CAD= ∠BAD= 1 2 ∠CAB= 45°. ∵ CE⊥AD,∴ ∠ECA= 90°-∠CAE= 45°. ∵ ∠BCA= 90°-∠B = 20°,∴ ∠ECD = ∠ACE-∠BCA= 25°. 13. 135° 　 【解析】∵ ∠C = 90°,∴ ∠CAB+∠CBA = 90°. ∵ AD 平分∠CAB,EB 平分∠ABC,∴ ∠FAB = 1 2 ∠CAB, ∠FBA = 1 2 ∠CBA, ∴ ∠FAB + ∠FBA = 1 2 ( ∠CAB + ∠CBA)= 45°,∴ ∠AFB= 180°-45° = 135°. 14. 解:(1)140　 90　 50　 (2)35 (3)∠ABD+∠ACD 与∠A 之间的数量关系为: ∠ABD+∠ACD= 90°-∠A. 证明如下: 在△ABC 中,∠ABC+∠ACB= 180°-∠A. 在△DBC 中,∠DBC+∠DCB= 90°. ∴ ∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB) = 180°-∠A-90°. ∴ ∠ABD+∠ACD= 90°-∠A. 15. C　 【解析】①设三角形底角为 α,顶角为 2α,则 α+α+ 2α= 180°,解得 α = 45°. ②设三角形的底角为 2α,顶角 为 α,则 2α+2α+α= 180°,解得 α= 36°,∴ 2α= 72°,∴ 三 角形的“可爱角”应该是 45°或 72°. 故选 C. 11. 2. 2　 三角形的外角 1. D　 2. C　 3. C　 4. A　 5. D 6. 105°　 【解析】∵ ∠ABC = ∠C = 70°,BD 平分∠ABC,∴ ∠DBC = 1 2 ∠ABC = 35°,∴ ∠ADB = ∠C+∠DBC = 70°+ 35° = 105°. 7. 120° 8. 证明:∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠BAD+∠DAC= 90°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠C+∠DAC= 90°, ∴ ∠BAD= ∠C. ∵ ∠BED= ∠BAD+∠ABE,∴ ∠BED>∠BAD, ∴ ∠BED>∠C. 9. 证明:∵ ∠ACD= ∠A+∠ABC,CE 平分∠ACD, ∴ ∠3 = ∠4 = 1 2 (∠A+∠ABC), 又∵ ∠4 = ∠E+∠2, ∴ ∠E+∠2 = 1 2 (∠A+∠ABC), ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠2 = 1 2 ∠ABC, ∴ 1 2 ∠ABC+∠E= 1 2 (∠A+∠ABC), ∴ ∠E= 1 2 ∠A. 10. D 11. D　 【解析】∵ ∠B= 30°,∠ADC = 70°,∴ ∠BAD = ∠ADC -∠B = 70° - 30° = 40°. ∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠BAC = 2∠BAD= 80°. 故选 D. 12. A 　 【解析】延长 BO 交 AC 于点 D,∵ ∠BOC = ∠C + ∠ODC,∠ODC= ∠A+∠B,∠A = 70°,∠B = 40°,∠C = 20°,∴ ∠BOC= ∠C+∠A+∠B= 20°+70°+40° = 130°. 故 选 A. 13. B 14. 30°　 【解析】∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠ACB = 2∠ACD. ∵ AF 平分∠EAC,∴ ∠EAC = 2 ∠FAC. ∵ ∠FAC = ∠D + ∠ACD,∴ ∠EAC = 2 ∠D + ∠ACB. ∵ ∠EAC = ∠B + ∠ACB,∴ ∠B= 2∠D. ∵ ∠B= 60°,∴ ∠D= 30°. 15. 100°　 【解析】∵ DE⊥AB,∠B= 50°,∴ ∠D = 90°-50° = 40°,∵ ∠CFD = 60°,∴ ∠ACB = ∠D+∠CFD = 40°+ 60° = 100°. 16. 50° 17. 解: ( 1) ∵ ∠ADC 是△ABD 的外角, ∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 105°, ∵ ∠AED 是 △CDE 的外 角, ∴ ∠AED= ∠C+∠EDC,∵ ∠B = ∠C,∠ADE = ∠AED,∴ ∠ADC-∠EDC= 105°-∠EDC = 45°+ ∠EDC,∴ ∠CDE= 30°; (2)∠CDE= 1 2 ∠BAD,理由:∵ ∠ADC 是△ABD 的 外角, ∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD, ∵ ∠AED 是 △CDE 的外角,∴ ∠AED = ∠C+∠CDE,∵ ∠B =∠C,∠ADE= ∠AED,∴ ∠ADC-∠CDE = 45°+ ∠BAD - ∠CDE = 45° + ∠CDE, ∴ ∠CDE = 1 2 ∠BAD. 18. A 11. 3　 多边形及其内角和 11. 3. 1　 多边形 1. C 2. D　 【解析】设多边形有 n 条边,则 n-3 = 2 022,解得 n = 2 025. 故选 D. 3. D　 4. C　 5. D　 6. C　 7. A　 8. A 9. D　 【解析】设多边形有 n 条边,则 n+n(n -3) 2 <20,当 n= 4 时,4+ 4 2 = 6<20,不能被 5 整除;当 n= 5 时,5+5 ×2 2 = 10 <20,能被 5 整除;当 n = 6 时,6+ 6 ×3 2 = 15<20,能被 5 整 —2— 除,∴ n= 5 或 6. 故选 D. 10. 解:如图,延长并反向延长 BC,AF, DE,∵ 六边形 ABCDEF 的每个 内角都是 120°, ∴ ∠G = ∠H = ∠P = 60°, ∴ △GHP, △CPD, △GAB,△HFE 是等边三角形, ∴ AG=AB= 1,FE=FH,∴ 六边形 ABCDEF 的周长 = GH+BC+CD+DE= (1+3+3)+3+3+2 = 15. 11. 3. 2　 多边形的内角和 1. B　 2. C 3. 十八　 【解析】180°×(n-2)= 160°n,解得 n= 18. 4. 92°　 【解析】∵ AE∥BC,∴ ∠A+∠B = 180°,∵ 五边形内 角和=(5-2)×180° = 540°,∴ ∠D = 540°-∠A-∠B-∠C -∠E= 92°. 5. 解:(1)设少加这个内角为 x,这个多边形的边数为 n,则 1 125°+ x = ( n - 2) × 180°, x = ( n - 2) × 180° - 1 125°,∵ 0<x<180°,∴ 0<(n-2) ×180°-1 125°< 180°,解得 8. 25<n<9. 25,∵ n 为整数,∴ n= 9. (2)x= (9-2)×180° -1 125° = 135°,∴ 少加这个内角 为 135 度. 6. 解:(1)当 n= 5 时,(5-2)×180° = 540°. ∴ 这个多边形的 内角和为 540°. (2)由题意得, 1 4 ×(n-2) ×180°-360° = 90°,解得 n= 12,∴ n 的值为 12. 7. B　 8. A　 9. C 10. B 　 【解析】 如图, ∵ AB∥CD, ∴ ∠ABC+∠BCD= 180°,∴ ∠4+∠5 = 180°,根据多边形的外角和定理,有 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°, ∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 360° - 180° = 180°. 故选 B. 11. 解:设这个多边形的一个内角为 x,则外角为 2 3 x. 根据 题意得 x+ 2 3 x= 180°,解得 x= 108°, 2 3 x= 72°,360°÷ 72° = 5,故这个多边形的边数是 5. 12. 5 或 6　 【解析】设多边形的边数为 n,多加的外角的度 数为 α,少加的内角的度数为 180°-α,则(n-2)·180° = 600°-α+ 180° -α,解得 α = 570° - 90°·n,∵ 0° <α< 180°,∴ 13 3 <n<19 3 ,∵ n 只能为整数,∴ n= 5 或 6. 13. C 　 【解析】 ∵ 在五边形 ABCDE 中,∠A+ ∠B+ ∠E = 300°,∴ ∠EDC+ ∠BCD = 240°,又∵ DP、CP 分别平分 ∠EDC、∠BCD,∴ ∠PDC + ∠PCD = 120°,∴ 在 △CDP 中,∠P= 180°-(∠PDC+∠PCD)= 180°-120° = 60°. 故 选 C. 14. 22°　 【解析】如图,∵ ∠A+∠D = 224°,∠A+∠ABC+∠3+∠D= 360°, ∴ ∠ABC + ∠3 = 360° - 224° = 136°,∵ BE 平分∠ABC, CE 平 分 ∠DCF, ∴ ∠ABC = 2∠1,∠DCF= 2∠2,∴ 2∠1+∠3 = 136°,∵ ∠3+∠DCF = 180°,∴ 2∠2+∠3 = 180°,∴ 2(∠2-∠1)= 180°-136° = 44°,∴ ∠2-∠1 = 22°. ∵ ∠2 = ∠1+∠E,∴ ∠E = ∠2- ∠1 = 22°. 15. 解:(1)36°　 60°　 540° 7 　 90°　 180°-720° n (2)存在. 由(1)得∠α= 180°-720° n , ∴ 108° = 180°-720° n ,解得 n= 10; (3)不存在. 理由如下: 由(1)得 130° = 180°-720° n ,解得 n= 14. 4. ∵ n 为正整数,∴ 不存在一个正 n 边形,使其中 的∠α= 130°. 16. 72°　 【解析】如图:过点 B 作 l1, l2 的平行线 l3,则 l1∥l2∥l3 . ∴ ∠3 = ∠2,∠4+∠1 = 180°①,∵ 五边 形 ABCDE 是正五边形,∴ ∠ABC = 108°,∴ ∠3 + ∠4 = ∠4 + ∠2 = 108°②,①-②得∠1-∠2 = 72°. 追梦第十一章章末复习　 三角形 1. B 2. B　 【解析】①根据三角形的角平分线的概念,知 AD 是 △ABC 的角平分线,故此说法不正确;②根据三角形的 中线的概念,知 BG 是△ABD 的边 AD 上的中线,故此说 法不正确;③根据三角形的高的概念,知 CH 为△ACD 的 边 AD 上的高,故此说法正确;④根据三角形的角平分线 和高的概念,知 AH 是△ACF 的角平分线和高,故此说法 正确. 故选 B. 3. D　 【解析】设三角形的三边长分别为 2xcm,3xcm,4xcm, 由题意,得周长为 2x+3x+4x= 9x(cm),①若 2x = 12,得 x = 6,则周长 9x= 54. ②若 3x= 12,得 x= 4,则周长 9x= 36. ③若 4x= 12,得 x= 3,则周长 9x= 27. 综上,三角形的周长 可能为 54cm 或 36cm 或 27cm. 故选 D. 4. 2b　 【解析】∵ a、b、c 分别为△ABC 的三边长,∴ a+b-c> 0,b-a+c>0,∴ | a+b-c | + | b-a+c | =a+b-c+b-a+c= 2b. 5. ③ 6. 解:在△ABC 中,BC 为底边,则 ①AB+AD= 6cm,BC+CD= 15cm. ∵ AD=DC,AB=AC,∴ 2AD+AD= 6cm. ∴ AD= 2cm. ∴ AB= 4cm,BC= 13cm. ∵ AB+AC<BC,∴ 不能构成三角形,故舍去. ②AB+AD= 15cm,BC+CD= 6cm. 同理得 AB= 10cm,BC= 1cm. ∵ AB+AC>BC,AB-AC<BC, ∴ 能构成三角形. 故这个等腰三角形各边的长为 10cm,10cm,1cm. 7. D　 【解析】∵ ∠B = ∠A+ 25°,∠C = ∠B+ 25°,∴ ∠B = ∠C-25°,∠A = ∠B- 25° = ∠C- 25°- 25° = ∠C- 50°. ∵ ∠A+∠B+∠C= 180°,∴ ∠C-50°+∠C-25°+∠C = 180°, ∴ ∠C= 85°. 故选 D. 8. B 9. B　 【解析】∵ ∠B = 40°,∠C = 70°,∴ ∠BAC = 180°-∠B -∠C= 180°-40°-70° = 70°. ∵ AE 是角平分线,∴ ∠BAE = 35°. ∵ AD 是高,∴ ∠BAD = 90°-∠B = 90°- 40° = 50°, ∴ ∠EAD= ∠BAD-∠BAE= 50°-35° = 15°. 故选 B. 10. B 　 【解析】 ∵ AB∥CF, ∴ ∠ABC = ∠BCD = 30°, ∵ ∠EDF 为△DBC 的外角,∴ ∠DBC = ∠EDF-∠BCD = 15°. 故选 B. 11. 120° 12. 解:∵ AD⊥BE,∴ ∠ADC= 90°. ∵ ∠DAC= 10°, ∴ ∠ACB= 90°-∠DAC= 90°-10° = 80°. —3—