11.2 与三角形有关的角-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

11. 2　 与三角形有关的角 11. 2. 1　 三角形的内角 三角形内角和定理 1. (3 分)△ABC 中,∠A = 60°,∠B = 80°,则∠C 的度数为(　 　 ) A. 80°　 　 B. 40°　 　 C. 60°　 　 D. 50° 2. ( 3 分) 如图,在 △ABC 中, ∠C = ∠ABC = 2 ∠A, BD 是边 AC 上的 高,则∠DBC 的度数是(　 　 ) A. 36° B. 26° C. 18° D. 16° 3. (3 分) (四川中考改编) 在△ABC 中, ∠A、 ∠B、∠C 的度数之比为 2 ∶3 ∶4,则∠B 的度数 为　 　 　 　 . 4. (3 分)点 O 在△ABC 的内部,连接 OA、OB、 OC,OB 平分∠ABC,OC 平分∠BCA,若∠ABC = 60°,∠BCA= 50°,则∠BAO= 　 　 　 . 5. (7 分)(重庆模拟改编)在△ABC 中,∠A+35° = ∠B,∠C = ∠B- 25°,求△ABC 的各个内角 的度数. 直角三角形的性质和判定 6. (3 分)已知△ABC 中,∠A = ∠B+∠C,则三角 形 ABC 的形状是(　 　 ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 7. (3 分)如图,BD 平分∠ABC,CD⊥BD,点 D 为 垂足,∠C= 55°,则∠ABC 的度数是(　 　 ) A. 35° B. 55° C. 60° D. 70° 第 7 题图 　 　 　 第 9 题图 8. (3 分)若直角三角形中的两个锐角之差为 22°,则较小的一个锐角的度数是(　 　 ) A. 24° B. 34° C. 44° D. 46° 9. (3 分) (濮阳期中)如图,将直角三角形 ABC 折叠,使点 A 与点 B 重合,折痕为 DE,若∠C= 90°,∠A= 35°,则∠DBC 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 10. (10 分)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AE 平分∠CAB,CD⊥AB,AE、CD 相交于点 F. (1)若∠DCB= 50°,求∠CEF 的度数; (2)求证:∠CEF= ∠CFE. 5 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 对三角形的类型考虑不全而漏解 11. (10 分)在△ABC 中,∠ABC = ∠C,BD 是 AC 边上的高, ∠ABD = 30°, 则 ∠C 的度数是 多少? 12. (3 分)(湖南中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB =90°,∠ABC = 70°,AF 平分∠CAB,交 BC 于点 D.过点 C 作 CE⊥AF 于点 E,则∠ECD 的度数 为　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13. (3 分)如图,小明在计算机上用“几何画板”画 了一个 Rt△ABC,∠C= 90°,并画出了两锐角的 角平分线 AD,BE 及其交点 F. 小明发现,无论 怎样变动 Rt△ABC 的形状和大小,∠AFB 的度 数是定值,这个定值为　 　 　 　 . 14. (10 分) (张家口一模)如图所示,有一块直 角三角板 DEF(足够大),其中∠EDF = 90°, 把直角三角板 DEF 放置在锐角△ABC 上,三 角板 DEF 的两边 DE、 DF 恰好分别经过 B、C. (1)若∠A=40°,则∠ABC+∠ACB= 　 　 　 　 °, ∠DBC+∠DCB=　 　 　 　 °,∠ABD+∠ACD =　 　 　 　 °; (2)若∠A=55°,则∠ABD+∠ACD=　 　 　 　 °; (3)请你猜想一下∠ABD+ ∠ACD 与∠A 所 满足的数量关系并给出证明. 15. (3 分)(长春一模)若△ABC 中刚好有∠B = 2∠C,则称此三角形为“可爱三角形”,并且 ∠A 称作“可爱角” . 现有一个“可爱且等腰 的三角形”,那么聪明的同学们知道这个三 角形的“可爱角”应该是(　 　 ) A. 45°或 36° B. 72°或 36° C. 45°或 72° D. 45°或 36°或 72° 6 11. 2. 2　 三角形的外角　 三角形的外角 1. (3 分)下列各图中,∠1 是△ABC 的外角的是 (　 　 ) A. 　 　 　 　 　 　 B. C. D. 2. (3 分)如图,在三角形 ABC 中,∠A= 80°,点 D 在 BC 的延长线上,∠ACD= 145°,则∠B 是 (　 　 ) A. 45°　 　 B. 55°　 　 C. 65°　 　 D. 75° 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. (3 分) (信阳期中)如图,∠ACD 是△ABC 的 外角,CE 平分∠ACD,若∠A = 60°,∠B = 40°, 则∠ECD 等于(　 　 ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 4. (3 分) (江苏中考)一副三角板,如图所示叠 放在一起,则图中∠α 的度数是(　 　 ) A. 75° B. 60° C. 65° D. 55° 第 4 题图 　 　 　 　 第 6 题图 5. (3 分)若△ABC 的一个外角等于其中一个内 角,则(　 　 ) A. 必有一个内角等于 30° B. 必有一个内角等于 45° C. 必有一个内角等于 60° D. 必有一个内角等于 90° 6. (3 分)如图,△ABC 中,∠ABC = ∠C = 70°,BD 平分∠ABC,则∠ADB 的度数是　 　 　 　 . 7. (3 分)在一个三角形中,如果一个内角是其相邻 外角的 2 倍,那么这个内角的度数是　 　 　 　 . 8. (7 分)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AD⊥ BC 于点 D,点 E 是 AD 上一点. 求证:∠BED>∠C. 9. (8 分) (教材 P17 习题 11 变式)如图,∠ACD 是△ABC 的外角, BE 平分 ∠ABC, CE 平分 ∠ACD,且 BE、CE 交于点 E,求证:∠E= 1 2 ∠A. 7 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 对三角形外角的概念理解不正确致错 10. (3 分)如图,四边形 ABCD 中 AC,BD 交于点 O,E 是 BC 边上一点,连接 AE,OE,则下列选 项中是△AEO 的外角的是(　 　 ) A. ∠AEB 　 　 B. ∠AOD C. ∠OEC 　 　 D. ∠EOC 11. (3 分)如图所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC 交 BC 于 点 D, ∠B = 30°, ∠ADC = 70°, 则 ∠BAC 的度数是(　 　 ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. (3 分) (新乡期中) 如图, ∠A = 70°, ∠B = 40°,∠C= 20°,则∠BOC= (　 　 ) A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 13. (3 分)如图,在△ABC 中,直线 DE 分别交 AB、 AC 于点 D、E,DE∥BC,∠1 = 105°,∠B = 65°,则 ∠A 的度数是(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 14. (3 分)如图,在△ABC 中,∠ACB 的平分线 CD 与外角∠EAC 的平分线 AF 所在的直线 交于点 D,若∠B= 60°,∠D= 　 　 　 　 . 15. (3 分)如图,点 D 在△ABC 边 BC 的延长线 上,DE⊥AB 于点 E,交 AC 于点 F,∠B= 50°, ∠CFD= 60°,则∠ACB= 　 　 　 　 . 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 16. (3 分)如图,∠1 = ∠2,且∠BAC = 70°,∠BED = 60°,则∠ABC=　 　 　 　 . 17. (10 分) (山东二模)如图,在△ABC 中,∠B = ∠C= 45°,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边 上,∠ADE= ∠AED. (1)当∠BAD= 60°时,求∠CDE 的度数; (2)当点 D 在 BC 边(点 B,C 除外) 上运动 时,试写出∠BAD 与∠CDE 的数量关系, 并说明理由. 18. (3 分)(聊城中考)如图,将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠,使点 A 落在△ABC 外的点 A′处,折痕为 DE. 如果∠A = α, ∠CEA′ = β, ∠BDA′=γ,那么下列式子中正确的是(　 　 ) A. γ= 2α+β B. γ=α+2β C. γ=α+β D. γ= 180°-α-β 8 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第十一章 　 三角形 11. 1　 与三角形有关的线段 11. 1. 1　 三角形的边 1. C 2. (1)3　 6　 10　 (2)(n +1)(n+2) 2 3. D　 【解析】A. 3+4<8,不能组成三角形;B. 8+7 = 15,不能 组成三角形;C. 5+5<11,不能组成三角形;D. 11+12>13, 能组成三角形. 故选 D. 4. C　 5. 16 或 18　 6. 22 7. B　 【解析】设∠A = x,则∠B = 2x,∠C = 3x,∴ x+2x+3x = 180°,解得 x= 30°. ∴ ∠C = 3x = 90°,∴ 此三角形是直角 三角形. 故选 B. 8. 5　 【解析】设最大的边为 x,则另一边为 11-4-x,根据三 边关系,得 x-(7-x)<4,解得 x<11 2 ,∴ x 最大取 5. 9. 解:∵ (b-5) 2 + | c-7 | = 0, ∴ b-5 = 0,c-7 = 0,解得 b= 5,c= 7. ∵ a 为方程 | a-3 | = 2 的解, ∴ a-3 = ±2,解得 a= 5 或 1. ∵ a、b、c 为△ABC 的三边长, 当 a= 1,b= 5,c= 7 时,1+5<7, ∴ a= 1 不合题意,舍去, 当 a= 5,b= 5,c= 7 时,为等腰三角形, 周长为 5+5+7 = 17. 11. 1. 2　 三角形的高、中线与角平分线 1. D　 2. C　 3. B 4. 解: ( 1) 由题意得 S△ABC = 1 2 AB·CE = 1 2 × 6 × 9 = 27 (cm2 ). (2)∵ S△ABC = 1 2 ×12·AD,解得 AD= 4. 5cm. 5. D 6. D　 【解析】∵ AD 是△ABC 中 BC 边上的中线,∴ BD =DC = 1 2 BC,∴ △ABD 和△ADC 的周长的差 = (AB+ 1 2 BC+ AD)-(AC+ 1 2 BC+AD)= AB-AC= 5-3 = 2(cm) . 故选 D. 7. 6 8. 8　 【解析】∵ AD 是 BC 上的中线,∴ S△ABD = S△ACD = 1 2 S△ABC . ∵ CE 是△ACD 中 AD 边上的中线,∴ S△ACE = S△CDE = 1 2 S△ACD,∴ S△CDE = 1 4 S△ABC,即 S△ABC = 4S△CDE . ∵ △CDE 的面积是 2,∴ S△ABC = 4×2 = 8. 9. C　 【解析】∵ ∠A= 54°,∠B= 48°,∴ ∠ACB = 180°-54°- 48° = 78°. ∵ CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,∴ ∠DCB= 78° ÷2 = 39°,∵ DE∥BC,∴ ∠CDE= ∠DCB= 39°. 故选 C. 10. 40 11. 解:当高 AD 在△ABC 的内部时, ∵ ∠BAD= 60°,∠CAD= 30°, ∴ ∠BAC= ∠BAD+∠CAD= 90°; 当高 AD 在△ABC 的外部时, ∠BAC= ∠BAD-∠CAD= 60°-30° = 30°. 综上,∠BAC 的度数为 90°或 30°. 12. C　 13. B 14. A　 【解析】连接 BC,∵ ∠BDC = 130°,∴ ∠DBC+∠DCB = 180°-130° = 50°,∵ ∠BGC = 100°,∴ ∠GBC+∠GCB = 180°- 100° = 80°, ∵ BF 是 ∠ABD 的 平 分 线, CE 是 ∠ACD 的平 分 线, ∴ ∠GBD + ∠GCD = 1 2 ∠ABD + 1 2 ∠ACD= 30°,∴ ∠ABC + ∠ACB = 110°,∴ ∠A = 180° - 110° = 70°. 故选 A. 15. 解:(1)DO 是△EDF 的角平分线,理由如下: 由 DE∥AB,得∠EDA= ∠DAF, 由 DF∥AC,得∠EAD= ∠ADF, 又∵ AD 是△ABC 的角平分线, ∴ ∠EAD= ∠DAF,∴ ∠EDA= ∠ADF, ∴ DO 是△EDF 的角平分线. (2)DF∥AC. 理由如下: 由 DE∥AB,得∠EDA= ∠DAF. 由 DO 是△EDF 的角平分线, 得∠EDA= ∠ADF,∴ ∠DAF= ∠ADF. 又∵ AD 是△ABC 的角平分线, ∴ ∠CAD= ∠DAF, ∴ ∠CAD= ∠ADF,∴ DF∥AC. 16. 解:(1)三角形 BDE 的周长=BE+BD+DE,四边形 ACDE 的周长=AE+AC+DC+DE,∵ D 为 BC 中点,∴ BD=DC,∴ BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE,即 BE =AE+AC,∵ AB= 10cm,AC= 6cm,∴ 10-AE=AE+ 6,∴ AE= 2cm. (2)由三角形 ABC 的周长被 DE 分成的两部分的差 是 2cm,可得方程①BE = AE+AC+2 或②BE = AE +AC- 2. 解①得 AE = 1cm,解②得 AE = 3cm. 故 AE 长为 1cm 或 3cm. 11. 1. 3　 三角形的稳定性 1. A 2. D　 【解析】D. E,F 不能与 A,B,C,D 中的任意点构成三 角形,不能固定形状. 故选 D. 3. 稳定性 4. 三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性 5. D　 6. D　 7. C 8. 解:如图所示,四边形木架至少要再钉上 1 根木条,五边 形木架至少需要再钉上 2 根木条,六边形木架至少 需要再钉上 3 根木条. (画法不唯一) 11. 2　 与三角形有关的角 11. 2. 1　 三角形的内角 1. B　 2. C　 3. 60° 4. 35° 　 【解析】 ∵ ∠ABC = 60°,∠BCA = 50°,∴ ∠BAC = 180°-60°-50° = 70°,∵ OB 平分∠ABC,OC 平分∠BCA, ∴ OA 平分∠BAC,∴ ∠BAO= 1 2 ∠BAC= 35°. 5. 解:∵ ∠A+35° = ∠B,∴ ∠A = ∠B-35°,又∵ ∠C = ∠B- 25°,∠A+ ∠B+ ∠C = 180°,∴ ∠B- 35° + ∠B+ ∠B- 25° = 180°,∴ ∠B= 80°,∴ ∠A= 45°,∠C= 55°. 6. A　 7. D —1— 8. B　 【解析】∵ 直角三角形两个锐角和是 90°,两个锐角 的差为 22°,设较小的一个锐角为 x,则另一个锐角为 x+ 22°,∴ x+x+22° = 90°,解得 x= 34°. 故选 B. 9. C 10. (1)解:∵ CD⊥AB,∴ ∠DCB+∠B= 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠CAB+∠B= 90°, ∴ ∠CAB= ∠DCB= 50°. ∵ AE 平分∠CAB,∴ ∠CAE= 1 2 ∠CAB= 25°, ∴ ∠CEF= 90°-∠CAE= 65°; (2)证明:∵ AE 平分∠CAB,∴ ∠BAE= ∠CAE. ∵ ∠CAE+∠CEF= 90°,∠BAE+∠AFD= 90°, ∴ ∠CEF= ∠AFD. ∵ ∠CFE= ∠AFD,∴ ∠CEF= ∠CFE. 11. 解:①如图 1,∵ BD 为 AC 边上的高,∴ ∠ADB = 90°, ∵ ∠ABD= 30°, ∴ ∠A = 60°, ∵ ∠ABC = ∠C, ∴ ∠C= 180° -60° 2 = 60°. ②如图 2,∵ BD 为 AC 边上的高,∴ ∠ADB = 90°, ∵ ∠ABD= 30°,∴ ∠BAD = 60°,∴ ∠BAC = 180°- 60° = 120°. ∵ ∠ABC = ∠C,∴ ∠C = 30°. 综上所 述,∠C 的度数为 60°或 30°. 12. 25°　 【解析】∵ ∠CAB = 90°,AD 是∠CAB 的平分线,∴ ∠CAD= ∠BAD= 1 2 ∠CAB= 45°. ∵ CE⊥AD,∴ ∠ECA= 90°-∠CAE= 45°. ∵ ∠BCA= 90°-∠B = 20°,∴ ∠ECD = ∠ACE-∠BCA= 25°. 13. 135° 　 【解析】∵ ∠C = 90°,∴ ∠CAB+∠CBA = 90°. ∵ AD 平分∠CAB,EB 平分∠ABC,∴ ∠FAB = 1 2 ∠CAB, ∠FBA = 1 2 ∠CBA, ∴ ∠FAB + ∠FBA = 1 2 ( ∠CAB + ∠CBA)= 45°,∴ ∠AFB= 180°-45° = 135°. 14. 解:(1)140　 90　 50　 (2)35 (3)∠ABD+∠ACD 与∠A 之间的数量关系为: ∠ABD+∠ACD= 90°-∠A. 证明如下: 在△ABC 中,∠ABC+∠ACB= 180°-∠A. 在△DBC 中,∠DBC+∠DCB= 90°. ∴ ∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB) = 180°-∠A-90°. ∴ ∠ABD+∠ACD= 90°-∠A. 15. C　 【解析】①设三角形底角为 α,顶角为 2α,则 α+α+ 2α= 180°,解得 α = 45°. ②设三角形的底角为 2α,顶角 为 α,则 2α+2α+α= 180°,解得 α= 36°,∴ 2α= 72°,∴ 三 角形的“可爱角”应该是 45°或 72°. 故选 C. 11. 2. 2　 三角形的外角 1. D　 2. C　 3. C　 4. A　 5. D 6. 105°　 【解析】∵ ∠ABC = ∠C = 70°,BD 平分∠ABC,∴ ∠DBC = 1 2 ∠ABC = 35°,∴ ∠ADB = ∠C+∠DBC = 70°+ 35° = 105°. 7. 120° 8. 证明:∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠BAD+∠DAC= 90°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠C+∠DAC= 90°, ∴ ∠BAD= ∠C. ∵ ∠BED= ∠BAD+∠ABE,∴ ∠BED>∠BAD, ∴ ∠BED>∠C. 9. 证明:∵ ∠ACD= ∠A+∠ABC,CE 平分∠ACD, ∴ ∠3 = ∠4 = 1 2 (∠A+∠ABC), 又∵ ∠4 = ∠E+∠2, ∴ ∠E+∠2 = 1 2 (∠A+∠ABC), ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠2 = 1 2 ∠ABC, ∴ 1 2 ∠ABC+∠E= 1 2 (∠A+∠ABC), ∴ ∠E= 1 2 ∠A. 10. D 11. D　 【解析】∵ ∠B= 30°,∠ADC = 70°,∴ ∠BAD = ∠ADC -∠B = 70° - 30° = 40°. ∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠BAC = 2∠BAD= 80°. 故选 D. 12. A 　 【解析】延长 BO 交 AC 于点 D,∵ ∠BOC = ∠C + ∠ODC,∠ODC= ∠A+∠B,∠A = 70°,∠B = 40°,∠C = 20°,∴ ∠BOC= ∠C+∠A+∠B= 20°+70°+40° = 130°. 故 选 A. 13. B 14. 30°　 【解析】∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠ACB = 2∠ACD. ∵ AF 平分∠EAC,∴ ∠EAC = 2 ∠FAC. ∵ ∠FAC = ∠D + ∠ACD,∴ ∠EAC = 2 ∠D + ∠ACB. ∵ ∠EAC = ∠B + ∠ACB,∴ ∠B= 2∠D. ∵ ∠B= 60°,∴ ∠D= 30°. 15. 100°　 【解析】∵ DE⊥AB,∠B= 50°,∴ ∠D = 90°-50° = 40°,∵ ∠CFD = 60°,∴ ∠ACB = ∠D+∠CFD = 40°+ 60° = 100°. 16. 50° 17. 解: ( 1) ∵ ∠ADC 是△ABD 的外角, ∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 105°, ∵ ∠AED 是 △CDE 的外 角, ∴ ∠AED= ∠C+∠EDC,∵ ∠B = ∠C,∠ADE = ∠AED,∴ ∠ADC-∠EDC= 105°-∠EDC = 45°+ ∠EDC,∴ ∠CDE= 30°; (2)∠CDE= 1 2 ∠BAD,理由:∵ ∠ADC 是△ABD 的 外角, ∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD, ∵ ∠AED 是 △CDE 的外角,∴ ∠AED = ∠C+∠CDE,∵ ∠B =∠C,∠ADE= ∠AED,∴ ∠ADC-∠CDE = 45°+ ∠BAD - ∠CDE = 45° + ∠CDE, ∴ ∠CDE = 1 2 ∠BAD. 18. A 11. 3　 多边形及其内角和 11. 3. 1　 多边形 1. C 2. D　 【解析】设多边形有 n 条边,则 n-3 = 2 022,解得 n = 2 025. 故选 D. 3. D　 4. C　 5. D　 6. C　 7. A　 8. A 9. D　 【解析】设多边形有 n 条边,则 n+n(n -3) 2 <20,当 n= 4 时,4+ 4 2 = 6<20,不能被 5 整除;当 n= 5 时,5+5 ×2 2 = 10 <20,能被 5 整除;当 n = 6 时,6+ 6 ×3 2 = 15<20,能被 5 整 —2—