8 图形的位似(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点坐标分别 为 A （ -2 ， 1 ）， B （ -1 ， 4 ）， C （ -3 ， 2 ） . （ 1 ） 画 出 △ ABC 关于 y 轴对称的图形 △A 1 B 1 C 1 ， 并直接写出 C 1 点坐标 . （ 2 ） 以原点 O 为位似中心 ， 相似比为 1 ∶ 2 ， 在 y 轴的左侧， 画 出 △ABC 放大后的图形 △A 2 B 2 C 2 ， 并直接写出 C 2 点坐标 . （ 3 ） 如果点 D （ a ， b ） 在线段 AB 上， 请直接写出经过 （ 2 ） 的变化 后 D 的对应点 D 2 的坐标 ． 【分析】 （ 1 ） 利用关于 y 轴对称的点的性质确定各对应点的位 置， 顺次连接得到符合条件的三角形 . （ 2 ） 利用位似图形的特点和 已知条件确定对应点位置， 顺次连接得到符合条件的三角形 . （ 3 ） 利用位似图形的性质得出 D 点坐标变化规律求出坐标 ． 【解答 】 （ 1 ） 如图所示的 △A 1 B 1 C 1 即为所求 ， C 1 点坐标为 （ 3 ， 2 ） . （ 2 ） 如图所示的 △A 2 B 2 C 2 即为所求， C 2 点坐标为 （ -6 ， 4 ） . （ 3 ） 如果点 D （ a ， b ） 在线段 AB 上， 经过 （ 2 ） 的变化后 D 的对应点 D 2 的坐标为 （ 2a ， 2b ） ． 【点拨】 网格作用的关键是掌握图形变化中对应点的坐标之间的关系 . 此题是作轴对称和 位似变换， 关于 y 轴对称的两点， 纵坐标相同， 横坐标互为相反数； 位似图形的对应点之间 的关系上， 若位似比为 k ， 原图形上的一点坐标为 （ a ， b ）， 则对应点的坐标为 （ ka ， kb ） . 基础巩固 达标闯关 1. 在平面直角坐标系内， 已知 A （ 6 ， 3 ）， B （ 6 ， 0 ） 两点， 以坐标原点 O 为位似中心， 相 似比为 1 3 ， 在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 A′B′ ， 则 A′ 的坐标是 . 2. 如图， 已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形， 每个小正方形的顶点称为格点 . 若 △ABC 与 △A 1 B 1 C 1 是位似图形， 且顶点都在格点上， 则位似中心的坐标是 . 3. 如图 ， 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心 ， 点 8 图形的位似 （第 2课时） A B C x y O 1 -1 1 例题图 A B C x y O 1 -1 1 A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 例题答图 第 2 题图 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x y A B C A 1 C 1 B 1 O 110 图形的相似 第四章 A （ 1 ， 0 ） 与点 A′ （ -2 ， 0 ） 是对应点， △ABC 的面积是 3 2 ， 则 △A′B′C′ 的面积是 . 4. 在平面直角坐标系中， △ABC 顶点 A 的坐标为 （ 2 ， 3 ）， 若 以原点 O 为位似中心， 画 △ABC 的位似图形 △A′B′C′ ， 使 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比等于 1 2 ， 则点 A′ 的坐标为 . 5. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 E （ -4 ， 2 ）， F （ -1 ， -1 ）， 以 O 为位似中心， 按 比例尺 2 ∶ 1 把 △EFO 缩小， 则点 E 的对应点 E′ 的坐标为 （ ） A. （ 2 ， -1 ） 或 （ -2 ， 1 ） B. （ 8 ， -4 ） 或 （ -8 ， 4 ） C. （ 2 ， -1 ） D. （ 8 ， -4 ） 6. 由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形， ∠AOB=∠BOC=∠COD= … =∠LOM=30°． 若 S △AOB =1 ， 则图中与 △AOB 位似的三角形的面积为 （ ） A． 4 3 3 $ 3 B． 4 3 3 & 6 C． 4 3 3 & 7 D． 3 4 3 & 6 能力提升 综合拓展 7. 已知 △ABC 的三个顶点坐标如下表 . （ 1 ） 将下表补充完整， 并在平面直角坐标系中画出 △A′B′C′. （ 2 ） 观察 △ABC 与 △A′B′C′ ， 写出有关这两个三角形关系的一个正确结论 . x y O -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 A B C A′ 第 3 题图 x y O E F 第 5 题图 第 6 题图 M J K H G E F O A B C D I L x 2 4 6 8 10 12 8 6 4 2 y O A B C （ x ， y ） （ 2x ， 2y ） A （ 2 ， 1 ） A′ （ 4 ， 2 ） B （ 4 ， 3 ） B′ （ ， ） C （ 5 ， 1 ） C′ （ ， ） 第 7 题图 111 九年级上册 （北师大版）数学 8. 如图， 已知 O 是坐标原点， B ， C 两点的坐标分别为 （ 3 ， -1 ）， （ 2 ， 1 ） . （ 1 ） 以 O 点为位似中心， 在 y 轴的左侧将 △OBC 放大 2 倍 （即新图与原图的相似比为 2 ∶ 1 ）， 画出图形 . （ 2 ） 分别写出 B ， C 两点的对应点 B′ ， C′ 的坐标 . （ 3 ） 如果 △OBC 内部一点 M 的坐标为 （ x ， y ）， 点 M′ 是点 M 在 △OB′C′ 内的对应点， 请写出点 M′ 的坐标 . * 9. 如图， 图中的小方格都是边长为 1 的正方形， △ABC 与 △A′B′C′ 是以点 O 为位似中 心的位似图形， 它们的顶点都在小正方形的顶点上 . （ 1 ） 画出位似中心点 O. （ 2 ） 直接写出 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比 . （ 3 ） 以位似中心 O 为坐标原点， 以格线所在 直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 画出 △A′B′C′ 关于点 O 中心对称的 △A″B″C″ ， 并直接写出 △A″B″C″ 各顶点的坐标 . 10. 已知 △ABC 在平面直角坐标系内， 三个顶点的坐标分别为 A （ 0 ， 3 ）， B （ 3 ， 4 ）， C （ 2 ， 2 ） （正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度） ． （ 1 ） 画出 △ABC 向下平移 4 个单位长度得到的 △A 1 B 1 C 1 ， 点 C 1 的坐标是 . （ 2 ） 以点 B 为位似中心， 在网格内画出 △A 2 BC 2 ， 使 △A 2 BC 2 与 △ABC 位似， 且位似比为 2 ∶ 1 ， 请写出点 A 2 ， C 2 的坐标 . （ 3 ） 若 M （ a ， b ） 为线段 AC 上任一点， 请写出点 M 的对应点 M 2 的坐标 . x y O -5 -2 2 B C 第 8 题图 第 9 题图 A B C A′ B′ C′ -1 -2 -3 -4 -5 x y O -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A B C 第 10 题图 112 图形的相似 第四章 中考链接 真题演练 11. （ 2023 ·本溪） 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O （ 0 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ）， B （ 2 ， 3 ）， C （ -1 ， 2 ）， 若四边形 OA′B′C′ 与四边形 OABC 关于原点 O 位似， 且四 边形 OA′B′C′ 的面积是四边形 OABC 面积的 4 倍， 则第一象限内点 B′ 的坐标为 ． 12. （ 2023 ·绥化） 如图， 在平面直角坐标系中， △ABC 与 △AB′C′ 的相似比为 1 ∶ 2 ， 点 A 是位似中心， 已知点 A （ 2 ， 0 ）， 点 C （ a ， b ）， ∠C=90° ， 则点 C′ 的坐标为 . （用含 a ， b 的式子表示） 13. （ 2023 ·烟台） 如图， 在平面直角坐标系中， 每个网格小正方形的边长均为 1 个单位 长度， 以点 P 为位似中心作正方形 PA 1 A 2 A 3 ， 正方形 PA 4 A 5 A 6 ， …， 按此规律作下去， 所作正 方形的顶点均在格点上， 其中正方形 PA 1 A 2 A 3 的顶点坐标分别为 P （ -3 ， 0 ）， A 1 （ -2 ， 1 ）， A 2 （ -1 ， 0 ）， A 3 （ -2 ， -1 ）， 则顶点 A 100 的坐标为 （ ） A． （ 31 ， 34 ） B． （ 31 ， -34 ） C． （ 32 ， 35 ） D． （ 32 ， 0 ） 14. （ 2022 ·河池 ） 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （ 4 ， 1 ）， B （ 2 ， 3 ）， C （ 1 ， 2 ） ． （ 1 ） 画出与 △ABC 关于 y 轴对称的 △A 1 B 1 C 1 . （ 2 ） 以原点 O 为位似中心， 在第三象限内画一个 △A 2 B 2 C 2 ， 使它与 △ABC 的相似比为 2 ∶ 1 ， 并写出点 B 2 的坐标 ． 第 14 题图 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x y O -7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A B C 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 x y A B C O x y A B C O C′ B′ x y O A 12 A 11 A 9 A 6 A 3 A 1 P A 4 A 7 A 10 A 2 A 5 A 8 113 参考答案与提示 7 相似三角形的性质 （第 2 课时） 1. 1 ∶ 2 2. 1 ∶ 4 3. 60 或 108 5 4. 30 5. D 6. C 7. A 8. B 9. 周长为 4 cm ， 面积为 8 9 cm 2 . 10. （ 1 ） 2 ∶ 5. （ 2 ） 50 cm 2 . 11. （ 1 ） CP=2 2 姨 . （ 2 ） CP= 24 7 . * １２. 解： （ 1 ） ∵S Ⅰ =S Ⅱ ， ∴ S △ADE S △ABC = 1 2 . ∵DE∥BC ， ∴∠ADE=∠B. 又 ∵∠A=∠A ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = 1 2 姨 . ∵AB=4 ， ∴AD= AB 2 姨 =2 2 姨 ． （ 2 ） ∵S Ⅰ =S Ⅱ =S Ⅲ ， ∴ S △ADE S △ABC = 1 3 . ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = 1 3 姨 ． ∴AD= AB 3 姨 = 4 3 3 姨 . （ 3 ） 由 （ 1 ） （ 2 ） 知， AD= 16 n 姨 = 4 n 姨 n ． 13. 1 4 14. B 15. C 16. D 17. 解： （ 1 ） ∵ 四边形 BFED 是平行四边形 ， ∴DE∥BF ， 即 DE∥BC. ∴∠ABC=∠ADE . 又 ∵∠A=∠A ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB ＝ DE BC ＝ 1 4 . ∵AB＝8 ， ∴AD＝2. （ 2 ） ∵△ADE∽△ABC ， ∴ S △ADE S △ABC = DE BC C ( 2 = 1 4 C 4 2 = 1 16 . ∵S △ADE = 1 ， ∴S △ABC =16. 同时可证 △EFC∽△ABC. ∵△ADE∽△ABC ， ∴ AE AC ＝ DE BC ＝ 1 4 . ∴ CE AC = 3 4 . ∴ S △EFC S △ABC = CE AC C 4 2 = 3 4 C 4 2 = 9 16 . ∴S △EFC ＝9. ∴S 荀BFED =S △ABC -S △EFC -S △ADE ＝16-9-1＝6． 8 图形的位似 （第 1 课时） 1. 位似中心 2. 2 ∶ 5 3. 50 cm 4. 3 5. D 6. C 7. B 8. C 9. 略 10. （ 1 ） 略 （ 2 ） AD=4 ， AE=2 ， DE= 8 3 . 11. 略 * 12. 解： 相似， 如图所示 . ∵ OD OA = OE OB ， ∠AOE=∠BOD ， ∴△DOE∽△AOB. ∴ DE AB = OD OA = 1 2 . 同理 EF BC = FD CA = DE BA = 1 2 ， ∴△DEF∽△ABC ， 它们也具有位似图形的特征 . 13. 4 ∶ 9 １4. 2 3 ， ， 4 2 或 - 2 3 ， - C 4 2 15. D 8 图形的位似 （第 2 课时） 1. （ 2 ， 1 ） 2. （ 9 ， 0 ） 3. 6 4. （ 4 ， 6 ） 或 （ -4 ， -6 ） 5. A 6. B 7. 解： （ 1 ） B′ （ 8 ， 6 ）， C′ （ 10 ， 2 ）， 画图略 . （ 2 ） △A′B′C′ 是 △ABC 放大 2 倍的位似图形 . 8. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） B′ （ -6 ， 2 ）， C′ （ -4 ， -2 ） . （ 3 ） M′ 的坐标为 （ -2x ， -2y ） . * 9. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比等于 2 ∶1. （ 3 ） 画图略 . A″ （ 6 ， 0 ）； B″ （ 3 ， -2 ）； C″ （ 4 ， -4 ） . １0. 解： （ 1 ） （ 2 ， －2 ） （ 2 ） A 2 （ －3 ， 2 ）， C 2 （ 1 ， 0 ） . （ 3 ） ∵A （ 0 ， 3 ） 与 A 2 （ －3 ， 2 ）， C （ 2 ， 2 ） 与 C 2 （ 1 ， 0 ） 为对应点， 点 B （ 3 ， 4 ） 是位似中心， △A 2 BC 2 与 △ABC 位似， 且位似比为 2 ∶ 1 ， 且对应点 A 与 A 2 ， C 与 C 2 的横坐标 满足： －3=2×0－3 ， 1=2×2－3 ； 纵坐标满足： 2=2×3－4 ， 0=2×2－4 ， ∴ 点 M （ a ， b ） 的对应点 M 2 的坐标是 （ 2a－3 ， 2b－4 ） . 11. （ 4 ， 6 ） 12. （ 6-2a ， -2b ） １3. A 14. 解： （ 1 ） 如图， △A 1 B 1 C 1 为所作 . （ 2 ） 如图， △A 2 B 2 C 2 为所作， 点 B 2 的坐标为 （ -4 ， -6 ） . O B C E F A D 第 1２ 题答图 -1 -2 -3 -4 -5 x y O -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A B C A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 第 10 题答图 第 14 题答图 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x y O -7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A B C A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 231