8 图形的位似(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

图形的相似 第四章 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 10×10 的正方形网格中， 点 A ， B ， C ， D 均在格点上， 以点 A 为位似中心 画四边形 AB′C′D′ ， 使它与四边形 ABCD 位似， 且相似比为 2． （ 1 ） 在图中画出四边形 AB′C′D′. （ 2 ） 填空： △AC′D′ 是 三角形 ． 【分析】 （ 1 ） 延长 AB 到点 B′ ， 使 AB′=2AB ， 得到 B 的对应点 B′ ， 同样得到 C ， D 的 对应点 C′ ， D′ ， 再顺次连接即可 . （ 2 ） 利用勾股定理计算得出 AC′ 2 =4 2 +8 2 =16+64=80 ， AD′ 2 =6 2 +2 2 =36+4=40 ， C′D′ 2 =6 2 +2 2 =36+4=40 ， ∴AD′=C′D′ ， AD′ 2 +C′D′ 2 =AC′ 2 ， ∴△AC′D′ 是等 腰直角三角形 ． 【解答】 （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） 等腰直角 【点拨】 本题考查了作图——位似变换 ． 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分 别作过位似中心与过关键点 （如 B 点） 的射线； ③ 分别在所作的射线上， 根据相似比确定关 键点的对应点； ④ 顺次连接上述确定的对应点， 得到放大或缩小的图形 . 同时计算或推理时 要结合勾股定理及其逆定理等知识 ． 基础巩固 达标闯关 1. 两个位似图形的每一组对应顶点必经过 . 2. 把一个正多边形边长放大到原来的 2.5 倍， 则原图与新图的相似比为 . 3. 如果两个位似图形的对应线段长分别为 3 cm 和 5 cm ， 且较小图形周长为 30 cm ， 则 较大图形周长为 . 4. 如图， 在 荀ABCD 中， 点 F 是 AD 延长线上一点， 连接 BF 交 DC 于点 E ， 则图中的位似三角形共有 对 . 5. 下列每组的两个图形不是位似图形的是 （ ） 6. 如图， 已知 BC∥DE ， 则下列说法中不正确的是 （ ） A B C D B′ C′ D′ A B C D 例题图 例题答图 8 图形的位似 （第 1课时） E F A B C D 第 4 题图 Ａ B C D 107 九年级上册 （北师大版）数学 A. 两个三角形是位似三角形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. AE ∶ AD 是相似比 D. 点 B 与点 D 、 点 C 与点 E 是对应顶点 7. 已知 △ABC 中， 以点 A 为位似中心作出 △ADE ， 使 △ADE 是 △ABC 放大 2 倍的图形， 这样的图形可以作出 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无数个 8. 如图， 以点 O 为位似中心， 把 △ABC 放大为原图形的 2 倍得到 △A′B′C′ ， 以下说法中错误的是 （ ） A. △ABC∽△A′B′C′ B. 点 C ， O ， C′ 在同一直线上 C. AO ∶ AA′=1 ∶ 2 D. AB∥A′B′ 9. 找出下列图形的位似中心 . 能力提升 综合拓展 10. 如图， 已知 △ABC 中， AB=12 ， BC=8 ， AC=6 ， 点 D ， E 分别在 AB ， AC 上， 如果以 点 A ， D ， E 为顶点的三角形和以点 A ， B ， C 为顶点的三角形位似， 且相似比为 1 ∶ 3. （ 1 ） 根据题意确定 D ， E 的位置， 画出简图 . （ 2 ） 求 AD ， AE 和 DE 的长 . 11. 作图题： 请用位似的方法将下图放大为原来的 2 倍， 请在图形外部左侧选取位似中 心 . （不写作法， 保留作图痕迹） E A B C D 第 6 题图 第 8 题图 A′ B′ C′ O A B C 图 1 第 9 题图 图 2 图 3 B A C 第 10 题图 第 11 题图 108 图形的相似 第四章 * 12. 如图， 在 △ABC 的内部任取一点 O ， 连接 AO ， BO ， CO ， 并在 AO ， BO ， CO 这三 条线段的延长线上分别取点 D ， E ， F ， 使 OD OA = OE OB = OF OC = 1 2 ， 画出 △DEF. 你认为 △DEF 与 △ABC 相似吗？ 为什么？ 你认为它们也具有位似图形的特征吗？ 中考链接 真题演练 13. （ 2023 ·阜新） 如图， △ABC 和 △DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形， 相似比为 2 ∶3 ， 则 △ABC 和 △DEF 的面积比是 ． 14. （ 2023 ·盘锦） 如图， △ABO 的顶点坐标是 A （ 2 ， 6 ）， B （ 3 ， 1 ）， O （ 0 ， 0 ）， 以点 O 为 位似中心， 将 △ABO 缩小为原来的 1 3 ， 得到 △A′B′O ， 则点 A′ 的坐标为 ． 15. （ 2023 ·朝阳） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 A （ 2 ， 2 ）， B （ 4 ， 1 ）， 以原点 O 为位似中心， 相似比为 2 ， 把 △OAB 放大， 则点 A 的对应点 A′ 的坐标是 （ ） A． （ 1 ， 1 ） B． （ 4 ， 4 ） 或 （ 8 ， 2 ） C． （ 4 ， 4 ） D． （ 4 ， 4 ） 或 （ -4 ， -4 ） A B C 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 A B C D E F O x y A B O x y A B O 109 参考答案与提示 7 相似三角形的性质 （第 2 课时） 1. 1 ∶ 2 2. 1 ∶ 4 3. 60 或 108 5 4. 30 5. D 6. C 7. A 8. B 9. 周长为 4 cm ， 面积为 8 9 cm 2 . 10. （ 1 ） 2 ∶ 5. （ 2 ） 50 cm 2 . 11. （ 1 ） CP=2 2 姨 . （ 2 ） CP= 24 7 . * １２. 解： （ 1 ） ∵S Ⅰ =S Ⅱ ， ∴ S △ADE S △ABC = 1 2 . ∵DE∥BC ， ∴∠ADE=∠B. 又 ∵∠A=∠A ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = 1 2 姨 . ∵AB=4 ， ∴AD= AB 2 姨 =2 2 姨 ． （ 2 ） ∵S Ⅰ =S Ⅱ =S Ⅲ ， ∴ S △ADE S △ABC = 1 3 . ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = 1 3 姨 ． ∴AD= AB 3 姨 = 4 3 3 姨 . （ 3 ） 由 （ 1 ） （ 2 ） 知， AD= 16 n 姨 = 4 n 姨 n ． 13. 1 4 14. B 15. C 16. D 17. 解： （ 1 ） ∵ 四边形 BFED 是平行四边形 ， ∴DE∥BF ， 即 DE∥BC. ∴∠ABC=∠ADE . 又 ∵∠A=∠A ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB ＝ DE BC ＝ 1 4 . ∵AB＝8 ， ∴AD＝2. （ 2 ） ∵△ADE∽△ABC ， ∴ S △ADE S △ABC = DE BC C ( 2 = 1 4 C 4 2 = 1 16 . ∵S △ADE = 1 ， ∴S △ABC =16. 同时可证 △EFC∽△ABC. ∵△ADE∽△ABC ， ∴ AE AC ＝ DE BC ＝ 1 4 . ∴ CE AC = 3 4 . ∴ S △EFC S △ABC = CE AC C 4 2 = 3 4 C 4 2 = 9 16 . ∴S △EFC ＝9. ∴S 荀BFED =S △ABC -S △EFC -S △ADE ＝16-9-1＝6． 8 图形的位似 （第 1 课时） 1. 位似中心 2. 2 ∶ 5 3. 50 cm 4. 3 5. D 6. C 7. B 8. C 9. 略 10. （ 1 ） 略 （ 2 ） AD=4 ， AE=2 ， DE= 8 3 . 11. 略 * 12. 解： 相似， 如图所示 . ∵ OD OA = OE OB ， ∠AOE=∠BOD ， ∴△DOE∽△AOB. ∴ DE AB = OD OA = 1 2 . 同理 EF BC = FD CA = DE BA = 1 2 ， ∴△DEF∽△ABC ， 它们也具有位似图形的特征 . 13. 4 ∶ 9 １4. 2 3 ， ， 4 2 或 - 2 3 ， - C 4 2 15. D 8 图形的位似 （第 2 课时） 1. （ 2 ， 1 ） 2. （ 9 ， 0 ） 3. 6 4. （ 4 ， 6 ） 或 （ -4 ， -6 ） 5. A 6. B 7. 解： （ 1 ） B′ （ 8 ， 6 ）， C′ （ 10 ， 2 ）， 画图略 . （ 2 ） △A′B′C′ 是 △ABC 放大 2 倍的位似图形 . 8. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） B′ （ -6 ， 2 ）， C′ （ -4 ， -2 ） . （ 3 ） M′ 的坐标为 （ -2x ， -2y ） . * 9. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比等于 2 ∶1. （ 3 ） 画图略 . A″ （ 6 ， 0 ）； B″ （ 3 ， -2 ）； C″ （ 4 ， -4 ） . １0. 解： （ 1 ） （ 2 ， －2 ） （ 2 ） A 2 （ －3 ， 2 ）， C 2 （ 1 ， 0 ） . （ 3 ） ∵A （ 0 ， 3 ） 与 A 2 （ －3 ， 2 ）， C （ 2 ， 2 ） 与 C 2 （ 1 ， 0 ） 为对应点， 点 B （ 3 ， 4 ） 是位似中心， △A 2 BC 2 与 △ABC 位似， 且位似比为 2 ∶ 1 ， 且对应点 A 与 A 2 ， C 与 C 2 的横坐标 满足： －3=2×0－3 ， 1=2×2－3 ； 纵坐标满足： 2=2×3－4 ， 0=2×2－4 ， ∴ 点 M （ a ， b ） 的对应点 M 2 的坐标是 （ 2a－3 ， 2b－4 ） . 11. （ 4 ， 6 ） 12. （ 6-2a ， -2b ） １3. A 14. 解： （ 1 ） 如图， △A 1 B 1 C 1 为所作 . （ 2 ） 如图， △A 2 B 2 C 2 为所作， 点 B 2 的坐标为 （ -4 ， -6 ） . O B C E F A D 第 1２ 题答图 -1 -2 -3 -4 -5 x y O -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A B C A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 第 10 题答图 第 14 题答图 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x y O -7-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A B C A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 231